シューベルト多様体

代数幾何学において、シューベルト多様体とは、グラスマン多様体 の特定の部分多様体であり、ベクトル空間 の次元部分空間から成り、通常は特異点を持つ。グラスマン多様体と同様に、シューベルト多様体は一種のモジュライ空間であり、その元は 、指定された完備旗 の元との交点の次元に下限を与える条件を満たす。ここで は任意の体上のベクトル空間である場合もあるが、通常は実数または複素数とされる。 ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle V}$

典型的な例は、固定された（参照）2 次元部分空間と非自明に交差する 4 次元空間の次元部分空間の集合です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{2}}$

${\displaystyle X\ =\ \{w\subset V\mid \dim(w)=2,\,\dim(w\cap V_{2})\geq 1\}.}$

実数体上で、これは通常のxyz空間で次のように描くことができます。 部分空間を対応する射影空間に置き換え、 のアフィン座標パッチと交差すると、開部分集合X ° ⊂ Xが得られます。これは、 x軸と交わるすべての直線L (必ずしも原点を通らない)の集合と同型です。このような各直線LはX °の点に対応し、空間内で連続的に移動するL ( x軸と接触したまま) はX °の曲線に対応します。 Lの移動には 3 つの自由度 ( x軸上の点の移動、回転、傾斜)があるため、 Xは 3 次元の実代数多様体です。ただし、Lがx軸に等しい場合、軸上の任意の点の周りを回転または傾斜させることができ、この可能な動きの超過により、L はXの特異点になります。 ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

より一般的には、 のシューベルト多様体は、次元部分空間と固定参照完全フラグ内の各空間との 交差の最小次元を指定することによって定義されます。（上記の例では、これは直線Lとx軸およびxy平面との特定の交差を必要とすることを意味します。） ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$ ${\displaystyle \dim V_{j}=j}$

さらに一般化すると、ボレル部分群と標準的な放物型部分群を持つ半単純代数群が与えられたとき、旗多様体の一例である同質空間は有限個の -軌道から構成され、これらの -軌道はワイル群の特定の元によって媒介変数化され得ることが知られている。ある元に関連付けられた -軌道の閉包はと表記され、 におけるシューベルト多様体と呼ばれる。古典的な場合は に対応し、は の 番目の最大放物型部分群であるので、は における -平面のグラスマン多様体となる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G/P}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle X_{w}}$ ${\displaystyle G/P}$ ${\displaystyle G=SL_{n}}$ ${\displaystyle P=P_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle G/P=\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {C} ^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$

意義

シューベルト多様体は、特異代数多様体の中でも最も重要かつ最もよく研​​究されているクラスの一つである。シューベルト多様体の特異性の尺度は、局所ゴレスキー・マクファーソン交差コホモロジーを符号化するカジュダン・ルスティヒ多項式によって提供される。

シューベルト多様体上の正則関数の代数は代数的組合せ論において深い意味を持ち、直線化則を持つ代数の例である。グラスマン多様体の（コ）ホモロジー、およびより一般的には、より一般的な旗多様体の（コ）ホモロジーは、シューベルト多様体の（コ）ホモロジー類、またはシューベルト閉路からなる基底を持つ。グラスマン多様体上の交差理論の研究はヘルマン・シューベルトによって始められ、 19世紀にツォイテンによって数え上げ幾何学の見出しの下で継続された。この分野はダフィト・ヒルベルトによって重要とみなされ、彼の有名な23の問題のうちの15番目に含まれるに至った。この研究は、代数位相幾何学と表現論の一般的な発展の一部として 20 世紀にも継続されましたが、退化軌跡とシューベルト多項式に関するウィリアム・フルトンの研究に始まり、1970 年代の表現論におけるベルンシュタイン-ゲルファント-ゲルファントとデマズール、1980 年代の組合せ論におけるラスクーとシュッツェンベルガー、同じく 1980 年代の特異代数多様体の交差理論におけるフルトンとマクファーソンの以前の研究を踏襲した、1990 年代に加速しました。

参照

• シューベルト計算
• ブルハット分解
• ボット・サメルソン解決
• シューベルト多項式

参考文献

• グリフィス, PA ;ハリス, JE (1994).代数幾何学の原理. Wiley Classics Library版. Wiley-Interscience. doi : 10.1002/9781118032527 . ISBN 0-471-05059-8。
• AL Onishchik (2001) [1994]、「シューベルト多様体」、数学百科事典、EMS Press
• H. シューベルト、Lösung des Charakteristiken - Dimension Mitt の線形の問題。数学。 Gesellschaft Hamburg、1 (1889) pp. 134–155
• ウィリアム・フルトン(1997). Young Tableaux. With Applications to Representation Theory and Geometry, Chapters. 5 and 9.4 . ロンドン数学会学生テキスト. 第35巻. ケンブリッジ, イギリス: ケンブリッジ大学出版局. doi : 10.1017/CBO9780511626241 . ISBN 9780521567244。
• フルトン、ウィリアム（1998年）『交差理論』ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98549-7. MR  1644323 .