論理接続詞

論理接続詞のハッセ図

論理学において、論理接続詞（論理演算子、文接続詞、文演算子とも呼ばれる）は、1つ以上の論理変数または論理式を結合または修飾する演算子です。これは、 やなどの算術接続詞が算術式を結合または否定するのと似ています。例えば、命題論理の構文では、二項接続詞（「または」を意味する）を使用して、2つの論理式 と を結合し、複雑な論理式 を作成できます。 +{\displaystyle +}−{\displaystyle -}∨{\displaystyle \lor}P{\displaystyle P}質問{\displaystyle Q}P∨質問{\displaystyle P\lor Q}

代数学とは異なり、論理接続詞には多くの記号が用いられます。表「論理接続詞」に例を示します。

一般的な接続詞には、否定、選言、連言、含意、同値などがある。古典論理の標準的な体系では、これらの接続詞は真理関数として解釈されるが、非古典論理では様々な解釈がなされる。これらの接続詞の古典的な解釈は、英語の「not」「or」「and」「if」といった自然言語表現の意味に似ているものの、同一ではない。自然言語の接続詞と古典論理の接続詞の矛盾が、自然言語の意味に対する非古典的なアプローチのきっかけとなってきた。

概要

形式言語において、真理関数は固定された記号で表され、整形式の文が単一の解釈を持つことを保証します。これらの記号は、論理接続詞、論理演算子、命題演算子、あるいは古典論理においては真理関数接続詞と呼ばれます。真理関数接続詞を用いて他の整形式式を連結することで、新たな整形式式を構築するための規則については、「整形式式」を参照してください。

論理接続詞は0個以上の文を連結するために使用できるため、n項論理接続詞と呼ぶことができます。ブール定数TrueとFalseは、ゼロ項演算子と考えることができます。否定は単項接続詞であり、以下同様です。

シンボル、名前 真理値表 ベン図
ゼロ項接続詞（定数）
⊤{\displaystyle \top}真実/トートロジー1
⊥{\displaystyle \bot}虚偽/矛盾0
単項接続詞
p{\displaystyle p} ＝ 0 1
命題p{\displaystyle p}0 1
¬{\displaystyle \neg}否定1 0
二項接続詞
p{\displaystyle p} ＝ 0011
q{\displaystyle q} ＝ 0101
∧{\displaystyle \land}接続詞0001
↑{\displaystyle \uparrow}代替的な否定1110
∨{\displaystyle \vee}分離0111
↓{\displaystyle \downarrow}共同否定1000
↮{\displaystyle \nleftrightarrow}排他的論理和0110
↔{\displaystyle \leftrightarrow}二条件付き1001
→{\displaystyle \rightarrow}材料条件付き1101
↛{\displaystyle \nrightarrow}物質的非関与0010
←{\displaystyle \leftarrow}逆の含意1011
↚{\displaystyle \nleftarrow}逆非含意0100
詳細情報

一般的な論理接続詞のリスト

よく使われる論理接続詞には以下のものがある。[ 1 ]

  • 否定（not）：、、（接頭辞）は最も現代的で広く使用されており、一般的でもあります。¬{\displaystyle \neg}〜{\displaystyle \sim}北{\displaystyle N}¬{\displaystyle \neg}〜{\displaystyle \sim}
  • 接続詞 (and) : 、、(接頭辞) は最も現代的で広く使用されています。∧{\displaystyle \wedge}＆{\displaystyle \&}K{\displaystyle K}∧{\displaystyle \wedge}
  • 選言（または）：、（接頭辞）は最も現代的で広く使用されています。∨{\displaystyle \vee}あ{\displaystyle A}∨{\displaystyle \vee}
  • 含意 (if.​​..then) : 、、、(接頭辞) のうち、は最も現代的で広く使用されており、も一般的です。→{\displaystyle \to}⊃{\displaystyle \supset }⇒{\displaystyle \Rightarrow}C{\displaystyle C}→{\displaystyle \to}⊃{\displaystyle \supset }
  • 同値 (次の場合のみ) : 、、 、、(接頭辞) のうち、 は最も現代的で広く使用されているものであり、も使用されている場所では が一般的に使用されています。↔{\displaystyle \leftrightarrow}⊂⊃{\displaystyle \subset \!\!\!\supset }⇔{\displaystyle \Leftrightarrow}≡{\displaystyle \equiv}E{\displaystyle E}↔{\displaystyle \leftrightarrow}⊂⊃{\displaystyle \subset \!\!\!\supset }⊃{\displaystyle \supset }

