シューベルト多項式

数学において、シューベルト多項式は、旗多様体におけるシューベルト閉路のコホモロジー類を表すシューア多項式の一般化である。LascouxとSchützenberger (1982)によって導入され、ヘルマン・シューベルトにちなんで名付けられた。

背景

Lascoux (1995)はシューベルト多項式の歴史について説明しました。

シューベルト多項式は、有限個以外のすべての元を固定した無限対称群の順列の元に依存する変数の多項式である。これらは、無限変数の 多項式環の基底となる。${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle S_{\infty}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]}$

旗多様体のコホモロジーは、正次同次対称関数によって生成されるイデアルである。シューベルト多項式は、旗多様体のコホモロジーにおけるシューベルトサイクルを表す、十分に大きい任意の次数の唯一の同次多項式である。${\displaystyle {\text{Fl}}(m)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}]/I,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$ ${\displaystyle \ell (w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\text{Fl}}(m)}$ ${\displaystyle m.}$

プロパティ

• が最長の長さの順列である場合、${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w_{0}}=x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$

• ${\displaystyle \partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}}$ の場合、は転置、は を とする差商演算子です。${\displaystyle w(i)>w(i+1)}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle (i,i+1)}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P-s_{i}P)/(x_{i}-x_{i+1})}$

シューベルト多項式は、これら2つの性質から再帰的に計算できます。特に、これは次のことを意味します。 ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}=\partial _{w^{-1}w_{0}}x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$

その他の特性は

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{id}=1}$

• が転置 である場合、 となります。${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle (i,i+1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{s_{i}}=x_{1}+\cdots +x_{i}}$

• すべての に対して が成り立つならば、 はシュアー多項式であり、は分割 である。特に、すべてのシュアー多項式（有限変数）はシュベルト多項式である。${\displaystyle w(i)<w(i+1)}$ ${\displaystyle i\neq r}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$ ${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{r})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (w(r)-r,\ldots ,w(2)-2,w(1)-1)}$

• シューベルト多項式は正の係数を持つ。その係数に関する予想則はリチャード・P・スタンリーによって提唱され、セルゲイ・フォミンとスタンリーによる論文と、サラ・ビリー、ウィリアム・ジョクシュ、スタンリーによる論文の2つの論文で証明された。

• シューベルト多項式は、パイプドリームまたはRCグラフと呼ばれる特定の組み合わせオブジェクト上の生成関数と見ることができます。これらは、ゲルファント＝ツェトリン多面体の特殊面である、ミハイル・コーガンの博士論文で導入されたコーガン面と一対一です。

• シューベルト多項式は、バンプレスト・パイプ・ドリームと呼ばれるオブジェクトの加重和として記述することもできます。

例として

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{51423}(x)=x_{1}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}.}$

乗法構造定数

シューベルト多項式は -基底を形成するので、 次のような 一意の係数が存在する。${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle c_{\beta \gamma }^{\alpha }}$

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\beta }{\mathfrak {S}}_{\gamma }=\sum _{\alpha }c_{\beta \gamma }^{\alpha }{\mathfrak {S}}_{\alpha }.}$

これらは、リトルウッド＝リチャードソン則によって記述されるリトルウッド＝リチャードソン係数の一般化と見ることができます。代数幾何学的な理由（1974年のクライマンの横断定理）により、これらの係数は非負の整数であり、これらの数に対する組合せ論的規則を与えることは表現論と組合せ論における未解決の問題です。

二重シューベルト多項式

二重シューベルト多項式は、無限対称群の元wによってパラメータ化された 2 つの無限変数セットの多項式であり、すべての変数が のときに通常のシューベルト多項式になります。 ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle 0}$

二重シューベルト多項式は次のような性質を持つ。 ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )=\prod \limits _{i+j\leq n}(x_{i}-y_{j})}$ 最も長い長さの順列はいつですか。${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 1,\ldots ,n}$

• ${\displaystyle \partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}}$ もし${\displaystyle w(i)>w(i+1).}$

二重シューベルト多項式は次のように定義される。

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x,y)=\sum _{w=v^{-1}u{\text{ and }}\ell (w)=\ell (u)+\ell (v)}{\mathfrak {S}}_{u}(x){\mathfrak {S}}_{v}(-y).}$

量子シューベルト多項式

Fomin、Gelfand、Postnikov (1997)は、通常のシューベルト多項式が通常のコホモロジーに対して 持つ関係と同じ関係を旗多様体の(小さな) 量子コホモロジーに対して持つ量子シューベルト多項式を導入しました。

普遍シューベルト多項式

フルトン（1999）は、古典的および量子的なシューベルト多項式を一般化する普遍シューベルト多項式を導入した。また、二重シューベルト多項式を一般化する普遍二重シューベルト多項式についても述べた。

参照

• スタンレー対称関数
• コスタント多項式
• モンクの公式は線形シューベルト多項式とシューベルト多項式の積を与えます。
• 零コクセター代数

参考文献

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