リーマン・ロッホの定理

リーマン・ロッホの定理

分野	代数幾何学と複素解析
初版	グスタフ・ロッホ
初版	1865年
一般化	アティヤ・シンガーの指数定理、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理、曲面のリーマン・ロッホの定理、リーマン・ロッホ型定理
結果	特殊因子に関するクリフォードの定理、リーマン・フルヴィッツの公式

リーマン・ロッホの定理は、数学、特に複素解析と代数幾何学において、零点が与えられ、極が許される有理型関数の空間の次元を計算するための重要な定理である。この定理は、連結コンパクト・リーマン面の複素解析と、その面の純粋に位相的な種数gを、純粋に代数的な設定にも適用可能な形で関連付ける。

この定理は、リーマン（1857）によってリーマンの不等式として最初に証明され、リーマンの弟子であったグスタフ・ロッホ （1865 ）の研究を経て、リーマン面に対する決定的な形に到達しました。後に代数曲線、高次元多様体、そしてそれ以上の次元 に一般化されました。

予備的概念

種数3のリーマン面

リーマン面は、複素数全体の集合である の開部分集合に局所的に同相な位相空間です。さらに、これらの開部分集合間の遷移写像は正則 である必要があります。後者の条件により、正則関数と有理型関数を扱う複素解析の概念と手法を、曲面 に転用することができます。リーマン・ロッホの定理では、曲面は常にコンパクトであると仮定されます。一般的に言えば、リーマン面の種数はハンドルの数です。たとえば、右に示すリーマン面の種数は 3 です。より正確には、種数は最初のベッティ数の半分、つまり複素係数を持つ最初の特異ホモロジー群の -次元の半分として定義されます。種数は、同相までコンパクト リーマン面を分類します。つまり、そのような 2 つの面が同相である場合、かつその場合のみ、それらの種数は同じです。したがって、種数はリーマン面の重要な位相不変量である。一方、ホッジ理論によれば、種数は上の正則一形式空間の -次元と一致するため、種数はリーマン面に関する複素解析的情報も符号化する。^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C}}$ ${\displaystyle \mathbb {C}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {C}}$ ${\displaystyle H_{1}(X,\mathbb{C})}$ ${\displaystyle \mathbb {C}}$ ${\displaystyle X}$

因子は、曲面上の点上の自由アーベル群の元です。同様に、因子は整数係数を持つ曲面上の点の有限線型結合です。 ${\displaystyle D}$

任意の有理型関数は次のように定義される 因子を生じる。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f)}$

${\displaystyle (f):=\sum _{z_{\nu}\in R(f)}s_{\nu}z_{\nu}}$

ここでは のすべての零点と極の集合であり、は次のように与えられる。 ${\displaystyle R(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s_{\nu }}$

${\displaystyle s_{\nu }:={\begin{cases}a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ は a\\-a 位の零点であり、{\text{if }}z_{\nu }{\text{ は a 位の極である\end{cases}}}$ 。

集合 は有限であることが知られています。これは、がコンパクトであることと、（非ゼロの）正則関数の零点に集積点がないという事実の結果です。したがって、は明確に定義されます。この形式の任意の因子 は主因子と呼ばれます。主因子が異なる 2 つの因子は線型同値と呼ばれます。有理型1 形式の因子も同様に定義されます。大域有理型 1 形式の因子は標準因子（通常は と表記）と呼ばれます。任意の 2 つの有理型 1 形式は線型同値な因子を生成するため、標準因子は線型同値性を除いて一意に決定されます（したがって、「その」標準因子）。 ${\displaystyle R(f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle K}$

記号は、因子 の次数（指数と呼ばれることもある）を表します。つまり、 に現れる係数の和です。大域有理型関数の因子は常に次数0であることが示されており、したがって、因子の次数はその線型同値類のみに依存します。 ${\displaystyle \deg(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