たとえば、「雨が降っている」（ で示される）と「私は屋内にいる」（ で示される）という文の意味は、これら 2 つを論理接続詞で組み合わせると次のように変化します。 p{\displaystyle p}q{\displaystyle q}

  • 雨は降っていません（）¬p{\displaystyle \neg p}
  • 雨が降っているので、私は屋内にいます（）;p∧q{\displaystyle p\wedge q}
  • 雨が降っているか、屋内にいます（）;p∨q{\displaystyle p\lor q}
  • 雨が降っている場合は、屋内にいます（）;p→q{\displaystyle p\rightarrow q}
  • 屋内にいる場合は雨が降っています（）；q→p{\displaystyle q\rightarrow p}
  • 雨が降っているときだけ、私は屋内にいます（）。p↔q{\displaystyle p\leftrightarrow q}

常に真となる式と常に偽となる式を連結的（その場合、それらはヌル項） と見なすことも一般的です。

  • 真の式: 、、(接頭辞)、または;⊤{\displaystyle \top}1{\displaystyle 1}V{\displaystyle V}T{\displaystyle \mathrm {T} }
  • 誤った数式: 、、(接頭辞)、または。⊥{\displaystyle \bot}0{\displaystyle 0}お{\displaystyle O}F{\displaystyle \mathrm {F} }

この表は用語をまとめたものです。

接続詞 英語で 部品の名詞 動詞句
接続詞 AとBの両方 結合 AとBは結合している
分離 AまたはB、あるいは両方 分離した AとBは分離している
否定 Aはそうではない ネガトゥム/ネガンド Aは否定される
条件付き AならばB 先行する、後続する BはAによって暗示される
二条件付き A の場合、そしてその場合のみ、B 同等のもの AとBは同等である

記法の歴史

  • 否定：記号は1930年にHeytingで登場しました[ 2 ] [ 3 ]（FregeのBegriffsschriftの記号⫟と比較してください[ 4 ]）; 記号は1908年にRussellで登場しました[ 5 ] ;別の表記法では、 のように式の上に水平線を追加します。別の表記法では、 のようにプライム記号を使用します。¬{\displaystyle \neg}〜{\displaystyle \sim}p¯{\displaystyle {\overline {p}}}p′{\displaystyle p'}
  • 論理積: この記号は1930年にHeytingで登場しました[ 2 ]（ペアノの集合論的記法である交差の使用と比較してください[ 6 ]）。この記号は少なくとも1924年にSchönfinkelで登場しました[ 7 ] 。この記号はブールによる論理を初等代数として解釈したことに由来します。∧{\displaystyle \wedge}∩{\displaystyle \cap}＆{\displaystyle \&}⋅{\displaystyle \cdot}
  • 選言: 記号 は1908年にラッセルで登場しました[ 5 ] (ペアノの集合論的記法である和の使用と比較してください)。 記号 は、通常の初等代数の が2元環 で論理的に解釈される場合、排他的であるかであるという事実から生じる曖昧さにもかかわらず、使用されています。 歴史的には、と右下隅のドットの組み合わせは、ピアースによって正確に使用されました。[ 8 ]∨{\displaystyle \vee}∪{\displaystyle \cup }+{\displaystyle +}+{\displaystyle +}+{\displaystyle +}
  • 意味：この記号は1918年にヒルベルトに登場した。[ 9 ] : 76は 1908年にラッセルによって使用された[ 5 ]（ペアノの反転したCであるƆと比較のこと）; 1954年にブルバキに登場した。 [ 10 ]→{\displaystyle \to}⊃{\displaystyle \supset }⇒{\displaystyle \Rightarrow}
  • 同値性：この記号は1879年にフレーゲで登場した。 [ 11 ]ベッカーでは1933年に登場した（これが初めてではないため、以下を参照）[ 12 ]ブルバキでは1954年に登場した。 [ 13 ]他の記号は、ゲンツェン[ 14 ] シェーンフィンケル[ 7 ]やチャザール[ 15 ]など、歴史の中で時折登場した。≡{\displaystyle \equiv}↔{\displaystyle \leftrightarrow}⇔{\displaystyle \Leftrightarrow}⊃ ⊂{\displaystyle \supset \subset }〜{\displaystyle \sim}⊂ ⊃{\displaystyle \subset \supset }
  • 真: この記号は、ブールによる論理の解釈から来ており、論理は2 要素のブール代数上の基本代数です。他の表記法としては、1889 年のペアノに見られる (ラテン語の「verum」の略語)などがあります。1{\displaystyle 1}V{\displaystyle \mathrm {V} }
  • 誤り: この記号はブールの論理を環として解釈したことからも来ています。他の表記法には、1889 年のペアノに見られる(回転した) などがあります。0{\displaystyle 0}Λ{\displaystyle \Lambda}V{\displaystyle \mathrm {V} }

