宇宙船の飛行力学

1969年7月、アポロ11号の有人月面着陸ミッションの飛行経路

宇宙船の飛行力学は、機械力学を応用し、宇宙船や宇宙機に作用する外力がその飛行経路をどのように決定するかをモデル化する分野です。これらの外力は主に3種類あります。宇宙船のエンジンによって生じる推進力、地球や​​その他の天体から生じる重力、そして揚力と抗力（地球や火星、金星などの天体 の大気圏内を飛行する場合）です。

飛行力学の原理は、地球からの打ち上げ時の機体の動力飛行、宇宙船の軌道飛行、軌道変更操作、月周回飛行および惑星間飛行、大気圏の有無にかかわらず天体からの打ち上げと着陸、地球または他の天体の大気圏への突入、そして姿勢制御をモデル化するために用いられます。これらの原理は通常、機体の慣性航法システムにプログラムされており、 NASAでは飛行力学担当官、欧州宇宙機関では宇宙船航法士と呼ばれる飛行管制チームのメンバーによって地上で監視されます。

飛行力学は、推進力、航空力学、そして天体力学（軌道力学と天体力学）といった分野に依存しています。単純な姿勢制御に還元することはできません。現実の宇宙船には、飛行機や船のような舵輪や舵柄はありません。架空の宇宙船の描写とは異なり、宇宙船は実際には傾いて旋回することはありません。宇宙空間における飛行経路は、宇宙船に作用する重力と、適用される推進操作に厳密に依存します。

基本原則

宇宙船の飛行は、ニュートンの運動の第二法則を適用することで決定されます。 ここで、Fは宇宙船に作用するすべての力のベクトル和、m は現在の質量、 aは加速度ベクトル、つまり瞬間的な速度変化率 ( v ) であり、これは瞬間的な変位変化率です。a を解くと、加速度は力の合計を質量で割った値に等しくなります。加速度を時間で積分すると速度が得られ、さらに速度を積分すると位置が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$

飛行力学の計算は機体に搭載されたコンピュータ化された誘導システムによって行われ、飛行力学の状態は地上で動力操縦中にNASAの有人宇宙飛行センターでは飛行力学担当官、欧州宇宙機関では宇宙船航法士として知られる飛行管制チームのメンバーによって監視される。 ^{[ 1 ]}

動力付き大気圏飛行において、機体に作用する主な力は、推進力、空気力、そして重力の3つです。遠心力、コリオリの力、太陽放射圧といったその他の外力は、動力付き飛行時間が比較的短く、宇宙船のサイズも小さいため、一般的には重要ではなく、簡略化された性能計算では無視できる場合が多いです。^{[ 2 ]}

推進

ロケットエンジンの推力は、一般的に大気圏内で動作する場合、次のように近似されます。^{[ 3 ]}

$${\displaystyle F={\dot {m}}\;v_{e}={\dot {m}}\;v_{\text{e-opt}}+A_{e}(p_{e}-p_{\text{amb}})}$$ どこ、

• ${\displaystyle {\dot {m}}}$ 排気ガスの質量流量は
• ${\displaystyle v_{e}}$ 有効排気速度（出版物ではcと表記されることもある）
• ${\displaystyle v_{\text{e-opt}}}$ p _amb = p _eのときの有効ジェット速度
• ${\displaystyle A_{e}}$ ノズル出口面（または剥離流の場合はジェットがノズルから出る面）における流れ面積である。
• ${\displaystyle p_{e}}$ ノズル出口面の静圧
• ${\displaystyle p_{\text{amb}}}$ 周囲（または大気圧）の圧力

ロケット推進剤の有効排気速度は真空比推力に比例し、大気圧の影響を受ける：^{[ 4 ]}$${\displaystyle v_{e}=g_{0}\left(I_{\text{sp-vac}}-{\frac {A_{e}\,p_{\text{amb}}}{\dot {m}}}\right)}$$

どこ：

• ${\displaystyle I_{\text{sp-vac}}}$ 単位は秒です
• ${\displaystyle g_{0}}$ 地球表面における重力加速度である

