ショックレーダイオード方程式

ダイオードの法則における25℃、50℃、および2つの理想係数における電流-電圧曲線。下のグラフに使用されている対数スケールは、方程式の指数関係を表現するのに役立ちます。

ショックレーのダイオード方程式、またはダイオードの法則は、ベル研究所のトランジスタの共同発明者であるウィリアム・ショックレーにちなんで名付けられ、中程度の定電流順方向バイアスまたは逆バイアスにおける半導体ダイオードの指数関数的な電流-電圧 (I-V) 関係をモデル化します。

${\displaystyle I_{\text{D}}=I_{\text{S}}\left(e^{\frac {V_{\text{D}}}{nV_{\text{T}}}}-1\right),}$

どこ

${\displaystyle I_{\text{D}}}$ ダイオード電流、

${\displaystyle I_{\text{S}}}$ 逆バイアス飽和電流（またはスケール電流）である。

${\displaystyle V_{\text{D}}}$ ダイオードの両端の電圧は

${\displaystyle V_{\text{T}}}$ は熱電圧であり、

${\displaystyle n}$ は理想係数であり、品質係数、放出係数、または材料定数とも呼ばれます。

この式は、理想係数が1の場合、ショックレーの理想ダイオード方程式と呼ばれ、省略されることがあります。理想係数は通常1から2の範囲で変化しますが（場合によってはそれ以上になることもあります）、製造プロセスと半導体材料によって異なります。理想係数は、実際のトランジスタで観察される不完全な接合、主に電荷キャリアが空乏領域を通過する際のキャリア再結合を考慮するために追加されました。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

熱電圧は次のように定義されます。 ${\displaystyle V_{\text{T}}}$

${\displaystyle V_{\text{T}}={\frac {kT}{q}},}$

どこ

${\displaystyle k}$ はボルツマン定数であり、

${\displaystyle T}$ はp-n接合の絶対温度であり、

${\displaystyle q}$ は素電荷（電子の電荷の大きさ）です。

たとえば、 300 K (27 °C、80 °F) では約 25.852 mV になります。

逆飽和電流は特定のデバイスに対して一定ではなく、温度によって変化します。通常は よりも大幅に変化するため、 が増加すると通常は が減少します。 ${\displaystyle I_{\text{S}}}$ ${\displaystyle V_{\text{T}}}$ ${\displaystyle V_{\text{D}}}$ ${\displaystyle T}$

逆バイアス下では、ダイオード方程式の指数項は0に近くなるため、電流はある程度一定の逆電流値（シリコンダイオードの場合はおよそピコアンペア、ゲルマニウムダイオードの場合はマイクロアンペア^{[ 1 ]} 、ただしこれは明らかにサイズの関数である）に近くなります。 ${\displaystyle -I_{\text{S}}}$

中程度の順方向バイアス電圧では、熱電圧が比較的小さいため、指数関数は1よりはるかに大きくなります。ダイオードの式における は無視できるため、順方向ダイオード電流は近似値になります。 ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle I_{\text{S}}e^{\frac {V_{\text{D}}}{nV_{\text{T}}}}.}}$

回路問題におけるダイオード方程式の使用については、ダイオード モデリングに関する記事で説明されています。

制限事項

実際のダイオードでは、内部抵抗により、順方向バイアスが高い場合、I-V曲線が「平坦化」します。ショックレーの式ではこれをモデル化できませんが、直列に抵抗を追加することでモデル化できます。