一部の著者は接続詞に文字を使用していました。ヒルベルト(1904)の初期の著作では接続詞(ドイツ語の「und」は「and」)と選言(ドイツ語の「oder」は「or」)に文字が使用されていました。[ 16 ] 1929年のウカシェヴィチでは否定、接続詞、選択的否定、選言、含意、二条件文に文字が使用されていました。 あなた。{\displaystyle \operatorname {u.} }o。{\displaystyle \operatorname {o.} }北p{\displaystyle Np}Kpq{\displaystyle Kpq}Dpq{\displaystyle Dpq}あpq{\displaystyle Apq}Cpq{\displaystyle Cpq}Epq{\displaystyle Epq}

冗長性

逆含意" "のような論理接続子は、実際には、引数を入れ替えた物質条件文と同じであるため、逆含意の記号は冗長です。 一部の論理計算 (特に古典論理) では、本質的に異なる複合ステートメントが論理的に等価です。冗長性のそれほど自明ではない例として、との古典的な同値性があります。 したがって、古典に基づく論理システムでは、 " " (否定) と " " (または) がすでに使用されている場合は条件演算子 " " は必要ありません。または、1 つの否定と 1 つの選言を持つ複合ステートメントの 構文糖としてのみ" " を使用できます。←{\displaystyle \leftarrow }¬p∨q{\displaystyle \neg p\vee q}p→q{\displaystyle p\to q}→{\displaystyle \to }¬{\displaystyle \neg }∨{\displaystyle \vee }→{\displaystyle \to }

入力の真理値とを4桁の2進出力に関連付けるブール関数は16個あります。[ 17 ]これらは古典論理における2進論理接続詞の可能な選択肢に対応しています。古典論理の異なる実装では、機能的に完全な接続詞の異なるサブセット を選択できます。p{\displaystyle p}q{\displaystyle q}

一つのアプローチは、最小集合を選択し、他の接続詞を何らかの論理形式で定義することです。これは、上記の物質条件の例に当てはまります。以下は、古典論理における演算子の最小の機能的完全集合であり、その引数の数が2を超えません。

