スカラー色力学

量子場の理論において、スカラー色力学（スカラー量子色力学、あるいはスカラーQCDとも呼ばれる）は、ゲージ場とスカラー場が結合したゲージ理論である。この理論は、標準模型のヒッグスセクターをモデル化するために実験的に用いられている。

これは、スカラー場とゲージ場の結合から生じます。スカラー場は素粒子物理学において特定の粒子をモデル化するために用いられ、最も重要な例はヒッグス粒子です。ゲージ場は素粒子物理学において力をモデル化するために用いられます。ゲージ場は力の担い手です。ヒッグスセクターに適用された場合、これらはグラショー・ワインバーグ・サラム理論によって記述される電弱理論に現れるゲージ場となります。

物質量とラグランジアン

物質の内容

この記事では、ミンコフスキー空間として一般的に知られている平坦時空に関する理論について説明します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$

このモデルは、ゲージ場と最小限に結合した複素ベクトル値スカラー場から構成されます。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A_{\mu}}$

理論のゲージ群はリー群 である。一般的 には、に対してはとなるが、 を具体的に固定しなくても多くの詳細は成り立つ。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

スカラー場は関数（はの表現のデータ）として扱うことができます。すると はベクトル空間になります。「スカラー」とは、ベクトル値であるにもかかわらず、ローレンツ群の作用によって が（自明に）変換される方法を指します。具体的には、表現はしばしば基本表現として選ばれます。 の場合、この基本表現は です。もう1つの一般的な表現は随伴表現です。この表現では、以下のラグランジアン を変化させて運動方程式を求めると、ヤン・ミルズ・ヒッグス方程式が得られます。 ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow V}$ ${\displaystyle (V,\rho ,G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

ゲージ場の各成分は関数であり、ここで はリー群-リー代数対応からの のリー代数である。幾何学的な観点から見ると、は（理論が平坦時空上にあることから可能となる） 大域的な自明化の選択の下での主接続の成分である。${\displaystyle A_{\mu }:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

ラグランジアン

ラグランジアン密度は、クライン・ゴードン・ラグランジアン（ポテンシャル付き）とヤン・ミルズ・ラグランジアンとの最小結合から生じる。^{[ 1 ]：102} ここでスカラー場は、以下の基本表現で表される。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$

スカラーQCDラグランジアン密度

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}{\text{tr}}(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu })+(D_{\mu }\phi )^{\dagger }D^{\mu }\phi -V(\phi )}$

どこ

• ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ はゲージ場の強度であり、 と定義されます。幾何学では、これは曲率形式です。${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu }]}$
• ${\displaystyle D_{\mu }\phi }$ は の共変微分であり、次のように定義される。${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle D_{\mu }\phi =\partial _{\mu }\phi -ig\rho (A_{\mu })\phi .}$
• ${\displaystyle g}$ 結合定数です。
• ${\displaystyle V(\phi )}$ 潜在力です。
• ${\displaystyle {\text{tr}}}$ は上の不変双線型形式であり、例えばキリング形式などである。これをの何らかの表現における の跡として現れる形式とラベル付けするのは、典型的な記法の乱用である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{tr}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

これは、 を置き換えることにより、任意のゲージ グループ に直接一般化されます。ここで、 は、不変内積 を備えた任意の表現で値を取ります。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle (D_{\mu }\phi )^{\dagger }D^{\mu }\phi \mapsto \langle D_{\mu }\phi ,D^{\mu }\phi \rangle }$

ゲージ不変性

モデルはゲージ変換に対して不変であり、群レベルでは関数、代数レベルでは関数 です。 ${\displaystyle U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow G}$ ${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$

グループレベルでは、フィールドの変換は^{[ 2 ]}

${\displaystyle \phi (x)\mapsto U(x)\phi (x)}$

${\displaystyle A_{\mu }(x)\mapsto UA_{\mu }U^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }U)U^{-1}.}$

幾何学的な観点から見ると、これは自明性の大域的変化である。ゲージ対称性を対称性と呼ぶのは誤りである。これは実際には系の記述における冗長性である。 ${\displaystyle U(x)}$

曲がった時空

この理論は曲がった時空 への一般化を許容するが、そのためには理論に現れる多くの対象に対してより微妙な定義が必要となる。例えば、スカラー場は、ファイバー を伴うベクトル束の切断として見なければならない。これは平坦な時空でも成り立つが、基底空間の平坦性により、切断を関数 として見ることができ、概念的に単純化される。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M\rightarrow V}$

ヒッグス機構

ポテンシャルが の非ゼロ値で最小化される場合、このモデルはヒッグス機構を示す。実際、標準模型のヒッグス粒子は を選択したこの理論によってモデル化され、ヒッグス粒子は電磁気力とも結合している。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle G={\text{SU}}(2)}$

例

ポテンシャルを具体的に選択することで、いくつかのよく知られた理論を回復することができます。 ${\displaystyle V}$

を取ると、質量 を持つクライン＝ゴルドン場と最小限に結合したヤン＝ミルズ場が得られます。 ${\displaystyle V(\phi )=M^{2}\phi ^{\dagger }\phi }$ ${\displaystyle M}$

を取ると、標準モデルにおけるヒッグス粒子の可能性が生まれます。 ${\displaystyle V(\phi )=\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}-\mu _{H}^{2}\phi ^{\dagger }\phi }$

参照

• スカラー電気力学
• 量子色力学

参考文献

1. ドライナー、ハービ、ハーバー、ハワード、マーティン、スティーブン (2004). 『実用的超対称性』 ケンブリッジ大学出版局.
2. ペスキン、ハワード、シュローダー、ダニエル (1995).量子場の理論入門（復刻版）. ウェストビュー・プレス. ISBN 978-0201503975。