バースカラ1世の正弦近似式

数学 において、バースカラ1世の正弦近似公式は、7世紀インドの数学者バースカラ1世（600年頃-680年頃）が発見した三角関数の正弦の近似値を計算するための、 1変数の有理式である。[ 1 ] この公式は、彼の論文『マハーバーシャ​​リヤ』に掲載されている。バースカラ1世がどのようにしてこの近似公式に至ったかは不明である。しかし、数人の数学史家が、バースカラが公式を導くために用いた方法について、様々な仮説を提唱している。この公式は簡潔で洗練されており、幾何学を使わずに三角関数の正弦のかなり正確な値を計算することができる。[ 2 ]

近似式

この公式はバースカラ第1部第7章マハーバーシュカリヤの第17～19節に示されています。その詩節の翻訳は以下の通りです。[ 3 ]

（ここで） Rsine 差 225 などを使わずに、（bhujaphalaやkotiphalaなどを求めるための）規則を簡単に述べます。半円の度数（つまり 180 度）からbhuja（またはkoti ）の度数を引きます。次に、その余りにbhujaまたはkotiの度数を掛けて、結果を 2 か所に記入します。1 か所では、その結果を 40500 から引きます。（このようにして得られた）余りの 4 分の 1 で、もう 1 か所で、anthyaphala （つまり、周転円半径）を掛けた結果を割ります。こうして、太陽、月、または恒星惑星のbahuphala（またはkotiphala ）全体が得られます。同様に、順 Rsine と逆 Rsine も得られます。

(「Rsine-differences 225」という参照は、Aryabhata の正弦表を暗示しています。)

現代の数学的記法では、角度xを度で表すと、この式は[ 3 ]となる。

罪⁡×∘≈4×（180−×）40500−×（180−×）。{\displaystyle \sin x^{\circ }\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}.}

式の等価形式

バースカラ1世の正弦近似式は、次のようにラジアン角度で表すことができます。[ 1 ]

罪⁡×≈16×（π−×）5π2−4×（π−×）。{\displaystyle \sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}}.}

正の整数nの場合、これは次の形を取る：[ 4 ]

罪⁡πn≈16（n−1）5n2−4n+4。{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{n}}\approx {\frac {16(n-1)}{5n^{2}-4n+4}}.}

この式は、正弦ではなく余弦で表すとさらに簡潔になります。から までの角度をラジアンで表し、と置くと、 −π2{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}π2{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}×＝12π+y{\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}\pi +y}

コス⁡y≈π2−4y2π2+y2＝1−5y2π2+y2。{\displaystyle \cos y\estimate {\frac {\pi ^{2}-4y^{2}}{\pi ^{2}+y^{2}}}=1-{\frac {5y^{2}}{\pi ^{2}+y^{2}}}.}

前の式を定数で表すには、 τ＝2π、{\displaystyle \tau =2\pi ,}

コス⁡y≈1−20y24y2+τ2。{\displaystyle \cos y\approx 1-{\frac {20y^{2}}{4y^{2}+\tau^{2}}}.}}

バースカラ1世の公式に相当する形式は、その後のインドのほぼすべての天文学者や数学者によって提示されてきた。例えば、ブラフマグプタ（紀元598年-668年） の 『ブラフマ・スプタ・シッダーンタ』（第14章23-24節）[ 3 ]では、この公式を次のように示している。

R罪⁡×∘≈R×（180−×）10125−14×（180−×）。{\displaystyle R\sin x^{\circ }\approx {\frac {Rx(180-x)}{10125-{\frac {1}{4}}x(180-x)}}.}

また、バースカラ 2 世(西暦1114 ～ 1185 年) は、『リラヴァティ』 (『クシェトラ・ヴィャヴァハラ』『創価』第 48 号) の中で、次のような形式で この公式を与えています。

2R罪⁡×∘≈4×2R×2R××（360R−2R×）14×5×（360R）2−2R××（360R−2R×）＝5760R×−32R×2162000−720×+4×2{\displaystyle 2R\sin x^{\circ }\approx {\frac {4\times 2R\times 2Rx\times (360R-2Rx)}{{\frac {1}{4}}\times 5\times (360R)^{2}-2Rx\times (360R-2Rx)}}={\frac {5760Rx-32Rx^{2}}{162000-720x+4x^{2}}}}

