正弦と余弦

正弦と余弦
一般情報
一般的な定義	${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(\theta )={\frac {\textrm {反対}}{\textrm {斜辺}}}\\[8pt]&\cos(\theta )={\frac {\textrm {隣接}}{\textrm {斜辺}}}\\[8pt]\end{aligned}}}$
応用分野	三角法、フーリエ級数など

数学において、正弦関数と余弦関数は角度の三角関数です。鋭角の正弦関数と余弦関数は直角三角形において定義されます。指定された角度 において、正弦関数はその角度の反対側の辺の長さと三角形の最長辺（斜辺）の長さの比であり、余弦関数はその三角形の隣の辺の長さと斜辺の長さの比です。角度 の場合、正弦関数と余弦関数はそれぞれ およびと表されます。 ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle \cos(\theta )}$

正弦と余弦の定義は、単位円内の特定の線分の長さに基づいて、任意の実数値に拡張されてきました。より現代的な定義では、正弦と余弦は無限級数、あるいは特定の微分方程式の解として表現され、任意の正負の値、さらには複素数にまで拡張可能です。

正弦関数と余弦関数は、音波や光波、調和振動子の位置と速度、太陽光の強度と昼の長さ、年間平均気温の変動といった周期現象をモデル化するために広く用いられています。これらの関数は、グプタ朝時代のインド天文学で用いられたjyā関数とkoṭi-jyā関数に由来しています。

基本的な説明

直角三角形の定義

角度αの場合、正弦関数は対辺の長さと斜辺の長さの比を与えます。

鋭角 の正弦と余弦を定義するには、まず の角度を含む直角三角形を考えます。図では、直角三角形のが の角度です。三角形の3辺は次のように命名されます。^{[ 1 ]}${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle ABC}$

• 対辺は、関心のある角度の反対側の辺です。この場合は です。${\displaystyle a}$
• 斜辺は直角の反対側の辺です。この場合は です。直角三角形では、斜辺は常に最も長い辺になります。${\displaystyle h}$
• 隣接辺は残りの辺です。この場合は です。これは、関心のある角度と直角の両方の辺を形成し、両方の角度に隣接しています。${\displaystyle b}$

このような三角形が選択されると、角度の正弦は対辺の長さを斜辺の長さで割った値に等しく、角度の余弦は隣接辺の長さを斜辺の長さで割った値に等しくなります。^{[ 1 ]}$${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {\text{反対辺}}{\text{斜辺}}},\qquad \cos(\alpha )={\frac {\text{隣接辺}}{\text{斜辺}}}.}$$

角度の他の三角関数も同様に定義できます。例えば、正接関数は対辺と隣接辺の比、つまり正弦関数と余弦関数の比です。正弦関数の逆数は余弦関数であり、斜辺の長さと対辺の長さの比を与えます。同様に、余弦関数の逆数は割線関数であり、斜辺の長さと隣接辺の長さの比を与えます。余接関数は隣接辺と対辺の比であり、正接関数の逆数です。これらの関数は次のように定式化できます。^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta)&={\frac {\sin(\theta)}{\cos(\theta)}}={\frac {\text{反対}}{\text{隣接}}},\\\cot(\theta)&={\frac {1}{\tan(\theta)}}={\frac {\text{隣接}}{\text{反対}}},\\\csc(\theta)&={\frac {1}{\sin(\theta)}}={\frac {\text{斜辺}}{\text{反対}}},\\\sec(\theta)&={\frac {1}{\cos(\theta)}}={\frac {\textrm {斜辺}}{\textrm {隣接}}}.\end{aligned}}}$$

特殊な角度測定

前述のように、値と は、角度 を含む直角三角形の選択に依存するように見えます。しかし、そのような三角形はすべて と相似であるため、それぞれの比は同じです。たとえば、45-45-90 の直角三角形の各辺は 1 単位で、斜辺は です。したがって、です。^{[ 2 ]}次の表は、 から までの定義域での正弦と余弦の両方について、各入力の特殊値を示しています。この表の入力では、度、ラジアンなど、さまざまな単位系が提供されます。これら 5 つの角度以外の角度は、電卓を使用して取得できます。^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle \sin(\alpha )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle \sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\textstyle 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}}}$