数は、主に関心のある量、すなわち、曲面上の有理型関数のベクトル空間の（ 上の）次元であり、 のすべての係数が非負であるようなものである。直感的には、これは、あらゆる点における極が の対応する係数よりも悪くないようなすべての有理型関数であると考えることができる。におけるの係数が負の場合、 はにおいて少なくともその重複度の零点を持つことが必要である。における係数が正の場合、 は最大でその位数の極を持つことができる。線型同値な因子のベクトル空間は、（ スカラーまで明確に定義されている）大域有理型関数との乗算を通じて自然に同型である。 ${\displaystyle \ell (D)}$ ${\displaystyle \mathbb {C}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (h)+D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle h}$

定理の記述

標準因子状態 を持つ種数 のコンパクトリーマン面に対するリーマン・ロッホの定理${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \ell (D)-\ell (KD)=\deg(D)-g+1}$ 。

通常、数は関心のある数であり、は補正項（特殊性指数とも呼ばれる^{[ 2 ] [ 3 ]} ）と考えられるため、この定理は次のように大まかに言い換えることができます ${\displaystyle \ell (D)}$ ${\displaystyle \ell (KD)}$

次元−補正=次数−種数+ 1。

ベクトル空間の次元なので、補正項は常に非負であり、 ${\displaystyle \ell (KD)}$

${\displaystyle \ell (D)\geq \deg(D)-g+1}$ 。

これはリーマン不等式と呼ばれる。ロッホの記述部分は、不等式の両辺の差の可能性を記述したものである。種数 の一般リーマン面において、は次数 を持ち、これは因子を表すために選択された有理型形式とは無関係である。これは定理に を代入することから導かれる。特に、 が次数 以上のとき、補正項は 0 となるので、 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2g-2}$ ${\displaystyle D=K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 2g-1}$

${\displaystyle \ell(D)=\deg(D)-g+1}$ 。

ここで、この定理を低種数の曲面について示します。他にも密接に関連する定理がいくつかあります。直線束を用いたこの定理の同値な定式化や、代数曲線への定理の一般化などです

例

問題の表面上の点を取り、数列について考えること で、定理を説明します${\displaystyle P}$

${\displaystyle \ell (n\cdot P),n\geq 0}$

すなわち、関数が最大で の位数の極を持つことができるを除くすべての点で正則な関数の空間の次元である。 であるため、関数はの面全体で 、すなわち正則であることが要求される。リウヴィルの定理により、そのような関数は必然的に定数となる。したがって、 となる。一般に、 列は増加列である。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell (0)=1}$ ${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$

種数ゼロ

リーマン球面（複素射影直線とも呼ばれる）は単連結であるため、その第一特異ホモロジーはゼロです。特に、その種数はゼロです。球面は の2つのコピーで覆われ、遷移写像は次のように与えられます ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto {\frac {1}{z}}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ 。

したがって、の片方のコピー上の形式はリーマン球面上の有理型形式に拡張される。それは無限遠に二重極を持つ。 ${\displaystyle \omega =dz}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}\,dz}$

したがって、その標準因子は(ここでは無限遠点) です。 ${\displaystyle K:=\operatorname {div} (\omega )=-2P}$ ${\displaystyle P}$

したがって、定理によれば、この列は ${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$

1、2、3、...。

この数列は部分分数の理論からも読み取ることができます。逆に、この数列がこのように始まる場合、 はゼロでなければなりません。 ${\displaystyle g}$

種数1

トーラス

次の例は、種数 のリーマン面、例えばトーラスです。ここで、は2次元格子（ に同型な群）です。 の種数は1です。その最初の特異ホモロジー群は、右の図に示すように、2つのループによって自由に生成されます。上の標準複素座標は、上の1-形式を与え、それはどこでも正則です。つまり、 は極を全く持ちません。したがって、 の約数は0です ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \omega =dz}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \omega }$

この表面では、この配列は

1、1、2、3、4、5 ... ;

そして、これは の場合の特徴です。実際、 の場合、は前述の通りです。 の場合、の次数は厳密に負であるため、補正項は0になります。次元の列は、楕円関数の理論からも導くことができます。 ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle D=0}$ ${\displaystyle \ell (K-D)=\ell (0)=1}$ ${\displaystyle D=n\cdot P}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle K-D}$