この近似は逆余弦と逆正弦の式を導くためにも使用できます。

アルコス⁡×≈π1−×4+×{\displaystyle \arccos x\approx \pi {\sqrt {\frac {1-x}{4+x}}}}{0≤×≤1}{\displaystyle \left\{0\leq x\leq 1\right\}}、 そして
アルコス⁡×≈π（1−1+×4−×）{\displaystyle \arccos x\approx \pi \left(1-{\sqrt {\frac {1+x}{4-x}}}\right)}{−1≤×≤0}{\displaystyle \left\{-1\leq x\leq 0\right\}}。
アークサイン⁡×≈π（12−1−×4+×）{\displaystyle \arcsin x\approx \pi \left({\frac {1}{2}}-{\sqrt {\frac {1-x}{4+x}}}\right)}{0≤x≤1}{\displaystyle \left\{0\leq x\leq 1\right\}}、 そして
arcsin⁡x≈π(1+x4−x−12){\displaystyle \arcsin x\approx \pi \left({\sqrt {\frac {1+x}{4-x}}}-{\frac {1}{2}}\right)}{−1≤x≤0}{\displaystyle \left\{-1\leq x\leq 0\right\}}。

あるいは、絶対値とSign 関数を使用して、各関数のペアを次のように書き直すこともできます。

arccos⁡x≈π(1−sgn⁡(x)2+sgn⁡(x)1−|x|4+|x|){\displaystyle \arccos x\approx \pi \left({\frac {1-\operatorname {sgn} \left(x\right)}{2}}+\operatorname {sgn} \left(x\right){\sqrt {\frac {1-\left|x\right|}{4+\left|x\right|}}}\right)}
arcsin⁡x≈πsgn⁡(x)(12−1−|x|4+|x|){\displaystyle \arcsin x\approx \pi \operatorname {sgn} \left(x\right)\left({\frac {1}{2}}-{\sqrt {\frac {1-\left|x\right|}{4+\left|x\right|}}}\right)}

式の正確さ

図はバースカラ1世の正弦近似式の精度を示しています。シフトされた曲線4 x (180 − x )/(40500 − x (180 − x )) − 0.2とsin  x + 0.2は、曲線sin  xの正確なコピーのように見えます。
バースカラ1世の正弦近似式における誤差のグラフ
バースカラ1世の正弦近似式における相対誤差のグラフ

この式は、0°から180°までの範囲の x °の値に適用できます。この範囲では、この式は驚くほど正確です。sin xのグラフと近似式のグラフは視覚的に区別がつかず、ほぼ同じです。添付の​​図の1つは、誤差関数のグラフを示しています。つまり、関数

sin⁡x∘≈4x(180−x)40500−x(180−x){\displaystyle \sin x^{\circ }\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}}

この式の使用において、最大絶対誤差は約0.0016であることが示されています。絶対誤差のパーセンテージ値をプロットすると、最大相対誤差は1.8%未満であることがわかります。したがって、この近似式は、ほとんどの実用目的において十分に正確な正弦の値を与えます。しかし、天文学のより正確な計算要件を満たすには不十分でした。インドの天文学者によるより正確な式の検索は、最終的に、ケーララ天文学および数学学派の創始者であるサンガマグラマのマダヴァ（1350年頃～1425年頃）によるsin  xおよびcos  xのべき級数展開の発見につながりました。

式の導出

バースカラは、その公式に至った経緯を一切示していない。歴史家たちは様々な可能性について推測してきたが、決定的な答えはまだ得られていない。この公式は、古代インドの天文学者たちの数学的成果の代表例として歴史的に重要であるだけでなく、現代の観点からも意義深い。数学者たちは現代の概念とツールを用いてこの法則を導出しようと試みてきた。それぞれ異なる前提に基づく、およそ6つの方法が提案されている。[ 2 ] [ 3 ]これらの導出のほとんどは、基本的な概念のみを用いている。

初等幾何学に基づく導出

円周を度で測り、円の半径Rも度で測るとする。固定の直径ABと円上の任意の点Pを選び、垂線PMをABに落とすと、三角形APBの面積は2つの方法で計算できる。面積を求める2つの式を等しくすると、 (1/2) AB × PM = (1/2) AP × BPとなる。つまり、

1PM=ABAP×BP.{\displaystyle {\frac {1}{PM}}={\frac {AB}{AP\times BP}}.}

弧APの長さをxとすると、弧BPの長さは180 − xとなる。これらの弧はそれぞれの弦よりもはるかに大きい。したがって、

1PM>2Rx(180−x).{\displaystyle {\frac {1}{PM}}>{\frac {2R}{x(180-x)}}.}

ここで、2つの定数αとβを求める。

1PM=α2Rx(180−x)+β.{\displaystyle {\frac {1}{PM}}=\alpha {\frac {2R}{x(180-x)}}+\beta .}