角度、x				sin( x )		cos( x )
学位	ラジアン	グラジアン	ターン	ちょうど	小数点	ちょうど	小数点
0°	0	${\displaystyle 0^{g}}$	0	0	0	1	1
30°	${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi }$	${\displaystyle 33{\frac {1}{3}}^{g}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0.5	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	0.866
45°	${\displaystyle {\frac {1}{4}}\pi }$	${\displaystyle 50^{g}}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	0.707	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	0.707
60°	${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi }$	${\displaystyle 66{\frac {2}{3}}^{g}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	0.866	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0.5
90°	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi }$	${\displaystyle 100^{g}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	1	1	0	0

法律

正弦法と余弦法の図解

正弦定理は、 2つの角度と 1 つの辺がわかっている場合に、三角形の未知の辺の長さを計算するのに役立ちます。^{[ 5 ]}、、およびの辺と、それらの辺の向かい側の角度である、、および を持つ三角形が与えられている場合、法則は、次のようになります。 これは、以下の最初の 3 つの式の等式に相当します。 ここで、 は三角形の円周半径です。 ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \gamma}$ $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}$$ ${\displaystyle R}$

余弦定理は、他の2辺と角度が分かっている場合に、未知の辺の長さを計算するのに役立ちます。^{[ 5 ]}この法則は、 の 場合、 から得られる式はピタゴラスの定理となると述べています。^{[ 6 ]}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}}$$ ${\displaystyle \gamma =\pi /2}$ ${\displaystyle \cos(\gamma )=0}$

ベクトルの定義

外積と内積は、ユークリッドベクトル空間における2つのベクトルの演算です。正弦関数と余弦関数は、外積と内積を用いて定義できます。とがベクトルで、がと間の角度である場合、正弦関数と余弦関数は次のように定義できます。^{[ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}},\\\cos(\theta )&={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}.\end{aligned}}}$$

分析的記述

単位円の定義

正弦関数と余弦関数は、より一般的な方法で、原点を中心とする半径1の円である単位円を用いて定義することもできます。この単位円は、直交座標系におけるの方程式として定式化されます。原点を通る直線が単位円と交差し、 -軸の正の半分に対しての角度をなすとします。この交点の-座標と-座標はそれぞれと に等しくなります。つまり、^{[ 9 ]}${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \cos(\theta )}$ ${\displaystyle \sin(\theta )}$ $${\displaystyle \sin(\theta )=y,\qquad \cos(\theta )=x.}$$

この定義は、単位円の斜辺の長さが常に1であるため、直角三角形における正弦関数と余弦関数の定義と一致しています。数学的に言えば、角度の正弦関数は三角形の対辺、つまり単に-座標に等しくなります。余弦関数についても同様の議論が成り立ち、単位円を用いた新しい定義においても、角度の余弦関数が のときであることを示すことができます。 ^{[ 10 ] [ 11 ]}${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$

関数のグラフとその基本的な性質

単位円（緑）上の点のy座標（赤点）から角度θで正弦関数（赤）をグラフ化する様子を示すアニメーション。余弦（青）はx座標です。

単位円の定義を用いる利点は、正弦関数と余弦関数のグラフを描くことができることである。これは、入力 に応じて、円周上の点を反時計回りに回転させることによって実現できる。正弦関数において、入力が の場合、点は反時計回りに回転し、ちょうど-軸上で停止する。 の場合、点は円の中間点に位置する。 の場合、点は原点に戻る。この結果、正弦関数と余弦関数はどちらも の範囲を持つことになる。^{[ 12 ]}${\displaystyle \theta >0}$ ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta =2\pi }$ ${\displaystyle -1\leq y\leq 1}$

