ロバーツの三角形の定理

半円に接する7本の線は5つの三角形の面を形成する

ロバーツの三角形定理は離散幾何学における定理で、平行線を持たず、かつ2本以上の線分の交差のない直線の配置は、少なくとも1つの三角形の面を持つというものです。したがって、3本の線分は1つの三角形を形成し、4本の線分は少なくとも2つの三角形を形成し、5本の線分は少なくとも3つの三角形を形成します。この定理は、1889年に発表したイギリスの数学者サミュエル・ロバーツにちなんで名付けられました。 [ 1 ] [ 2 ]n{\displaystyle n}n−2{\displaystyle n-2}

声明と例

定理は、ユークリッド平面上のすべての単純な直線配置は、少なくとも三角形の面を持つというものです。ここで、単純な配置とは、2本の直線が平行でなく、3本の直線が同一の点を通らない配置のことです。面とは、配置によって形成される多角形のうち、どの直線も交差しない面のことです。面は有界面でも無限面でも構いませんが、定理においては、ちょうど3辺を持つ有界面のみが三角形として数えられます。[ 1 ]n{\displaystyle n}n−2{\displaystyle n-2}

正確に三角形の面を持つ直線の配置を形成する一つの方法は、半円に接する直線を選択することです。このように配置された直線の場合、三角形となるのは、連続する接点を持つ3本の直線によって形成される三角形のみです。この配置の他の面は、有界四辺形か、無界四辺形のいずれかです。直線には連続する3本線がある ため、三角形も存在します。[ 1 ]n{\displaystyle n}n−2{\displaystyle n-2}n{\displaystyle n}n−2{\displaystyle n-2}n−2{\displaystyle n-2}

証拠

ブランコ・グリュンバウムは、ロバーツの原論文の証明を「説得力に欠ける」と評し[ 3 ] [ 4 ]、ロバーツの定理の最初の正しい証明は1979年のロバート・W・シャノンによるものとしている[ 1 ] [ 5 ]。彼は代わりに、アレクセイ・ベロフがロシア語で初めて発表した、より初歩的な以下の議論を提示している[ 1 ] [ 6 ] 。これは、同じ定理のより弱いバージョンに暗黙的に依存しており、それによれば、3本以上の直線の単純な配置はすべて、少なくとも1つの三角形の面を持つ。これは、配置に直線を追加しても三角形の面の数は減らないという事実から容易に帰納的に導かれる。つまり、直線が既存の三角形を切断する場合、結果として生じる2つの部分のうち1つは再び三角形になる。もし直線を追加すると三角形の数が常に増加するというより強い真理であれば、同様の帰納的帰納法によってロバーツの定理が証明されることになるが、これは正しくない。線を追加した後も三角形の数が変わらない配置も存在します。[ 1 ]

代わりに、ベロフは次のような議論を展開する。与えられた直線をすべて傾きを変えずに動かした場合、それらの新しい位置は、各直線の元の位置からのオフセットを実数系で表すことができる。三角形の各面には、その3本の直線のオフセットに関する線形方程式が存在し、この方程式が満たされれば、面は元の面積を維持する。三角形の数が 個より少ない場合（制約する方程式の数よりも変数の数の方が多いため）、2本の直線を固定し、残りのすべての直線の傾きを固定したまま、三角形の面積をすべて維持しながら同時に線形移動させることが可能である。このような移動は、単純ではない配置を通過する必要がある。例えば、移動する直線の1本が2本の固定された直線の交点を通過する場合などである。移動する直線が初めて単純ではない配置を形成する時点では、3本以上の直線が1点で交わる。これらの直線が交わる直前、定理の弱いバージョンによれば、交わる直線の部分集合は三角形の面を持つ。この出会いは配置が初めて単純ではなくなるため、元の配置から組み合わせ構造が変化しているはずはなく、したがって元の配置にも同じ三角形が含まれているはずである。三角形を定義する線が交わる時点で、その面積は0になるが、これは最初の配置における三角形の面積の不変性と矛盾する。この矛盾は、三角形の数が より少ないという仮定が不可能であることを示している。[ 1 ] [ 6 ]n{\displaystyle n}n{\displaystyle n}n−2{\displaystyle n-2}Δ{\displaystyle \Delta }Δ{\displaystyle \Delta }Δ{\displaystyle \Delta }n−2{\displaystyle n-2}