属2以降

の場合、上記のシーケンスは ${\displaystyle g=2}$

1、1、？、2、3、...。

このことから、次数2の?項は点に応じて1または2であることが示される。任意の種数2の曲線には、1、1、2、2、…という数列を持つ点が正確に6個存在し、残りの点は1、1、1、2、…という一般数列を持つことが証明できる。特に、種数2の曲線は超楕円曲線である。なぜなら、ほとんどの点において数列が1で始まり、他の数列を持つ点が有限個存在するということが常に成り立つからである（ワイエルシュトラス点を参照）。 ${\displaystyle g>2}$ ${\displaystyle g+1}$

直線束のリーマン・ロッホ

リーマン面上の因子と正則直線束との密接な対応関係を用いることで、この定理は異なるが同値な方法でも述べることができる。LをX上の正則直線束とする。Lの正則切断全体の成す空間を とする。この空間は有限次元であり、その次元は と表記される。KをX上の標準バンドルとする。すると、リーマン・ロッホの定理は次のように述べる 。${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g}$ 。

前のセクションの定理は、L が点束である場合の特別なケースです

この定理は、 Kの線型独立な正則切断、つまりX上の一形式がg 個存在することを次のように示すのに応用できる。X上の正則関数は定数だけなので、 Lを自明バンドルとする。Lの次数は0 であり、自明バンドルである。したがって、 ${\displaystyle h^{0}(X,L)=1}$ ${\displaystyle L^{-1}}$

${\displaystyle 1-h^{0}(X,K)=1-g}$ 。

したがって、g個の正則 1 形式 が存在することが証明されます。${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$

標準束の次数

標準バンドルは なので、リーマン・ロッホの法則 を に適用すると、${\displaystyle K}$ ${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$ ${\displaystyle L=K}$

${\displaystyle h^{0}(X,K)-h^{0}(X,K^{-1}\otimes K)=\deg(K)+1-g}$

これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle g-1=\deg(K)+1-g}$

したがって標準バンドルの次数は です。 ${\displaystyle \deg(K)=2g-2}$

代数曲線のリーマン・ロッホの定理

リーマン面上の因子に対するリーマン・ロッホの定理の上記の定式化における各項目は、代数幾何学において類似物を持つ。リーマン面の類似物は、体k上の非特異代数曲線Cである。用語（曲線と面）の違いは、実多様体としてのリーマン面の次元が2であるのに対し、複素多様体としてのリーマン面の次元は1であるためである。リーマン面のコンパクト性は、代数曲線が完備であるという条件と並行しており、これは射影的であることと同値である。一般体k上では、特異（コ）ホモロジーという適切な概念は存在しない。いわゆる幾何学的種数は次のように定義される 。

${\displaystyle g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})}$

すなわち、大域的に定義された（代数的）1形式空間の次元として（ケーラー微分 を参照）。最後に、リーマン面上の有理型関数は、局所的には正則関数の分数として表される。したがって、それらは、局所的には正則関数の分数である有理関数に置き換えられる。したがって、各点における極がDの対応する係数よりも悪くない曲線上の有理関数空間の次元（k上）について書くと、上記と同じ式が成り立つ。 ${\displaystyle \ell (D)}$

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1}$ 。

ここで、 Cは代数閉体k上の射影非特異代数曲線です。実際、任意の体上の射影曲線に対しても同じ式が成り立ちますが、因子の次数は、基底体と因子を支える点の剰余体の可能な拡大から生じる重複度を考慮する必要があります。 ^{[ 4 ]}最後に、アルティン環上の真曲線の場合、因子に関連付けられた直線束のオイラー特性は、因子の次数（適切に定義）と構造層のオイラー特性の合計によって与えられます。^{[ 5 ]}${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

定理における滑らかさの仮定は、同様に緩和することができる。すなわち、代数閉体上の（射影）曲線で、その局所環がすべてゴレンシュタイン環である場合、上で定義した幾何学的種数を次のように定義される算術種数g _aに置き換えれば、 上と同じことが成り立つ。

