ジェンセン階層

数学の一分野である集合論において、ジェンセン階層（J階層）は、ゲーデルの構成可能階層（L）の修正版であり、構成可能階層に存在する特定の技術的困難を回避しています。J階層は、ロナルド・ジェンセンが開拓した微細構造理論において重要な役割を果たしており、ジェンセン階層は彼の名にちなんで名付けられました。 基本的な関数は、ジェンセン階層を反復処理する方法を記述します。

意味

Lの定義と同様に、Def( X )をX上のパラメータで定義可能な集合の集合とします 。

${\displaystyle {\textrm {Def}}(X):=\{\{y\in X\mid \Phi (y,z_{1},...,z_{n}){\text{ は }}(X,\in )\}\mid \Phi {\text{ は一階述語論理式}},z_{1},...,z_{n}\in X\}}$

構成可能な階層は、超限再帰によって定義されます。特に、後続順序数では、 です。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}={\textrm {Def}}(L_{\alpha })}$

この構成の難しさは、各レベルが順序なしのペアの形成に対して閉じられていないことです。与えられた に対して、集合 はのサブセットではないため、の要素にはなりません。 ${\displaystyle x,y\in L_{\alpha +1}\setminus L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha}}$

しかし、Σ0分離の下で閉じているという望ましい性質を持ってい^ます。^[ ₁ ^]${\displaystyle L_{\alpha}}$

ジェンセンによるL階層の修正は、この性質と、やや弱い条件である がペアリングに関して閉じているという性質を保持しています。鍵となる手法は、 上の遺伝的に定義可能な集合をコードで符号化することです。すると、 はコードが に含まれるすべての集合を含みます。 ${\displaystyle J_{\alpha +1}\cap {\mathcal {P}}(J_{\alpha })={\textrm {Def}}(J_{\alpha })}$ ${\displaystyle J_{\alpha}}$ ${\displaystyle J_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle J_{\alpha}}$

と同様に、は再帰的に定義されます。各順序数 に対して、 をの普遍述語として定義します。遺伝的に定義可能な集合を、 を として符号化します。次に を設定し、最後に とします。 ${\displaystyle L_{\alpha}}$ ${\displaystyle J_{\alpha}}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle W_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle J_{\alpha}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }(n+1,e)=\{X_{\alpha }(n,f)\mid W_{n+1}^{\alpha }(e,f)\}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }(0,e)=e}$ ${\displaystyle J_{\alpha ,n}:=\{X_{\alpha }(n,e)\mid e\in J_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle J_{\alpha +1}:=\bigcup _{n\in \omega }J_{\alpha ,n}}$

プロパティ

各サブレベルJ _{α , n}は推移的であり、 ωα  +  n以下のすべての順序数を含む。サブレベルの列はnに関して厳密に⊆増加的である 。なぜなら、 Σ _m述語は任意のn  >  mに対してΣ _nでもあるからである。したがって、レベルJ _{α は}推移的かつ厳密に⊆増加的であり、対位法、-内包、および推移閉包に関して閉じている。さらに、それらは以下の性質を持つ。 ${\displaystyle \Delta _{0}}$

${\displaystyle J_{\alpha +1}\cap {\mathcal {P}}(J_{\alpha })={\text{Def}}(J_{\alpha }),}$

必要に応じて。（またはもう少し一般的に言えば、^{[ 2 ]}） ${\displaystyle L_{\omega +\alpha }=J_{1+\alpha }\cap V_{\omega +\alpha }}$

レベルとサブレベル自体は Σ _{1一様定義可能（すなわち、} J _α、J _βにおける_nの定義はβに依存しない ）であり、一様 Σ ₁整列性 を持つ。また、ジェンセン階層のレベルは、ゲーデルの元の階層のレベルと同様に、 凝縮補題を満たす。

任意の に対して、上の任意の関係を考えると、その関係に対するスコーレム関数が存在し、これはそれ自体が式で定義可能です。^{[ 3 ]}${\displaystyle J_{\alpha}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle J_{\alpha}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$

基本的な機能

基本関数は、V ⁿ →V関数（つまり、集合を引数として受け取る有限関数）であり、以下の操作から得られる。^{[ 2 ]}

• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = x _iは基本的なものです（投影関数を参照）
• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = { x _i , x _j } は初歩的なものである
• F ( x ₁ , x ₂ , ...) = x _i − x _jは初歩的なものである
• 基本的な関数の組み合わせはどれも基本的なものである
• ∪ _{z ∈ y} G ( z , x ₁ , x ₂ , ...) は初歩的なものであり、Gは初歩的な関数である。

任意の集合Mに対し、rud( M )をM∪ { M }を含む最小の集合とし、初等関数で閉じた集合とする_。このとき、ジェンセン階層はJα ₊₁ = rud( Jα )_を満たす。^{[ 2 ]}

プロジェクト

ジェンセンは、の射影を、すべての に対して が従順であるような最大のものと定義し、の射影も同様に定義される。微細構造理論の主要な結果の一つは、のすべての部分集合が（ α再帰理論の用語で） -有限ではないような最大のものでもあるということである。^{[ 2 ]}${\displaystyle \rho _{\alpha }^{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \beta \leq \alpha }$ ${\displaystyle (J_{\beta },A)}$ ${\displaystyle A\in \Sigma _{n}(J_{\alpha })\cap {\mathcal {P}}(J_{\beta })}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \rho _{\alpha }^{n}}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}(J_{\alpha })}$ ${\displaystyle \omega \gamma }$ ${\displaystyle \alpha}$

ラーマンは、 の射影を、のすべての部分集合が-有限とは限らないような最大のものと定義する。ここで、集合が となるのは、 が -再帰的であるように表現できる関数の像である場合である。ジェンセン流の特徴付けでは、の射影は、からへエピモーフィズムが存在するような最大のものである。射影がである順序数が存在するが、その射影はすべての自然な に対してとなる。^{[ 4 ]}${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \lim _{y_{1}}\lim _{y_{2}}\ldots \lim _{y_{n}}g(x,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \beta \leq \alpha }$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \Delta _{3}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle n}$

参考文献

1. ウォルフラム・ポーラーズ『証明理論：非予測性への第一歩』（2009年）（p.247）
2. K. Devlin , An Introduction to the Fine Structure of the Constructionible Hierarchy (1974). 2022年2月26日にアクセス。
3. RB Jensen, The Fine Structure of the Constructible Hierarchy (1972), p.247. 2023年1月13日にアクセス。
4. SG Simpson、「許容再帰理論の短期講座」『論理学と数学の基礎研究』第94巻、一般化再帰理論II（1978年）、355-390頁に

• Sy Friedman (2000) Fine Structure and Class Forcing、Walter de Gruyter、 ISBN 3-11-016777-8