角度を任意の実数領域に拡張すると、点は反時計回りに連続的に回転します。これはコサイン関数でも同様に行えますが、点は最初に-座標から回転します。言い換えれば、正弦関数とコサイン関数はどちらも周期的であり、円周によって加えられる角度は、その角度そのものになります。数学的には、^{[ 13 ]}${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \sin(\theta +2\pi )=\sin(\theta ),\qquad \cos(\theta +2\pi )=\cos(\theta ).}$$

関数がのとき奇関数であるといい、のとき偶関数であるといいます。正弦関数は奇関数ですが、余弦関数は偶関数です。^{[ 14 ]}正弦関数と余弦関数はどちらも類似しており、その差はだけずれています。この位相ずれはまたはと表すことができます。これは、以下に示す直角三角形の幾何学から生じる位相ずれではない余関数の恒等式とは異なります。^{[ 15 ]}${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle \cos(\theta )=\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ${\textstyle \sin(\theta )=\cos \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right),\\\cos(\theta )&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right).\end{aligned}}}$$

初期値x ₀  = −1を持つ固定小数点反復x _{n +1}  = cos( x _n )はDottie数に収束します。

正弦関数の唯一の実不動点は零点である。言い換えれば、正弦関数と恒等関数の唯一の交点は零点である。余弦関数の唯一の実不動点はドッティ数と呼ばれる。ドッティ数は方程式の唯一の実根である。ドッティ数の小数展開は約0.739085である。^{[ 16 ]}${\displaystyle \sin(0)=0}$ ${\displaystyle \cos(x)=x}$

継続性と差別化

直交座標系を用いた単位円とsin( x )の象限

正弦関数と余弦関数は無限に微分可能です。^{[ 17 ]}正弦関数の導関数は余弦関数で、余弦関数の導関数は負の正弦関数です。^{[ 18 ]} このプロセスを高次の導関数で続けると、同じ関数が繰り返されます。正弦関数の 4 次導関数は正弦関数そのものです。^{[ 17 ]}これらの導関数は1 次導関数テストに適用でき、これによれば関数の単調性は関数の 1 次導関数の不等式が 0 以上であるか以下であるかとして定義できます。^{[ 19 ]}これは2 次導関数テストにも適用でき、これによれば関数の凹面性は関数の 2 次導関数の不等式が 0 以上であるか以下であるかを適用することによって定義できます。^{[ 20 ]}次の表は、正弦関数と余弦関数の両方が特定の間隔で凹面性と単調性を持っていることを示しています。つまり、正の符号（）はグラフが増加（上向き）していることを示し、負の符号（）は減少（下向き）していることを示します。^{[ 3 ]}この情報は、4つの象限に分割された直交座標系として表すことができます。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x),\qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$

象限	角度		正弦			余弦
	学位	ラジアン	サイン	単調	凸状性	サイン	単調	凸状性
第1象限、I	${\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }}$	${\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle +}$	増加	凹面	${\displaystyle +}$	減少	凹面
第2象限、II	${\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<x<\pi }$	${\displaystyle +}$	減少	凹面	${\displaystyle -}$	減少	凸型
第3象限、III	${\displaystyle 180^{\circ }<x<270^{\circ }}$	${\displaystyle \pi <x<{\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle -}$	減少	凸型	${\displaystyle -}$	増加	凸型
第4象限、IV	${\displaystyle 270^{\circ }<x<360^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}<x<2\pi }$	${\displaystyle -}$	増加	凸型	${\displaystyle +}$	増加	凹面

正弦関数と余弦関数はどちらも微分方程式を用いて定義できます。 のペアは、初期条件がおよびである2次元微分方程式系 と の解です。上記の定義における単位円は、与えられた初期条件を持つ微分方程式 の位相空間軌跡を定義するものと解釈できます。これは、初期条件と から始まる微分方程式系 と の位相空間軌跡として解釈できます。 ${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$ ${\displaystyle (x(\theta ),y(\theta ))}$ ${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$ ${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$ ${\displaystyle y(0)=0}$ ${\displaystyle x(0)=1}$ ${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$ ${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$ ${\displaystyle y(0)=0}$ ${\displaystyle x(0)=1}$

