シロフ境界

関数解析学において、シロフ境界は、最大モジュラス原理の類似が成り立つ可換バナッハ代数の構造空間の最小の 閉部分集合である。発見者であるゲオルギー・エフゲニエヴィチ・シロフにちなんで名付けられている。

正確な定義と存在

を可換バナッハ代数とし、をその構造空間とし、双対の相対弱*位相を備えるものとする。 の（この位相における）閉部分集合は、任意の に対しての境界と呼ばれる。この集合はシロフ境界と呼ばれる。が の境界であることは、シロフ^{[ 1 ]}によって証明されている。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle \max _{f\in \Delta {\mathcal {A}}}|f(x)|=\max _{f\in F}|f(x)|}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle S=\bigcap \{F:F{\text{ は }}{\mathcal {A}}\}} の境界である$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

したがって、シロフ境界は、 ${\displaystyle S\subset \Delta {\mathcal {A}}}$

1. ${\displaystyle S}$ は の境界であり、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
2. が の境界である場合、 となります。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S\subset F}$

例

を複素平面上の開単位円板とし、を円板代数、すなわち、上限ノルムと通常の代数演算を備えたの閉包で正則な関数と連続な関数とします。すると、および となります。 ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=H^{\infty }(\mathbb {D} )\cap {\mathcal {C}}({\bar {\mathbb {D} }})}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {A}}={\bar {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle S=\{|z|=1\}}$

参考文献

• 「ベルグマン・シロフ境界」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

注記

1. Einar Hille、 Ralph S. Phillips著『関数解析と半群』の定理4.15.4。--AMS、プロビデンス、1957年。

参照

• ジェームズ境界
• フュルステンベルク境界