マダヴァの正弦表

マダヴァの正弦表は、14世紀のケーララ州の数学者であり天文学者でもあったサンガママグラマのマダヴァ（1340年頃 - 1425年頃）によって作成された三角関数の正弦表です。この表には、3.75 °から90°までの24の角度の jya-s （正弦）またはRsineが3.75°（直角の1/24、90 °）刻みで記載されています。Rsineは、正弦に選択した半径を乗じた整数です。この表では、アーリヤバータの以前の表と同様に、Rは21600 ÷ 2 $π$ ≈ 3437.75 とされています。

この表は、カタパヤディシステムを使用してサンスクリットアルファベットの文字でエンコードされており、エントリが詩の詩節のように見えます。

この表を含むマダヴァの原著は発見されていない。この表は、ニラカンタ・ソーマヤジ（1444–1544）の『アーリヤバティヤバーシャ』^[¹^]と、シャンカラ・ヴァリヤル（1500年頃–1560年）の『タントラサングラハ』のユクティディピカ/ラグヴィヴルティ注釈^[²^]^{に再録されている。114–123}

以下の詩節は、 CK Raju著『数学の文化的基礎』^{[ 2 ]}^{: 114–123}に掲載されています。また、 PK Koru著『 Karanapaddhati』^[³^]のマラヤーラム語解説にも掲載されていますが、少し異なります。

テーブル

その詩は次のとおりです。

श्रेष्ठं नाम वरिष्ठानां हिमाद्रिर्वेदभावनः । तपनो भानु सूक्तज्ञो मध्यमं विद्धि ॥ १ ॥ ログインして翻訳を追加するログインして翻訳を追加する२ ॥ ログインして翻訳を追加する अशुद्धिगुप्ता चोरश्रीः शङ्कुकर्णो नगेश्वरः ॥ ३॥ ログインして翻訳を追加する शशीरात्रौ हिमाहारौ वेगज्ञः पथि सिन्धुरः ॥ ४॥ ログインして翻訳を追加する名前: ५ ॥ धीरो युवाकथालोलः पूज्यो नारीजनैर्भगः । ログインして翻訳を追加する६॥ 重要な意味を持つ言葉 स्वस्वपूर्वविशुद्धेतु शिष्टास्तत्खण्डमौर्विकाः ॥ ७॥

最初の6つの詩節の4分の1は、3.75°から90°までの24の角度を3.75°刻みで表しています（最初の列）。2番目の列には、サンスクリット語（デーヴァナーガリー語）でエンコードされたRsine値が含まれています。3番目の列には、同じものがISO 15919の音訳で含まれています。4番目の列には、現代の数字でアーク分、アーク秒、アーク3分の1にデコードされた数値が含まれています。伝統的な「半径」（21600 ÷ 2 $π$ 、アーク3分の1に小数点以下2桁を含む現代の $π$ の値）でスケーリングされた現代の値は、5番目の列に示されています。