積分と計測における使用法

これらの曲線の下の面積は、ある限られた区間で 積分することで求めることができます。これらの反微分は、以下のとおりです。 ここで、は積分定数を表します。^{[ 21 ]}これらの反微分は、与えられた区間での正弦関数と余弦関数の曲線の両方の計測特性を計算するために適用できます。たとえば、との間の正弦曲線の弧の長さは、 は 係数を持つ第2種不完全楕円積分です。これは、初等関数では表すことができません。^{[ 22 ]}完全な周期の場合、その弧の長さは、 はガンマ関数、はレムニスケート定数です。^{[ 23 ] [ 24 ]}$${\displaystyle \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C\qquad \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \int _{0}^{t}\!{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx={\sqrt {2}}\operatorname {E} \left(t,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),}$$ ${\displaystyle \operatorname {E} (\varphi ,k)}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle L={\frac {4{\sqrt {2\pi ^{3}}}}{\Gamma (1/4)^{2}}}+{\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}={\frac {2\pi }{\varpi }}+2\varpi \approx 7.6404}$$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \varpi }$

逆関数

直交座標平面上にグラフ化されたarcsin( x )関数とarcson( x )関数の通常の主値

正弦の逆関数は逆正弦または逆正弦であり、「arcsin」、「asin」、または と表記される。^{[ 25 ]}余弦の逆関数は逆余弦であり、「arccos」、「acos」、または と表記される。^{[ a ]}正弦と余弦は単射ではないため、それらの逆関数は正確な逆関数ではなく、部分逆関数である。例えば、だけでなく、 、 なども成り立つ。したがって、逆正弦関数は多値であり、だけでなく、、 なども成り立つ。1つの値だけが必要な場合、関数はその主枝に制限することができる。この制限により、定義域内の各 に対して、式は主値と呼ばれる単一の値のみに評価される。逆正弦の主値の標準的な範囲は からまでであり、逆余弦の標準的な範囲は からまでである。^{[ 26 ]}${\displaystyle \sin ^{-1}}$ ${\displaystyle \cos ^{-1}}$ ${\displaystyle \sin(0)=0}$ ${\displaystyle \sin(\pi )=0}$ ${\displaystyle \sin(2\pi )=0}$ ${\displaystyle \arcsin(0)=0}$ ${\displaystyle \arcsin(0)=\pi }$ ${\displaystyle \arcsin(0)=2\pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \arcsin(x)}$ ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi }$

正弦と余弦の逆関数は次のように定義されます。 ここで、ある整数に対して、 定義により、両方の関数は次の式を満たします 。 $${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right),}$$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &y=\arcsin(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\\\cos(y)=x\iff &y=\arccos(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=-\arccos(x)+2\pi k\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x\qquad \cos(\arccos(x))=x}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\\\arccos(\cos(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad 0\leq \theta \leq \pi \end{aligned}}}$$

その他のアイデンティティ

ピタゴラスの定理によれば、直角三角形の2つの2乗した辺の和は、斜辺の2乗である。両辺の式を斜辺の2乗で割ると、ピタゴラスの三角定理が得られ、正弦の2乗と余弦の2乗の和は1となる。^{[ 27 ] [ b ]}$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1.}$$

正弦と余弦は次の二倍角の公式を満たす: ^{[ 28 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin(\theta )\cos(\theta ),\\\cos(2\theta )&=\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )\\&=2\cos ^{2}(\theta )-1\\&=1-2\sin ^{2}(\theta )\end{aligned}}}$$

青は正弦関数、赤は正弦二乗関数です。x軸の単位はラジアンです。

余弦二倍角の公式は、sin ²と cos ²がそれぞれシフトおよびスケーリングされた正弦波であることを意味します。具体的には、^{[ 29 ]} グラフは正弦関数と正弦二乗関数の両方を示しており、正弦関数は青、正弦二乗関数は赤で示されています。両方のグラフは同じ形状ですが、値の範囲と周期が異なります。正弦二乗関数は正の値のみを持ちますが、周期数は2倍になります。 $${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\qquad \cos ^{2}(\theta )={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$$