1つの要素
{↑}{\displaystyle \{\uparrow \}}、。{↓}{\displaystyle \{\downarrow \}}
2つの要素
{∨,¬}{\displaystyle \{\vee ,\neg \}}、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、。​​​​​​​​​​​​​​​​{∧,¬}{\displaystyle \{\wedge ,\neg \}}{→,¬}{\displaystyle \{\to ,\neg \}}{←,¬}{\displaystyle \{\gets ,\neg \}}{→,⊥}{\displaystyle \{\to ,\bot \}}{←,⊥}{\displaystyle \{\gets ,\bot \}}{→,↮}{\displaystyle \{\to ,\nleftrightarrow \}}{←,↮}{\displaystyle \{\gets ,\nleftrightarrow \}}{→,↛}{\displaystyle \{\to ,\nrightarrow \}}{→,↚}{\displaystyle \{\to ,\nleftarrow \}}{←,↛}{\displaystyle \{\gets ,\nrightarrow \}}{←,↚}{\displaystyle \{\gets ,\nleftarrow \}}{↛,¬}{\displaystyle \{\nrightarrow ,\neg \}}{↚,¬}{\displaystyle \{\nleftarrow ,\neg \}}{↛,⊤}{\displaystyle \{\nrightarrow ,\top \}}{↚,⊤}{\displaystyle \{\nleftarrow ,\top \}}{↛,↔}{\displaystyle \{\nrightarrow ,\leftrightarrow \}}{↚,↔}{\displaystyle \{\nleftarrow ,\leftrightarrow \}}
3つの要素
{∨,↔,⊥}{\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\bot \}}、、、、、、。​​​​{∨,↔,↮}{\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}}{∨,↮,⊤}{\displaystyle \{\lor ,\nleftrightarrow ,\top \}}{∧,↔,⊥}{\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\bot \}}{∧,↔,↮}{\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}}{∧,↮,⊤}{\displaystyle \{\land ,\nleftrightarrow ,\top \}}

もう一つのアプローチは、ある便利で機能的に完全だが最小限ではない集合の等権接続詞を用いることです。このアプローチではより多くの命題公理が必要となり、論理形式間の同値性は公理か定理として証明可能でなければなりません。

しかし、直観主義論理では状況はより複雑です。5つの接続詞{∧、∨、→、¬、⊥}のうち、否定「¬」のみが他の接続詞に還元できます（詳細は「偽（論理）」§「偽、否定、矛盾」を参照）。連言、選言、質料条件のいずれにも、他の4つの論理接続詞から構成される同等の形式はありません。

自然言語

古典論理における標準的な論理接続詞は、自然言語の文法にもほぼ相当するものがあります。英語では、多くの言語と同様に、そのような表現は典型的には文法的な接続詞です。しかし、補語、動詞接尾辞、助詞の形をとることもあります。自然言語接続詞の表記は、自然言語の論理構造を研究する分野 である形式意味論の主要な研究テーマです。

自然言語の接続詞の意味は、古典論理における最も近い意味と完全に同一ではありません。特に、選言は多くの言語において排他的な解釈を受けることがあります。一部の研究者は、この事実を自然言語意味論が非古典的である証拠と捉えています。しかし、他の研究者は、排他性に関する実用的な説明を仮定することで、非古典的であるかのような錯覚を生じさせ、古典的意味論を主張しています。このような説明では、排他性は通常、尺度含意として扱われます。選言を含む関連パズルには、自由選択推論、ハーフォードの制約、および選択肢問題における選言の寄与などがあります。

自然言語と古典論理の間に見られる他の明らかな矛盾としては、物質的含意のパラドックス、ロバの照応、そして反事実的条件文の問題が挙げられる。これらの現象は、自然言語の条件文の表示を、厳密条件文、可変厳密条件文、そして様々な動的演算子を含む論理演算子と同一視する動機とされてきた。