逆方向ブレークダウン領域（特にツェナーダイオードの場合）は、ショックレーの方程式ではモデル化されません。

ショックレーの方程式は、ノイズ(内部抵抗によるジョンソン・ナイキスト ノイズやショット ノイズなど) をモデル化しません。

ショックレーの式は定電流（定常状態）関係であるため、ダイオードの過渡応答（内部接合部および拡散容量と逆回復時間の影響を含む）を考慮していません。

導出

ショックレーは1949年に発表した長文の論文でpn接合にかかる電圧の方程式を導出しました。^{[ 2 ]}その後、彼は追加の仮定の下で電圧の関数として電流に対応する方程式を示し、これは私たちがショックレーの理想ダイオード方程式と呼ぶ方程式です。^{[ 3 ]}彼はそれを「最大整流効果を与える理論的な整流式」と呼び、脚注でカール・ワグナーの論文「物理学論文集32、641～645ページ（1931年）」 を参照しています。

順方向バイアス時の pn 接合における準フェルミ準位のバンド図。

ショックレーは電圧の方程式を導き出すために、総電圧降下を3 つの部分に分割できると主張しています。

• 正孔の擬フェルミ準位がp端子に印加された電圧のレベルからドーピングが中性となる点（接合と呼ぶこともできる）におけるその値まで低下すること。
• 接合部の正孔の準フェルミ準位と接合部の電子の準フェルミ準位の差、
• 接合からn端子までの電子の擬フェルミ準位の低下。

彼は、これらの最初と 3 番目は、抵抗と電流の積として表現できることを示しています。2番目、つまり接合部の擬似フェルミ レベルの差については、この差からダイオードを流れる電流を推定できると述べています。彼は、p 端子の電流はすべて正孔であり、n 端子はすべて電子であり、これら 2 つの合計が一定の全電流であると指摘しています。したがって、全電流はダイオードの一方から他方への正孔電流の減少に等しくなります。この減少は、電子正孔対の再結合が電子正孔対の生成を上回っているためです。再結合率は、平衡状態、つまり 2 つの擬似フェルミ レベルが等しいときの生成率に等しくなります。擬似フェルミ レベルが等しくない場合、再結合率は生成率の積になります。次に、過剰再結合（または正孔電流の減少）の大部分は、n材料への正孔拡散長1つ分とp材料への電子拡散長1つ分の距離にある層で起こり、この層における擬フェルミ準位間の差は一定であると仮定する。すると、全電流、つまり正孔電流の低下は、 ${\displaystyle I_{\text{D}}R_{1}.}$ ${\displaystyle e^{(\phi _{\text{p}}-\phi _{\text{n}})/V_{\text{T}}}}$ ${\displaystyle L_{\text{p}}}$ ${\displaystyle L_{\text{n}}}$ ${\displaystyle V_{\text{J}}.}$

${\displaystyle I_{\text{D}}=I_{\text{S}}\left(e^{\frac {V_{\text{J}}}{V_{\text{T}}}}-1\right),}$

どこ

${\displaystyle I_{\text{S}}=gq(L_{\text{p}}+L_{\text{n}}),}$

は生成率です。 は次のように解くことができます。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V_{\text{J}}}$ ${\displaystyle I_{\text{D}}}$

${\displaystyle V_{\text{J}}=V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I_{\text{D}}}{I_{\text{S}}}}\right),}$

そして、総電圧降下は

${\displaystyle V=I_{\text{D}}R_{1}+V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I_{\text{D}}}{I_{\text{S}}}}\right).}$

が小さいと仮定すると、ショックレーの理想ダイオードの方程式が得られます。 ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle V=V_{\text{J}}}$

高い逆バイアス下で流れる微小電流は、層内で電子-正孔対が熱的に生成された結果です。電子はn端子へ、正孔はp端子へ流れます。層内の電子と正孔の濃度は非常に低いため、そこでの再結合は無視できます。

1950年、ショックレーとその同僚は、理想的な方程式に厳密に従うゲルマニウムダイオードを説明した短い論文を発表しました。 ^{[ 4 ]}

1954年、ビル・ファンとW・ファン・ルースブローク（ベル電話研究所に所属）は、ショックレーの式は特定のゲルマニウム接合には適用できるが、多くのシリコン接合では電流（かなりの順方向バイアス下）はAの値が2または3と高い場合に比例すると報告した。 ^{[ 5 ]}これが上記の理想係数である。 ${\displaystyle e^{V_{\text{J}}/AV_{\text{T}}},}$ ${\displaystyle n}$