級数と多項式

このアニメーションは、テイラー級数の部分和にさらに多くの項を含めると、正弦曲線に近づく様子を示しています。

正弦関数と余弦関数はどちらも、高階導関数を含むべき級数であるテイラー級数を使って定義できます。§連続性と微分で述べたように、正弦の導関数は余弦で、余弦の導関数は正弦の負です。つまり、 の連続的な導関数は、、、、となり、これら 4 つの関数を繰り返し続けます。点 0 で評価された -番目の導関数: ここで上付き文字は繰り返し微分を表します。これは、 における次のテイラー級数展開を意味します。次にテイラー級数の理論を使用して、すべての実数に対して次の恒等式が成り立つことを示すことができます—ここで はラジアン単位の角度です。^{[ 30 ]}より一般的には、すべての複素数に対して: ^{[ 31 ]} 各項の導関数を取ると、余弦のテイラー級数が得られます: ^{[ 30 ] [ 31 ]}${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle -\sin(x)}$ ${\displaystyle -\cos(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle (4n+k)}$ $${\displaystyle \sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{cases}0&{\text{when }}k=0\\1&{\text{when }}k=1\\0&{\text{when }}k=2\\-1&{\text{when }}k=3\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}}$$

多角形の正弦関数と余弦関数は、どちらもそれらの線形結合として現れ、多項式となる。このような多項式は三角多項式と呼ばれる。三角多項式の幅広い応用は、補間や、フーリエ級数として知られる周期関数の拡張において得られる。とを任意の係数とすると、次数 の三角多項式（ と表記）は次のように定義される。^{[ 32 ] [ 33 ]}${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T(x)}$ $${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx).}$$

三角級数は、三角多項式と同様に、その無限反転と同様に定義できる。 とを任意の係数とすると、三角級数は次のように定義できる。^{[ 34 ]} 与えられた積分関数 を持つフーリエ級数の場合、三角級数の係数は次のようになる。^{[ 35 ]}${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx).}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\cos(nx)\,dx,\\B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\sin(nx)\,dx.\end{aligned}}}$$

複素数の関係

複素指数関数の定義

正弦関数と余弦関数はともに、実数と虚数の両方からなる数の集合である複素数によってさらに拡張することができる。実数の場合、正弦関数と余弦関数の定義は、複素平面上で指数関数を用いて以下のように拡張することができる。 ^{[ 36 ]}${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}},\\\cos(\theta )&={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}},\end{aligned}}}$$

あるいは、両方の関数はオイラーの公式で定義することもできる。^{[ 36 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos(\theta )+i\sin(\theta ),\\e^{-i\theta }&=\cos(\theta )-i\sin(\theta ).\end{aligned}}}$$

複素平面上にプロットすると、の実数値に対する関数は複素平面上の単位円を描きます。正弦関数と余弦関数はどちらも の虚部と実部に簡略化され、次のように表すことができます。^{[ 37 ]}${\displaystyle e^{ix}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\operatorname {Im} (e^{i\theta }),\\\cos \theta &=\operatorname {Re} (e^{i\theta }).\end{aligned}}}$$

実数値および（ ）のとき、正弦関数と余弦関数は両方とも実正弦関数、実余弦関数、双曲線関数で次のように表すことができます。^{[ 38 ]}${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\\\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\end{aligned}}}$$

極座標

関数と は両方ともの実数部と虚数部です。${\displaystyle \cos(\theta )}$ ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$

正弦と余弦は複素数の実部と虚部を極座標 で結ぶのに使われます。 実部と虚部は それぞれ とで、 は複素数の大きさと角度を表します。^{[ 39 ]}${\displaystyle (r,\theta )}$ $${\displaystyle z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))=r\cos(\theta )+ir\sin(\theta ),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} (z)&=r\cos(\theta ),\\\operatorname {Im} (z)&=r\sin(\theta ),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$