${\displaystyle g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$ . ^{[ 6 ]}

（滑らかな曲線の場合、幾何学的種数は算術的種数と一致する。）この定理は一般の特異曲線（および高次元多様体）にも拡張されている。^{[ 7 ]}

応用

ヒルベルト多項式

リーマン・ロッホの重要な帰結の一つは、曲線上の直線束のヒルベルト多項式を計算する公式を与えることです。直線束が十分な場合、ヒルベルト多項式は射影空間への埋め込みを与える1次を与えます。例えば、標準層の次数は であり、種数 の十分な直線束を与えます。^{[ 8 ]}と設定すると、リーマン・ロッホの公式は次のように書けます ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \omega _{C}}$ ${\displaystyle 2g-2}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle \omega _{C}(n)=\omega _{C}^{\otimes n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}(n))&=\deg(\omega _{C}^{\otimes n})-g+1\\&=n(2g-2)-g+1\\&=2ng-2n-g+1\\&=(2n-1)(g-1)\end{aligned}}}$

ヒルベルト多項式の次数を与えると${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega _{C}}$

${\displaystyle H_{\omega _{C}}(t)=2(g-1)t-g+1}$ 。

曲線を埋め込むために 三重標準層が使用されるため、ヒルベルト多項式は${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$

${\displaystyle H_{C}(t)=H_{\omega _{C}^{\otimes 3}}(t)}$

は、曲線のヒルベルトスキーム（および代数曲線のモジュライ空間）を構成する際に一般的に考慮される。この多項式は

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{C}(t)&=(6t-1)(g-1)\\&=6(g-1)t+(1-g)\end{aligned}}}$

これは種数 g 曲線のヒルベルト多項式と呼ばれます。

多正準埋め込み

この方程式をさらに解析すると、オイラー特性は次のようになります

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}^{\otimes n})&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\omega _{C}\otimes \left(\omega _{C}^{\otimes n}\right)^{\vee }\right)\\&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)\end{aligned}}}$

なので${\displaystyle \deg(\omega _{C}^{\otimes n})=n(2g-2)}$

${\displaystyle h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)=0}$ 。

に対して、その次数はすべての に対して負であり、大域切断を持たないことを意味するので、 の大域切断から何らかの射影空間への埋め込みが存在する。特に、はであるため、 への埋め込みを与える。これは、ヒルベルト多項式 を持つヒルベルトスキームを構築するための射影空間として使用できるため、代数曲線のモジュライ空間の構築に有用である。^{[ 9 ]}${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}\cong \mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 3}))}$ ${\displaystyle N=5g-5-1=5g-6}$ ${\displaystyle h^{0}(\omega _{C}^{\otimes 3})=6g-6-g+1}$ ${\displaystyle H_{C}(t)}$

特異点を持つ平面曲線の種数

d次の既約平面代数曲線は、適切に数えると、 ( d  −1)( d  −2)/2−  g個の特異点を持つ。したがって、曲線が( d  −1)( d  −2)/2個の異なる特異点を持つ場合、それは有理曲線であり、したがって有理パラメータ化を許容する。

リーマン・フルヴィッツの公式

リーマン面または代数曲線間の（分岐）写像に関するリーマン・フルヴィッツの公式は、リーマン・ロッホの定理の帰結です

特殊因子に関するクリフォードの定理

特殊因子に関するクリフォードの定理もリーマン・ロッホの定理の帰結である。これは、 を満たす特殊因子（すなわち）に対して、次の不等式が成り立つことを述べている。^{[ 10 ]}${\displaystyle \ell (K-D)>0}$ ${\displaystyle \ell (D)>0}$