比推力は、ツィオルコフスキーロケット方程式に従ってデルタV容量と消費される推進剤の量に関連している：^{[ 5 ]} ここで： $${\displaystyle \Delta v\ =v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$$

• ${\displaystyle m_{0}}$ 推進剤を含む初期の総質量（kg（またはlb））
• ${\displaystyle m_{1}}$ 最終的な総質量（kgまたはlb）
• ${\displaystyle v_{e}}$ 有効排気速度（m/sまたはft/s）
• ${\displaystyle \Delta v}$ デルタvはm/s（またはft/s）単位です。

空気力

地球、火星、金星など、大気圏に面した天体近傍に存在する空気力は、次のように解析されます。揚力は、飛行方向に対して垂直な力成分（飛行機のように重力と釣り合うために必ずしも上向きである必要はありません）として定義されます。抗力は、飛行方向に対して平行で反対方向の成分です。揚力と抗力は、基準面積に作用する動圧と係数の積としてモデル化されます。^{[ 6 ]}$${\displaystyle \mathbf {L} =C_{L}qA_{\text{ref}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {D} =C_{D}qA_{\text{ref}}}$$

どこ：

• C _{L は}、機体の軸と飛行方向との間の迎え角α （限界値まで）とほぼ線形であり、軸対称体の場合はα = 0 で 0 になります。
• C _{D は}α ²に応じて変化します。
• C _LとC _{D は}レイノルズ数とマッハ数によって変化します。
• q、動圧は 1/2 ρv ²に等しく、ここでρは大気の密度であり、国際標準大気における高度の関数として地球に対してモデル化されます（想定される温度分布、静水圧の変化、および理想気体の法則を使用）。
• ref_は、最大直径における断面積など、車両の特性領域です。

重力

天体が宇宙船に及ぼす重力は、天体と宇宙船を質点としてモデル化されます。天体（地球、月など）は球体に簡略化され、宇宙船の質量は天体の質量よりもはるかに小さいため、重力加速度への影響は無視できます。したがって、重力は次のように計算されます。

$${\displaystyle \mathbf {W} =m\cdot g}$$

どこ：

• ${\displaystyle W}$ 重力（重さ）です。
• ${\displaystyle m}$ 宇宙船の質量であり、
• ${\displaystyle r}$ 宇宙船から惑星の中心までの半径距離であり、
• ${\displaystyle r_{0}}$ 惑星の表面から中心までの半径距離であり、
• ${\displaystyle g_{0}}$ 惑星の表面における重力加速度である
• gは高度における重力加速度であり、惑星の中心からの半径距離の2乗に反比例して変化する。^{[ 7 ]}$${\displaystyle g=g_{0}\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{2}}$$

動力飛行

打ち上げ時の機体の動力飛行を記述する運動方程式は、飛行計算では6自由度という複雑なものから、予備的な性能評価では2自由度という単純なものまで様々である。飛行計算では、地球の扁平率や質量分布の不均一性、そして月、太陽、その他の惑星を含む近傍天体の重力といった摂動要因が考慮される。予備的な評価では、球形で均一な惑星、機体は質点として表せる、飛行経路の解は二体問題となる、局所的な飛行経路は単一平面上にあるといった、いくつかの単純化された仮定を立てることができる。これらの仮定は、精度の低下が比較的小さい。^{[ 7 ]}

打ち上げ時の宇宙船に作用する速度、位置、および力のベクトル

地球からの打ち上げの一般的なケースでは、エンジンの推力、空気力、そして重力を考慮する必要があります。加速度方程式は、発射台に対する接線方向（速度）と角度方向（局所鉛直方向に対する飛行経路の角度）の時間変化率成分に分解することで、ベクトル形式からスカラー形式へと簡約できます。したがって、2つの方程式は次のようになります。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}&={\frac {F\cos \alpha}{m}}-{\frac {D}{m}}-g\cos \theta \\{\dot {\theta}}&={\frac {F\sin \alpha}{mv}}+{\frac {L}{mv}}+\left({\frac {g}{v}}-{\frac {v}{r}}\right)\sin \theta ,\end{aligned}}}$$