任意の実数に対して、極座標におけるオイラーの公式は次のように表される。^{[ 36 ]}${\displaystyle \theta }$ ${\textstyle z=re^{i\theta }}$

複雑な議論

複素平面におけるsin( z ) の領域色分け。明度は絶対値、色相は複素偏角を表す。

sin( z )のベクトル場レンダリング

正弦と余弦の級数定義を複素引数zに適用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\\&=-i\sinh \left(iz\right)\\\cos(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\\&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\\&=\cosh(iz)\\\end{aligned}}}$

ここで、sinhとcoshはそれぞれ双曲線正弦と双曲線余弦です。これらは整関数です。

複素正弦関数と複素余弦関数を、引数の実数部と虚数部で表すと便利な場合もあります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\\cos(x+iy)&=\cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy)\\&=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\\end{aligned}}}$

複素正弦の部分分数展開と積展開

複素解析における部分分数展開法を用いると、無限級数 が収束し、かつ に等しいことが分かる 。同様に、 $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z-n}}={\frac {1}{z}}-2z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}-z^{2}}}}$$ ${\textstyle {\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$ $${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}.}$$

積展開法を用いると、 $${\displaystyle \sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right).}$$

複素正弦の使用法

sin( z )はガンマ関数の関数方程式に見られる。

${\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\pi \over \sin(\pi s)},}$

これはリーマンゼータ関数の関数方程式に見られる。

${\displaystyle \zeta (s)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\zeta (1-s).}$

正則関数として、sin zはラプラス方程式の 2D 解です。

${\displaystyle \Delta u(x_{1},x_{2})=0.}$

複素正弦関数は振り子の水準曲線にも関係している。^{[ 40 ]}

複雑なグラフ

複素平面における正弦関数

実数部	虚数成分	大きさ

複素平面における逆正弦関数

実数部	虚数成分	大きさ

背景

語源

正弦（sine ）という単語は、間接的にサンスクリット語のjyā「弓弦」、あるいはより具体的にはその同義語jīvá （どちらも古代ギリシア語のχορδή 「弦、コード」から採用）に由来しており、円弧とその弦が、弓とその弦と視覚的に類似していることに由来する（jyā、koti-jyā、utkrama-jyā を参照。 正弦と弦は単位直径の円では密接に関連している。プトレマイオスの定理を参照）。これはアラビア語ではjībaと翻字されたが、アラビア語では意味をなさないのでjb ( جب ) と表記された。アラビア語は短母音なしで表記されるため、jb は同音異義語jayb ( جيب )と解釈され、これは「懐」「ポケット」「ひだ」を意味する。^{[ 41 ] [ 42 ]} 12世紀にクレモナのジェラルドがアラビア語のアル・バタニとアル・フワーリズミーのテキストを中世ラテン語に翻訳した際、彼はラテン語の同義語であるsinus（これも「湾」または「ひだ」を意味し、より具体的には「胸の上に垂れ下がったトーガのひだ」を意味する）を使用した。 ^{[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]}ジェラルドはおそらくこの翻訳を使用した最初の学者ではない。ロバート・オブ・チェスターが彼に先立っていたようで、さらに古い使用の証拠がある。^{[ 46 ] [ 47 ]}英語のsineはトーマス・フェイルの1593年の時計学で導入された。^{[ 48 ]}

コサインという語は、ラテン語のcomplementi sinus （補角の正弦）をエドマンド・グンターのCanon triangulorum （1620年）でcosinusと略したことに由来しており、そこにはコタンジェンスの同様の定義も含まれている。^{[ 49 ]}

歴史

1840年代のオスマントルコの四分儀。角度の正弦と正弦を調べるための軸が付いています。

三角法の研究は古代にまで遡りますが、今日使用されている三角関数は中世に開発されました。弦関数は、ニカイアのヒッパルコス（紀元前180年～125年）とローマ帝国エジプトのプトレマイオス（紀元90年～165年）によって発見されました。 ^{[ 50 ]}