${\displaystyle \ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1}$ 。

証明

代数曲線の証明

代数曲線のステートメントは、セール双対性を使って証明できます。整数 は、 Dに関連付けられた直線束の大域セクションの空間の次元です(カルティエの因子 を参照)。層コホモロジーの観点で、したがって、 が成り立ち、同様に も成り立ちます。しかし、曲線の特定のケースにおける非特異射影多様体に対するセール双対性は、 が双対 に同型であると述べます。したがって、左側は、因子Dのオイラー特性に等しくなります。D = 0 のとき、構造層のオイラー特性は定義により であることがわかります。一般因子の定理を証明するには、因子に点を 1 つずつ追加していき、オイラー特性がそれに応じて右側に変換されるようにします。 ${\displaystyle \ell (D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ ${\displaystyle \ell (D)=\mathrm {dim} H^{0}(X,{\mathcal {L}}(D))}$ ${\displaystyle \ell ({\mathcal {K}}_{X}-D)=\dim H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$ ${\displaystyle H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }}$ ${\displaystyle 1-g}$

コンパクトリーマン面の証明

コンパクト リーマン面の定理は、代数バージョンからChow の定理とGAGA原理を使用して演繹できます。つまり、すべてのコンパクト リーマン面は、複素射影空間内の代数方程式によって定義されます。(Chow の定理は、射影空間の任意の閉じた解析的部分多様体は代数方程式によって定義されると述べており、GAGA 原理は、代数多様体の層コホモロジーは、同じ方程式によって定義される解析多様体の層コホモロジーと同じであると述べています。)

代数曲線の場合の証明と同様に議論し、すべての係数が非負となるような有理型関数hの層に置き換えることで、チャウの定理の使用を避けることができる。ここで、オイラー標数が因子に点を加えると望みどおりに変形するという事実は、短完全列によって誘導される長完全列から読み取ることができる。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}}$ ${\displaystyle (h)+D}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{D}\to {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}\to 0}$

ここではPにおける超高層ビル層であり、マップは番目のローラン係数を返します。ここで です。^{[ 11 ]}${\displaystyle \mathbb {C} _{P}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}}$ ${\displaystyle -k-1}$ ${\displaystyle k=D(P)}$

算術リーマン・ロッホの定理

算術リーマン・ロッホの定理の一種は、k が大域体であり、f がkのアデルの適切に許容される関数である場合、すべてのアデルaに対して、ポアソン和公式が成り立つことを述べてい ます

${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in k}{\hat {f}}(x/a)=\sum _{x\in k}f(ax)}$ 。

kが有限体上の代数曲線の関数体であり、fがk上で自明な任意の指標である特別な場合には、これは幾何学的なリーマン・ロッホの定理を回復する。^{[ 12 ]}

算術リーマン・ロッホの定理の他のバージョンでは、アラケロフ理論を利用して、従来のリーマン・ロッホの定理にさらに正確に似せています。

リーマン・ロッホの定理の一般化

曲線に対するリーマン・ロッホの定理は、リーマン面については1850年代にリーマンとロッホによって証明され、代数曲線については1931年に有限特性の完全体に関する研究を行っていたフリードリヒ・カール・シュミットによって証明された。ピーター・ロケットは次のように述べている^{[ 13 ]。}

F・K・シュミットの最初の主要な業績は、コンパクト・リーマン面上の古典的なリーマン・ロッホの定理が有限基底体を持つ関数体にも応用できることを発見したことです。実際、彼のリーマン・ロッホの定理の証明は、必ずしも有限である必要はなく、任意の完全基底体に対して成立します。

これは、後続の曲線理論がそこから得られる情報を洗練させようとするという意味で基礎的なものである（たとえば、ブリル・ノイマン理論）。

高次元版（適切な因子または線束の概念を用いる）も存在する。それらの一般的な定式化は、定理を2つの部分に分割することに依存する。1つは現在セール双対性と呼ばれるもので、項を第一層コホモロジー群の次元として解釈する。零次コホモロジー群、つまり切断空間の次元を用いると、定理の左辺はオイラー標数となり、右辺はそれをリーマン面の位相に従って補正された次数として計算する。 ${\displaystyle \ell (K-D)}$ ${\displaystyle \ell (D)}$