角度A、度	マダヴァによって与えられた R sin A			現代の罪A × (21600 ÷ 2 $π$ )を小数点以下 2 桁まで
角度A、度	デーヴァナーガリー文字	ISO 15919 翻字	デコードされた角度（分、秒、3分の1）	現代の罪A × (21600 ÷ 2 $π$ )を小数点以下 2 桁まで
（1）	（2）	（3）	（4）	（5）
03.75	श्रेष्ठं नाम वरिष्ठानां	シュレシュタンナーマヴァリシュタナーン	0224′50″22‴	0224′50″21.83‴
07.50	हिमाद्रिर्वेदभावनः	himādrirvēdabhāvanaḥ	0448′42″58‴	0448′42″57.58‴
11.25	तपनो भानुसूक्तज्ञो	tapanō bhānusūktajñō	0670′40″16‴	0670′40″16.05‴
15.00	मध्यमं विद्धि दोहनम्	madhyamaṁ viddhi dōhanam	0889′45″15‴	0889′45″15.61‴
18.75	धिगाज्यो नाशनं कष्टं	ディガージョナーシャナカムタン	1105′01″39‴	1105′01″38.94‴
22.50	छन्नभोगाशयाम्बिका	channabhōgāśayāmbikā	1315′34″07‴	1315′34″07.44‴
26.25	मृगाहारो नरेशोयं	mr̥gāhārō narēśōyaṁ	1520′28″35‴	1520′28″35.46‴
30.00	वीरो रणजयोत्सुकः	vīrō raṇajayōtsukaḥ	1718年52分24秒	1718′52″24.19‴
33.75	मूलं विशुद्धं नाळस्य	ムーランヴィシュッダーンナーシャシャ	1909年54分35秒	1909′54″35.19‴
37.50	गानेषु विरळा नराः	gāneṣu viraḷā narāḥ	2092′46″03‴	2092′46″03.49‴
41.25	अशुद्धिगुप्ता चोरश्रीः	aśuddhiguptā cōraśrīḥ	2266′39″50‴	2266′39″50.21‴
45.00	शङ्कुकर्णो नगेश्वरः	シャムクカルナゲシュヴァラ	2430′51″15‴	2430′51″14.59‴
48.75	तनुजो गर्भजो मित्रं	tanujō garbhajō mitraṃ	2584′38″06‴	2584′38″05.53‴
52.50	श्रीमानत्र सुखी सखे	śrīmānatra sukhī sakhē	2727′20″52‴	2727′20″52.38‴
56.25	शशी रात्रौ हिमाहारौ	śaśī rātrou himāhārou	2858′22″55‴	2858′22″55.11‴
60.00	वेगज्ञः पथि सिन्धुरः	ヴェガイニャパティシンドゥラ	2977′10″34‴	2977′10″33.73‴
63.25	छाया लयो गजो नीलो	chāya layō gajō nīlō	3083′13″17‴	3083′13″16.94‴
67.50	निर्मलो नास्ति सत्कुले	nirmalō nāsti satkulē	3176′03″50‴	3176′03″49.97‴
71.25	रात्रौ दर्पणमभ्राङ्गं	ラートゥルーダルパンマブラーンガン	3255′18″22‴	3255′18″21.58‴
75.00	नागस्तुङ्गनखो बली	nāgastuṅganakhō balī	3320′36″30‴	3320′36″30.20‴
78.75	धीरो युवा कथालोलः	dhīrō yuvā kathālōlaḥ	3371′41″29‴	3371′41″29.15‴
82.50	पूज्यो नारीजनैर्भगः	pūjyō nārījanairbhagaḥ	3408′20″11‴	3408′20″10.93‴
86.25	कन्यागारेनागवल्ली	kanyāgārē nāgavallī	3430′23″11‴	3430′23″10.65‴
90.00	देवो विश्वस्थली भृगुः	デヴォヴィシュヴァスタリーバールグフ	3437′44″48‴	3437′44″48.37‴

最後の詩節は、「これらはマダヴァが言ったように、大R正弦であり、弧分、秒、三分の一から成る。それぞれから前のものを差し引くと、R正弦差が得られる」という意味である。

比較すると、Madhava の値は Rsin(15°) を除いて 3 分の 1 の宣言された精度に正確に丸められていることがわかります。Rsin(15°) については、代わりに 889′45″16‴ に切り上げるべきだったと思われます。

カタパヤディ法では数字が逆順に表記されることに注意してください。例えば、15°に対応する文字は51549880ですが、これを逆順にすると0889′45″15‴となります。0は数値ではなく、詩の韻律を表すためにのみ使用されることに注意してください。

表を理解する簡単な方法

R = 21600 ÷ 2 $π$ の値がなぜ選択されたかなどの哲学に立ち入ることなく、jya テーブルを現代の正弦テーブルの概念に関連付ける最も簡単な方法は次のとおりです。

今日でも、正弦表は一定の精度で小数として与えられています。sin(15°)が0.1736と与えられている場合、有理数1736÷10000は実際の無限精度の数の良い近似値であることを意味します。唯一の違いは、昔は分数の小数値（または分母が10の累乗）が標準化されていなかったことです。そのため、他の考慮事項（ここでは説明しません）に基づいて、異なる分母が使用されていました。