正弦関数と余弦関数は、サンスクリット語からアラビア語、そしてアラビア語からラテン語への翻訳を通じて、グプタ朝時代（アーリヤバティーヤとスーリヤ・シッダーンタ）のインド天文学で使用されていたjyā関数とkoṭi -jyā関数と密接な関係があります。^{[ 43 ] [ 51 ]}

現在使用されている6つの三角関数はすべて、三角形を解くのに使用される正弦定理と同様に、9世紀までにイスラム数学で知られていました。^{[ 52 ]}アル・フワーリズミー（780年頃–850年）は、正弦、余弦、正接の表を作成しました。^{[ 53 ] [ 54 ]}ムハンマド・イブン・ジャービル・アル・ハラニー・アル・バッターニー（853年–929年）は、正割と余割の逆関数を発見し、1°から90°までの各度に対する余割の最初の表を作成しました。^{[ 54 ]}

17世紀初頭、フランスの数学者アルベール・ジラールは、 sin、cos、tanという略語を初めて用いた論文を発表しました。これらはオイラーによってさらに普及しました（下記参照）。コペルニクスの弟子であるゲオルク・ヨアヒム・レティクスの『三角関数のパラティン』は、三角関数を円ではなく直角三角形を用いて直接定義し、6つの三角関数すべての表を示したヨーロッパ初の著作であると考えられています。この作品は、レティクスの弟子であるヴァレンティン・オトによって1596年に完成されました。

1682年に発表された論文で、ライプニッツはsin x がxの代数関数ではないことを証明した。^{[ 55 ]}ロジャー・コーツは著書『Harmonia Mensurarum 』（1722年）で正弦の微分を計算した。^{[ 56 ]}レオンハルト・オイラーの『Introductionio in analysin infinitorum』（1748年）は、ヨーロッパにおける三角関数の解析的扱いを確立する上で大きな役割を果たした。また、三角関数を無限級数として定義し、「オイラーの公式」を提示したほか、ほぼ現代的な略語であるsin.、cos.、tang.、cot.、sec.、cosec.も提示した。 ^{[ 43 ]}

ソフトウェア実装

正弦と余弦を計算するための標準的なアルゴリズムは存在しません。信頼性の高い浮動小数点演算の仕様として最も広く使用されている標準規格であるIEEE 754は、正弦などの三角関数の計算については規定していません。その理由は、特に大きな入力に対して、指定された精度で正弦と余弦を計算する効率的なアルゴリズムが知られていないためです。^{[ 57 ]}

正弦を計算するアルゴリズムは、速度、精度、移植性、入力値の範囲といった制約を考慮してバランスが取られている場合があります。そのため、特に入力値が非常に大きい場合（例： ）などの特殊な状況では、アルゴリズムによって結果が異なる可能性があります。 sin(1022)

特に3Dグラフィックスでよく用いられるプログラミング最適化の手法として、正弦値のテーブル（例えば1度ごとに1つの値）を事前に計算し、中間の値については最も近い事前計算値を選択するか、最も近い2つの値の間を線形補間して近似値を求めるというものがあります。これにより、結果をリアルタイムで計算するのではなく、テーブルから参照できるようになります。しかし、最新のCPUアーキテクチャでは、この手法はメリットをもたらさない可能性があります。

CORDICアルゴリズムは科学計算用計算機でよく使用されます。

正弦関数と余弦関数は、他の三角関数と同様に、さまざまなプログラミング言語やプラットフォームで広く利用されています。コンピューターの世界では、これらは通常、sinとと略されますcos。

80387 以降の Intel x87 FPUを含む一部の CPU アーキテクチャには、正弦演算用の組み込み命令があります。

プログラミング言語では、sinおよびはcos通常、組み込み関数であるか、言語の標準数学ライブラリ内にあります。たとえば、C 標準ライブラリは、 math.h内で、、および という正弦関数を定義します。それぞれのパラメータは、角度をラジアンで指定する浮動小数点値です。各関数は、受け入れるデータ型と同じデータ型を返します。他の多くの三角関数も、余弦、逆正弦、双曲線正弦 (sinh) など、math.hで定義されています。同様に、 Python は組み込みモジュール内でおよびを定義します。複素正弦関数と余弦関数もモジュール内で使用できます(例: ) 。CPythonの数学関数は C ライブラリを呼び出し、倍精度浮動小数点形式を使用します。 sin(double)sinf(float)sinl(long double)math.sin(x)math.cos(x)mathcmathcmath.sin(z)math