ファインマンは『ファインマン物理学講義I.46』でブラウン運動のラチェットを用いた導出を示した。^{[ 6 ]}

太陽光発電

1981年、アレクシス・デ・ヴォスとヘルマン・パウエルスは、ある仮定の下で、接合の 量子力学をより注意深く解析すると、次のような電流対電圧特性が得られることを示した。

${\displaystyle I_{\text{D}}(V)=-qA[F_{i}-2F_{o}(V)],}$

ここで、Aは接合の断面積、Fi_は単位時間当たりの単位面積当たりの入射光子数（バンドギャップエネルギーを超えるエネルギーを持つ）、Fo（V）は出射光子数であり、 ^{[ 7 ]}で与えられる_。

${\displaystyle F_{o}(V)=\int _{\nu _{g}}^{\infty }{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu -qV}{kT_{c}}}\right)-1}}{\frac {2\pi \nu ^{2}}{c^{2}}}\,d\nu .}$

出射光束に2倍の係数が必要なのは、光子が両側から放射されるのに対し、入射光束は片側からのみ入射すると仮定しているためである。この解析は光照射下の太陽電池セルについて行われたが、入射光束にも2倍の係数が用いられることを条件に、光照射が単なる背景熱放射である場合にも適用できる。この解析は、セルが光子束を生成できるほど十分に厚いことを前提としている点を除けば、一般的な理想ダイオードに対してより厳密な式を与えている。光照射が単なる背景熱放射である場合、特性は次のようになる。

${\displaystyle I_{\text{D}}(V)=2q[F_{o}(V)-F_{o}(0)].}$

ショックレーの法則とは対照的に、電圧がギャップ電圧hν _g /qに達すると電流は無限大になることに注意してください。もちろん、無限の再結合量を得るには、厚さが無限大である必要があります。

この式は最近、 2D材料ベースのショットキーダイオードの最近のモデル^{[ 8 ]}を使用して、改訂された電流における新しい温度スケーリングを考慮するために改訂されました。 ${\displaystyle I_{\text{S}}}$

参考文献

1. McAllister, Willy (2022年11月14日). 「ダイオード方程式」 . Spinning Numbers . 2023年1月17日閲覧。
2. ウィリアム・ショックレー (1949年7月). 「半導体におけるpn接合とpn接合トランジスタの理論」 .ベルシステム技術ジャーナル. 28 (3): 435– 489. doi : 10.1002/j.1538-7305.1949.tb03645.x .454ページの式3.13。
3. 同上、 456ページ。
4. FS Goucher; et al. (1950年12月). 「ゲルマニウムpn接合の理論と実験」. Physical Review . 81. doi : 10.1103/PhysRev.81.637.2 .
5. WG Pfann ; W. van Roosbroek (1954年11月). 「放射性および光電pn接合電源」. Journal of Applied Physics . 25 (11): 1422– 1434. Bibcode : 1954JAP....25.1422P . doi : 10.1063/1.1721579 .
6. 「ラチェットと爪」www.feynmanlectures.caltech.edu .
7. A. De VosとH. Pauwels (1981). 「光起電力エネルギー変換の熱力学的限界について」. Appl. Phys . 25 (2): 119– 125. Bibcode : 1981ApPhy..25..119D . doi : 10.1007/BF00901283 . S2CID 119693148 . 。 付録。
8. YS Ang, HY Yang, LK Ang (2018年8月). 「ナノスケール横方向ショットキーヘテロ構造における普遍的なスケーリング」. Phys. Rev. Lett. 121 (5) 056802. arXiv : 1803.01771 . doi : 10.1103/PhysRevLett.121.056802 . PMID 30118283 .