そのような定数を得ることは実際には不可能である。しかし、αとβの値を選ぶことで、上記の式が弧長xの2つの値に対して成立するようにすることができる。これらの値として30°と90°を選び、得られた方程式を解くと、バースカラ1世の正弦近似式が直ちに得られる。[ 2 ] [ 3 ]

一般有理式から始まる導出

xがラジアン単位であると仮定すると、次の形式で sin xの近似値を求めることができます 。

sin⁡x≈a+bx+cx2p+qx+rx2.{\displaystyle \sin x\approx {\frac {a+bx+cx^{2}}{p+qx+rx^{2}}}.}

定数a、b、c、p、q、r（独立なのは5つだけ）は、 x = 0、π/6、π/2、πのときに式が正確に有効であり、さらにsin( x ) = sin(π −  x )という性質を満たしていると仮定することで決定できます。 [ 2 ] [ 3 ]この手順により、角度の ラジアン測定を使用して表される式が生成されます。

基本的な議論

放物線x (180 − x )/8100とx (180 − x )/9000のグラフと sin xのグラフ （xは度）の比較

sin xのグラフの 0° から 180° の範囲は、点 (0, 0) と点 (180, 0) を通る放物線の一部のように見えます。このような放物線の一般的な形は、

kx(180−x).{\displaystyle kx(180-x).}

（90, 1）（sin（90°）＝ 1に対応する点）を通る放物線は、

x(180−x)90×90=x(180−x)8100.{\displaystyle {\frac {x(180-x)}{90\times 90}}={\frac {x(180-x)}{8100}}.}

（30, 1/2）（sin（30°）= 1/2の値に対応する点）を通る放物線は

x(180−x)2×30×150=x(180−x)9000.{\displaystyle {\frac {x(180-x)}{2\times 30\times 150}}={\frac {x(180-x)}{9000}}.}

これらの式は、 x  = 90のときに90 × 90 、 x = 30のときに2 × 30 × 150の値をとる可変分母を示唆している 。この式は直線x = 90に関して対称となるため、 x に関して線型表現をとる可能性は排除される 。x (180 −  x )を含む計算は、この式が次のような形式になることを直ちに示唆するかもしれない 。

8100a+bx(180−x).{\displaystyle 8100a+bx(180-x).}

少し実験してみると（あるいはaとbの2つの線形方程式を立てて解くことで）、 a  = 5/4、b = −1/4という値が得られます 。これらはバースカラ1世の正弦近似式です。[ 4 ]

カレル・ストロエトフ（2014）は、バースカラ1世の選択について、同様だがより簡潔な議論を展開している。彼はまた、コサインについても同様の近似値を提示し、この手法を2次および3次多項式に拡張している。[ 5 ]

参照

参考文献

  1. ^ a b J J O'ConnorとEF Robertson (2000年11月). 「Bhāskara I」 . スコットランド、セントアンドリュース大学数学・統計学部. 2010年3月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2010年4月22日閲覧。
  2. ^ a b c dグレン・ヴァン・ブルメレン (2009). 『天と地の数学：三角法の初期の歴史』 プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-12973-0。（104ページ）
  3. ^ a b c d e f R.C. Gupta (1967). 「Bhāskara I's approximation to sine」（PDF） . Indian Journal of History of Science . 2 (2). 2012年3月16日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2010年4月20日閲覧。
  4. ^ a b George Gheverghese Joseph (2009). A passage to infinity : Medieval Indian math from Kerala and its impact . New Delhi: SAGE Publications India Pvt. Ltd. ISBN 978-81-321-0168-0。（60ページ）
  5. ^ Stroethoff, Karel (2014年12月1日). 「Bhaskaraの正弦近似」 . The Mathematics Enthusiast . 11 (3): 485– 494. doi : 10.54870/1551-3440.1313 .

その他の参考文献

  1. RC.Gupta, Bhāskara Iの正弦公式の導出について、Ganita Bharati 8 (1-4) (1986)、39–41。
  2. T. Hayashi, Bhāskara I の正弦の有理近似に関するノート、Historia Sci. No. 42 (1991), 45–48.
  3. K. Stroethoff、「Bhāskara の正弦近似」、The Mathematics Enthusiast、Vol. 11、No. 3 (2014)、485–492。
「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bhāskara_I%27s_sine_approximation_formula&oldid=1334213555」より取得