ターンベースの実装

一部のソフトウェアライブラリでは、半回転を単位とする入力角度を使用して正弦関数と余弦関数の実装を提供しています。半回転とは、180 度またはラジアンの角度です。角度を回転または半回転で表すと、精度と効率の点で有利になる場合があります。[ ^{58 ] [ 59 ]これら}の関数は、 MATLAB、^{[ 58 ]} OpenCL、^{[ 60 ]} R、^{[ 59 ]} Julia、^{[ 61 ]} CUDA、^{[ 62 ]} ARM では および と呼ばれます。^{[ 63 ]}たとえば、は と評価されます。ここでx は半回転で表現されるため、関数への最終的な入力πxはsinによってラジアンで解釈できます。 ${\displaystyle \pi }$ sinpicospisinpi(x)${\displaystyle \sin(\pi x),}$

精度面での優位性は、1回転、半回転、1/4回転といった重要な角度を、バイナリ浮動小数点または固定小数点においてロスレスで完璧に表現できることに由来します。一方、、、をバイナリ浮動小数点またはバイナリスケール固定小数点において表現する場合、無理数は有限個のバイナリ桁数で表現できないため、常に精度が低下します。 ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

ターンは、1周期を法とする計算においても、精度と効率の両面で利点があります。1ターンを法とする計算、または2半ターンを法とする計算は、浮動小数点数と固定小数点数の両方でロスレスかつ効率的に実行できます。例えば、2進小数点スケールの固定小数点値に対して1を法とする計算、または2を法とする計算は、ビットシフトまたはビット単位のAND演算のみで実行できます。一方、法の計算では、表現に不正確さが生じます。 ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

角度センサーを使用するアプリケーションでは、センサーは通常、回転または半回転と直接互換性のある形式で角度測定値を提供します。例えば、角度センサーは1回転で0から4096までカウントする場合があります。^{[ 64 ]}半回転を角度の単位として使用する場合、センサーから提供される値は、2進小数点の右側に11ビットを持つ固定小数点データ型に直接かつロスレスにマッピングされます。一方、ラジアンを角度の保存単位として使用する場合、生のセンサー整数に近似値を乗算することによる不正確さとコストが発生します。 ${\textstyle {\frac {\pi }{2048}}}$

参照

• アーリヤバタの正弦表
• バースカラ1世の正弦近似式
• 離散正弦変換
• ディクソン楕円関数
• オイラーの公式
• 一般化三角法
• 双曲線関数
• レムニスケート楕円関数
• 正弦の法則
• 周期関数のリスト
• 三角関数の恒等式の一覧
• マダヴァシリーズ
• マダヴァの正弦表
• 光学正弦定理
• 極正弦—頂点角への一般化
• 三角関数の等式の証明
• シンク関数
• 正弦変換と余弦変換
• 正弦積分
• 正弦象限
• 正弦波
• サイン・ゴードン方程式
• 正弦波モデル
• ソカトア
• 三角関数
• 三角積分

参考文献

脚注

1. およびの上付き文字 −1 は、指数関数ではなく、関数の逆関数を表します。${\displaystyle \sin ^{-1}}$ ${\displaystyle \cos ^{-1}}$
2. ここで、は二乗正弦関数を意味します。${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x)}$

引用

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    • クレモナのジェラルドによる『アル・フワーリズミー代数学』の翻訳
    • ロバート・オブ・チェスターによる1145年のアル・フワーリズミーの表の翻訳
    Merlet (2004) を参照。Gerardに由来する以前の語源については、Maor (1998)第3章を参照。Katz (2008) 210ページを参照。
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引用文献

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外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの正弦関数に関連するメディア