したがって、表に示されている正弦値は、表に選択された Rで除算された所定の整数値によって近似された値として単純に考えることができます。

もう一つの混乱の要因は、R正弦の表現に分角などの角度単位が使用されていることです。現代の正弦は単位のない比です。Jya-sやR正弦は、長さや距離の単位を掛け合わせたものです。しかし、これらの表は主に天文学で使用され、天球上の距離は角度で表されるため、これらの値も同様に与えられています。ただし、単位はそれほど重要ではなく、あまり深刻に考える必要はありません。いずれにせよ、この値は有理数の一部として使用され、単位は打ち消されるからです。

しかし、これはまた、マダヴァがアーリヤバータの以前の表を改良する際に60進法の細分を用いることにもつながります。彼はより大きなRを選択する代わりに、秒と3分の1を用いることで、以前の分数に加えて、自らが決定した追加の精度を与えました。以前と同様に、これらは単に分数の表現方法の1つであり、必ずしも角度の尺度として解釈する必要はありません。

価値を理解するもう一つの（より難しい）方法

角度 Aを考えます。中心 O を単位半径とする円を考えます。円の弧 PQ が中心 O で角度Aを成すとします。垂線QR を Q から OP に下ろします。すると、線分 RQ の長さは角度 Aの三角関数の正弦の値になります。線分 RQ の長さに等しい円の弧を PS とします。様々な角度Aについて、Madhava の表には対応する角度POSの尺度が、弧分、弧秒、および弧秒の 60 分の 1 単位で示されています。 $\angle$

例えば、角度Aの角度が22.50°であるとします。マダヴァの表では、22.50°に対応する項目は、ラジアン値がsin 22.50°0.3826834である角度の、分、秒、60分の1秒単位で表された値です。

0.3826834ラジアンに180/

π

を掛けると21.92614度となり、

1315 角分 34 角秒 07 角秒の 60 分の 1 であり、略称は 13153407 です。

角度の度合いがAである場合、

\angle POS=m{\text{ 弧分, }}s{\text{ 弧秒, }}t{\text{ 弧秒の60分の1}}

それから：

{\begin{aligned}\sin(A)&=RQ\\&={\text{弧の長さ}}PS\\&=\angle POS{\text{ラジアン}}\\\end{aligned}}

表からの三角関数の正弦の導出

表の各行は8桁の数字を表します。角度Aに対応する数字（左から右へ読む）は以下のとおりです。

d_{1}\quad d_{2}\quad d_{3}\quad d_{4}\quad d_{5}\quad d_{6}\quad d_{7}\quad d_{8}

次に、カタパヤディシステムのルールに従って、右から左に取ると次のようになります。

{\begin{aligned}m&=d_{8}\times 1000+d_{7}\times 100+d_{6}\times 10+d_{5}\\s&=d_{4}\times 10+d_{3}\\t&=d_{2}\times 10+d_{1}\end{aligned}}

B=m^{\prime }s^{\prime \prime }t^{\prime \prime \prime }={\frac {1^{\circ }}{60}}\left(m+{\frac {s}{60}}+{\frac {t}{60\times 60}}\right)

上記の角度Bの値をラジアンで表すと、角度Aの正弦値に相当します。

\sin A={\frac {\pi }{180}}B

前述のように、これはエンコードされた値を取得したR値で割ることと同じです。

\sin A={\frac {B}{\frac {21600^{\prime }}{2\pi }}}

例

表には、角度 A = 45.00° に対応する次の数字がリストされています。

5\quad 1\quad 1\quad 5\quad 0\quad 3\quad 4\quad 2

これにより、角度と測定値が得られます。

{\begin{aligned}m&=2\times 1000+4\times 100+3\times 10+0{\text{ 弧分}}\\&=2430{\text{ 弧分}}\\s&=5\times 10+1{\text{ 弧秒}}\\&=51{\text{ 弧秒}}\\t&=1\times 10+5{\text{ 弧秒の60分の1}}\\&=15{\text{ 弧秒の60分の1}}\end{aligned}}