5つの三角形で5本の線分のKobon三角形問題を解く

ロバーツの定理は与えられた本数の線で作られる三角形の数が最小となる問題であるのに対し、関連するコボンの三角形問題は、作られる三角形の数が最も多くなる問題を扱っています。[ 3 ] 2つの問題は の点で既に異なっており、ロバーツの定理は3つの三角形が存在することを保証しますが、コボンの三角形問題の解は5つの三角形になります。[ 1 ]n＝5{\displaystyle n=5}

これらは互いに相反するように見えますが、コーボン三角形問題は、最小の三角形を持つ直線の部分配置を利用しています。適切な条件下では、直線と最大の三角形数を持つ単純な配置において、1本の直線を最小の三角形数を持つ直線の配置に置き換えることで、直線と最大の三角形数を持つ配置が得られます。[ 7 ] [ 8 ]n{\displaystyle n}n{\displaystyle n}2n−1{\displaystyle 2n-1}

ロバーツの定理は、単純な直線配置から、単純でない配置、ユークリッド平面ではなく射影平面上の配置、高次元空間における超平面上の配置へと一般化することができる。 [ 5 ]直線配置以外にも、ロバーツの定理と同じ境界が擬似直線の配置にも当てはまる。[ 9 ]

参考文献

  1. ^ a b c d e f g hグリュンバウム、ブランコ(1998)、「三角形はいくつ?」(PDF)、幾何学論、8 (1): 154–159、MR  1633757
  2. ^ロバーツ、サミュエル（1887年11月）「平面における直線系の切片によって形成される図形と、三次元空間における類似関係について」ロンドン数学会報、s1-19（1）：405–422、doi：10.1112 / plms/s1-19.1.405
  3. ^ a b Fejes Tóth, L. (1975), 「平面内の有向線に関する組合せ問題」, Research Problems, The American Mathematical Monthly , 82 (4): 387– 389, doi : 10.1080/00029890.1975.11993840 , JSTOR 2318414 , MR 1537693  
  4. ^ Grünbaum, Branko (1972), Arrangements and Spreads , Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics, vol. 10, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, p. 26, ISBN 9780821816592、MR  0307027
  5. ^ a b Shannon, RW (1979)、「超平面の配置における単体セル」、Geometriae Dedicata、8 (2): 179– 187、doi : 10.1007/BF00181486、MR 0538524、S2CID 119681116  
  6. ^ a bベロフ、A. Ya. (1992)、「組み合わせ幾何学の問題」、Uspekhi Matematicheskikh Nauk、47 (3): 151–152、doi : 10.1070/RM1992v047n03ABEH000898、MR 1185304、S2CID 250734782  
  7. ^ Bartholdi, Nicolas; Blanc, Jérémy; Loisel, Sébastien (2008) 「三角形の最大数を含む、および三角形の最大数を含む線と擬似線の単純な配置について」 (PDF)、Goodman, Jacob E.、Pach, János、Pollack, Richard (編)、「離散幾何学および計算幾何学に関する調査: ユタ州スノーバードで 2006 年 6 月 18 ～ 22 日に開催された第 3 回 AMS–IMS–SIAM 合同夏季研究会議「離散幾何学および計算幾何学 - 20 年後」の議事録、Contemporary Mathematics、vol. 453、プロビデンス、ロードアイランド：アメリカ数学会、pp.  105– 116、arXiv：0706.0723、doi：10.1090/conm/453/08797、ISBNP2{\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 978-0-8218-4239-3、MR  2405679
  8. ^ A006066
  9. ^ Felsner, S.; Kriegel, K. (1999)、「ユークリッド配置における三角形」、離散幾何学と計算幾何学、22 (3): 429– 438、doi : 10.1007/PL00009471、MR 1706582、S2CID 16696505  
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