次の表は、英語の接続詞の標準的な古典的に定義可能な近似値を示しています。

英語の単語接続詞シンボル論理ゲート
ない否定¬{\displaystyle \neg }ない
そして接続詞∧{\displaystyle \land }そして
または分離∨{\displaystyle \vee }または
もし…ならば物質的な影響→{\displaystyle \rightarrow }暗示する
...もし逆の含意←{\displaystyle \leftarrow }
どちらか...または排他的論理和↮{\displaystyle \nleftrightarrow }排他的論理和
もし、そして、もし、二条件付き↔{\displaystyle \leftrightarrow }XNOR
両方ではない代替的な否定↑{\displaystyle \uparrow }ナンド
どちらでもない共同否定↓{\displaystyle \downarrow }または
しかし、重大な非関与↛{\displaystyle \nrightarrow }軽快に
いいえ…しかし逆非含意↚{\displaystyle \nleftarrow }

プロパティ

いくつかの論理接続詞は、その接続詞を含む定理で表現できる性質を持っています。論理接続詞が持つ可能性のある性質には、以下のようなものがあります。

結合性
同じ結合接続詞が 2 つ以上連続して含まれる式では、オペランドの順序が変更されない限り、演算の順序は重要ではありません。
可換性
接続詞のオペランドは、元の式との論理的等価性を維持しながら、入れ替えることができます。
分配性
すべてのオペランドa、b、cについてa · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c )が成り立つ場合、 · で表された接続子は、 + で表された別の接続子に分配されます。
冪等性
演算のオペランドが同じである場合、複合演算はオペランドと論理的に等価になります。
吸収
結合子のペア ∧、∨ は、すべてのオペランドa、bに対して吸収法則を満たします。a∧(a∨b)=a{\displaystyle a\land (a\lor b)=a}
単調性
すべてのa 1 , ..., a n , b 1 , ..., b n ∈ {0,1}においてa 1 ≤ b 1 , a 2 ≤ b 2 , ..., a n ≤ b nとなるとき、 f ( a 1 , ... , a n ) ≤ f ( b 1 , ..., b n )が成り立つ。例えば、 ∨ 、∧、 ⊤ 、⊥。
親和性
各変数は、演算の真理値に常に影響を与えるか、まったく影響を与えないかのどちらかです。例：¬、↔、、 ⊤、⊥。↮{\displaystyle \nleftrightarrow }
二重性
演算の真理値割り当てをその真理値表の上から下へ読むことは、同じ接続詞または別の接続詞の真理値表を下から上へ読むことの補集合を取ることと同じです。真理値表に頼らずに、g̃ (¬ a 1 , ..., ¬ a n ) = ¬ g ( a 1 , ..., a n )と定式化することもできます。例えば、¬ です。
真実を守る
これらすべての議論がトートロジーであるという複合語自体がトートロジーです。例：∨、∧、⊤、→、↔、⊂（妥当性を参照）。
虚偽の保存
これらすべての議論が矛盾であるという複合的な議論自体が矛盾です。例えば、∨、∧ 、⊥、⊄、⊅（妥当性を参照）。↮{\displaystyle \nleftrightarrow }
反転性（単項接続詞の場合）
f ( f ( a )) = a。例えば古典論理における否定。

古典論理と直観論理において、「=」記号は、論理複合項の対応する含意「...→...」と「...←...」がどちらも定理として証明できることを意味し、「≤」記号は、論理複合項の「...→...」が命題変数の対応する接続​​詞「...→...」の帰結であることを意味します。多値論理の中には、同値性と順序（含意）の定義が両立しないものがあります。

古典論理、多値論理のほとんどの変種、そして直観主義論理において、連言と選言はどちらも結合性、可換性、冪等性を持つ。同様のことは、連言の選言に対する分配性、連言の選言に対する分配性、そして吸収則についても当てはまる。

古典論理といくつかの種類の多値論理では、連言と選言は双対であり、否定は自己双対であり、後者は直観主義論理でも自己双対です。

優先順位

必要な括弧の数を減らす方法として、優先順位規則を導入することができます。¬は∧よりも、∧は∨よりも、∨は→よりも優先順位が高くなります。例えば、は の略語です。 P∨Q∧¬R→S{\displaystyle P\vee Q\land {\neg R}\rightarrow S}(P∨(Q∧(¬R)))→S{\displaystyle (P\vee (Q\land (\neg R)))\rightarrow S}