2次元の代数幾何学では、そのような公式がイタリア学派の幾何学者によって発見され、曲面に対するリーマン・ロッホの定理が証明されました（いくつかのバージョンがあり、最初のものはおそらくマックス・ノイマンによるものです）。

n次元の一般化であるヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は、代数位相幾何学における特性類の応用として、フリードリヒ・ヒルツェブルッフによって発見・証明された。彼は小平邦彦の研究に大きな影響を受けた。ほぼ同時期に、ジャン＝ピエール・セールは、現在知られているセール双対性の一般形を与えた。

アレクサンダー・グロタンディークは1957年に、現在グロタンディーク＝リーマン＝ロッホ定理として知られる、広範囲にわたる一般化を証明した。彼の研究は、リーマン＝ロッホ定理を多様体に関する定理ではなく、2つの多様体間の射に関する定理として再解釈した。証明の詳細は、1958年にアルマン・ボレルとジャン＝ピエール・セールによって発表された^{[ 14 ]。}その後、グロタンディークと彼の共同研究者たちは、証明を簡略化し、一般化した^{[ 15 ] 。}

最終的に、代数位相幾何学においても一般版が発見されました。これらの発展は、基本的にすべて1950年から1960年の間に行われました。その後、アティヤ＝シンガーの指数定理が一般化への新たな道を開きました。その結果、連接層のオイラー特性は十分に計算可能となりました。交代和内の被加数が1つのみの場合、消失定理などの更なる議論を用いる必要があります。

参照

• アラケロフ理論
• グロタンディーク＝リーマン＝ロッホの定理
• ヒルツェブルッフ＝リーマン＝ロッホの定理
• 川崎のリーマン・ロッホの公式
• ヒルベルト多項式
• 代数曲線のモジュライ

注釈

1. グリフィス、ハリス、116、117ページ
2. スティヒテノス、22ページ
3. 向井 pp.295–297
4. Liu, Qing (2002)、『代数幾何学と算術曲線』、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-850284-5、第7.3節
5. *アルトマン、アレン、クライマン、スティーブン(1970)、「グロタンディーク双対理論入門」、数学講義ノート、第146巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、定理VIII.1.4.、p. 164
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7. ポール・ボーム;ウィリアム・フルトン; MacPherson、Robert (1975)、「特異多様体のリーマン・ロッホ」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、45 (45): 101–145、doi : 10.1007/BF02684299、ISSN 1618-1913、S2CID 83458307  
8. 楕円曲線のモジュライは独立に構成できることに注意してください（ https://arxiv.org/abs/0812.1803を参照）。また、種数0の滑らかな曲線は1つしかなく、これは変形理論を用いて求めることができます（ https://arxiv.org/abs/math/0507286を参照）。${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$
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12. ラマクリシュナン、ディナカール；ヴァレンツァ、ロバート（1999年）『数体上のフーリエ解析』シュプリンガー・フェアラーク、第7章。
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• リーマン、ベルンハルト (1857)。「アーベルの機能理論」。数学に関するジャーナル。1857 (54): 115–155 . doi : 10.1515/crll.1857.54.115。hdl : 2027/coo.31924060183864。S2CID  16593204。
• グスタフ・ロック（1865年）。「Ueber die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen」。数学に関するジャーナル。1865 (64): 372–376 . doi : 10.1515/crll.1865.64.372。S2CID  120178388。
• Schmidt, Friedrich Karl (1931)、「Analytische Zahlentheorie in Körpern der Charakteristik p」、Mathematische Zeitschrift、33 : 1–32、doi : 10.1007/BF01174341、S2CID  186228993、Zbl  0001.05401、オリジナルから2017-12-22 にアーカイブされ、2020-05-16 に取得
• スティクテノス、ヘニング (1993)。代数関数体とコード。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-56489-6。
• ミーシャ・カポヴィッチ著『リーマン・ロッホの定理』（講義ノート）初等入門
• J. グレイ「リーマン・ロッホの定理と幾何学、1854-1914」
• 任意の体上の滑らかな射影曲線に対するリーマン・ロッホ曲線は存在するか？ MathOverflow