そこから次のことが分かります。

B={\frac {1^{\circ }}{60}}\left(2430+{\frac {51}{60}}+{\frac {15}{60\times 60}}\right)={\frac {116681}{2880}}

Madhavaの表に示されているA = 45.00°の正弦の値は、 Bをラジアンに変換するだけです。

\sin 45^{\circ }={\frac {\pi }{180}}B={\frac {\pi }{180}}\times {\frac {116681}{2880}}

上記を評価すると、sin 45° は 0.70710681 であることがわかります。これは小数点以下 6 桁まで正確です。

マダヴァの計算法

マダヴァが正弦表の計算に用いた手法を詳述した著作は現存していない。しかし、ニラカンタ・ソーマヤジ（タントラサングラハ）やジェシュタデーヴァ（ユクティバーシャ）といった後代のケーララ州の数学者たちの著作にはマダヴァの業績が数多く記されており、マダヴァは sin xのべき級数展開を用いて正弦表を計算したと推測されている。

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

参照

参考文献

^ニラカンタ・ソーマスートヴァンのバーシャを伴うアーリヤバタチャリヤのアーリヤバティアム、パート1 - ガーニタパーダ、 K. サンバシヴァ・サストリ編、トリバンドラム・サンスクリットシリーズNo.101。 p. 55. https://archive.org/details/Trivandrum_Sanskrit_Series_TSS http://www.sanskritebooks.org/2013/02/trivandrum-sanskrit-series-anantasayana-samskrita-granthavali/
^ ^a ^b C.K. Raju (2007).数学の文化的基礎：数学的証明の性質と16世紀におけるインドからヨーロッパへの微積分の伝播。インド文明における哲学・科学・文化史。第10巻第4部。ニューデリー：南アジア文明研究センターおよびピアソン教育。ISBN 978-81-317-0871-2。
^プトゥマナソマヤジ。Karanapaddhati (PK Koru によるマラヤーラム語の解説付き)。チェルプ、ケーララ州、インド：Astro Printing and Publishing Company。（1953年出版）

その他の参考文献

Bag, AK (1976). 「Madhavaの正弦級数と余弦級数」(PDF) . Indian Journal of History of Science . 11 (1). Indian National Academy of Science: 54– 57. 2015年7月5日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2016年8月21日閲覧。
マダヴァによる正弦表の計算については、Van Brummelen, Glen (2009). The math of the heavens and the earth : the early history of trigonometry . Princeton: Princeton University Press . pp. 113– 120. ISBNを参照。 978-0-691-12973-0。
マダヴァの正弦表の計算に関する詳細な議論については、CK Raju (2007) を参照のこと。『数学の文化的基盤：数学的証明の性質と16世紀におけるインドからヨーロッパへの微積分の伝播』インド文明史第10巻第4部デリー：文明研究センター pp. 114– 123。

[:0-1] ニラカンタ・ソーマスートヴァンのバーシャを伴うアーリヤバタチャリヤのアーリヤバティアム、パート1 - ガーニタパーダ、 K. サンバシヴァ・サストリ編、トリバンドラム・サンスクリットシリーズNo.101。 p. 55. https://archive.org/details/Trivandrum_Sanskrit_Series_TSS http://www.sanskritebooks.org/2013/02/trivandrum-sanskrit-series-anantasayana-samskrita-granthavali/

[Raju-2] C.K. Raju (2007).数学の文化的基礎：数学的証明の性質と16世紀におけるインドからヨーロッパへの微積分の伝播。インド文明における哲学・科学・文化史。第10巻第4部。ニューデリー：南アジア文明研究センターおよびピアソン教育。ISBN 978-81-317-0871-2。

[3] プトゥマナソマヤジ。Karanapaddhati (PK Koru によるマラヤーラム語の解説付き)。チェルプ、ケーララ州、インド：Astro Printing and Publishing Company。（1953年出版）

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