以下は論理演算子のよく使われる優先順位を示した表です。[ 18 ] [ 19 ]

オペレーター優先順位
¬{\displaystyle \neg }1
∧{\displaystyle \land }2
∨{\displaystyle \vee }3
→{\displaystyle \rightarrow }4
↔{\displaystyle \leftrightarrow }5

しかし、すべてのコンパイラが同じ順序を使用するわけではありません。例えば、論理和が含意や双含意よりも優先順位が低い順序付けも使用されています。[ 20 ]論理積と論理和の優先順位が明確に定められていない場合、式の中で括弧を用いて明示的に指定する必要があります。この優先順位によって、非アトミック式を解釈する際にどの接続詞が「主接続詞」となるかが決まります。

表とハッセ図

16個の論理結合子は、以下のハッセ図を生成するために半順序付けすることができる。半順序付けは、が成り立つとき、かつ、それが成り立つ場合に限り、が成り立つと宣言することによって定義される。x≤y{\displaystyle x\leq y}x{\displaystyle x}y.{\displaystyle y.}

input Ainput Boutput f(A,B)X and ¬XA and B¬A and BBA and ¬BAA xor BA or B¬A and ¬BA xnor B¬A¬A or B¬BA or ¬B¬A or ¬BX or ¬X
X or ¬X¬A or ¬BA or ¬B¬A or BA or B¬B¬AA xor BA xnor BAB¬A and ¬BA and ¬B¬A and BA and BX and ¬X
  

アプリケーション

論理接続詞は、コンピュータサイエンスや集合論で使用されます。

コンピュータサイエンス

論理演算子に対する真理関数的アプローチは、デジタル回路における論理ゲートとして実装されています。実質的にすべてのデジタル回路（主な例外はDRAM ）は、 NANDゲート、NORゲート、NOTゲート、およびトランスミッションゲートで構成されています。詳細は「コンピュータサイエンスにおける真理関数」を参照してください。ビットベクトル（有限ブール代数に対応）上の論理演算子は、ビット単位の演算です。

しかし、コンピュータプログラミングにおける論理接続詞の用法すべてがブール意味を持つわけではありません。例えば、P ∧ QやP ∨ Qには遅延評価が実装されることがあるため、式P、Qのいずれかまたは両方に副作用がある場合、これらの接続詞は可換ではありません。また、ある意味では物質的条件接続詞に対応する条件文 は、 については、前件部P が偽の場合、後件部 Q は実行されないため、本質的に非ブールです （ただし、そのような場合でも、複合文全体は成功 ≈ 「真」です）。これは、物質的条件文に関する古典論理の見解というよりも、 直観主義や構成主義の見解に近いものです。if (P) then Q;

集合論

論理接続詞は集合論の基本的な操作を定義するために使用され、[ 21 ]次のようにします。

集合論の演算と接続詞
集合演算 接続詞 意味
交差点接続詞A∩B={x:x∈A∧x∈B}{\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A\land x\in B\}}[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]
連合分離A∪B={x:x∈A∨x∈B}{\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A\lor x\in B\}}[ 25 ] [ 22 ] [ 23 ]
補体否定A¯={x:x∉A}{\displaystyle {\overline {A}}=\{x:x\notin A\}}[ 26 ] [ 23 ] [ 27 ]
サブセット含意A⊆B↔(x∈A→x∈B){\displaystyle A\subseteq B\leftrightarrow (x\in A\rightarrow x\in B)}[ 28 ] [ 23 ] [ 29 ]
平等二条件付きA=B↔(∀X)[A∈X↔B∈X]{\displaystyle A=B\leftrightarrow (\forall X)[A\in X\leftrightarrow B\in X]}[ 28 ] [ 23 ] [ 30 ]

この集合等式の定義は、外延性公理と同等です。

参照

参考文献

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出典

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