どこ：

• Fはエンジン推力です。
• αは迎え角です。
• mは車両の質量です。
• Dは車両の空気抵抗です。
• Lはその空気力学的揚力です。
• rは惑星の中心からの半径距離であり、
• gは高度における重力加速度です。

推進剤が消費され、ロケット段、エンジン、またはタンク（該当する場合）が取り外されると、質量は減少します。

飛行中の任意の時点での惑星固定の v と θ の値は、2 つの速度方程式を時間ゼロ ( vとθ が両方とも0 のとき) から数値積分することによって決定されます。$${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {v}}\,dt\\\theta &=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {\theta }}\,dt\end{aligned}}}$$

有限要素解析を使用すると、飛行を小さな時間増分に分割して方程式を統合できます。

ほとんどの打ち上げロケットでは、比較的小さなレベルの揚力が生成され、主に角度速度方程式の第3項に依存する重力ターンが採用されます。角度と速度がともにゼロである打ち上げの瞬間には、シータドット方程式は数学的に不確定であり、打ち上げ直後に速度がゼロ以外になるまで評価できません。しかし、この状態では、ロケットをピッチオーバーさせる唯一の力は、ゼロ以外の迎え角（第1項）で作用するエンジン推力と、おそらくわずかな揚力（第2項）であり、これがゼロ以外のピッチ角に達するまで作用します。重力ターンでは、迎え角が増加する（ジンバルエンジン推力によって）ことによってピッチオーバーが開始され、その後、残りの飛行を通じて迎え角が徐々に減少します。^{[ 7 ] [ 8 ]}

速度と飛行経路角がわかれば、高度とダウンレンジ距離は次のように計算される。^{[ 7 ]}${\displaystyle h}$ ${\displaystyle s}$

宇宙船の動力降下および着陸中に作用する速度と力のベクトル

$${\displaystyle {\begin{aligned}h&=\int _{t_{0}}^{t}v\cos \theta \,dt\\r&=r_{0}+h\\s&=r_{0}\int _{t_{0}}^{t}{\frac {v}{r}}\sin \theta \,dt\end{aligned}}}$$

惑星に固定されたvとθの値は、次の変換によって宇宙に固定された（慣性）値に変換されます。^{[ 7 ]} ここで、 ωは惑星の自転速度（ラジアン/秒）、_{φは発射地点の緯度、Az}は発射方位角です。 $${\displaystyle v_{s}={\sqrt {v^{2}+2\omega rv\cos \varphi \sin \theta \sin A_{z}+(\omega r\cos \theta )^{2}}},}$$ $${\displaystyle \theta _{s}=\arccos \left({\frac {v\cos \theta }{v_{s}}}\right)}$$

最終的なv _s、θ _{s 、}およびrは、軌道力学によって決定される目標軌道の要件（上記の軌道飛行を参照）と一致する必要があります。ここで、最終的なv _sは通常、必要な近点（または円）速度であり、最終的なθ _sは90度です。動力降下解析では、逆の境界条件を使用して同じ手順を使用します。

軌道飛行

軌道力学は、中心天体の周りの軌道上の飛行を計算するために使用されます。十分に高い軌道（地球の場合、一般的に少なくとも190キロメートル（100海里））では、比較的短期間のミッションでは空気力は無視できると仮定できます（ただし、少量の抗力が存在する場合があり、長期的には軌道エネルギーの減衰につながります）。中心天体の質量が宇宙船よりもはるかに大きく、他の天体が十分に離れている場合、軌道の解は二体問題として扱うことができます。^{[ 9 ]}

この結果、軌道は理想的には円錐曲線（円、楕円、放物線、または双曲線）^{[ 10 ]}となり、中心天体は一つの焦点に位置することが示される。軌道軌道は円または楕円のいずれかであり、放物線軌道は機体が中心天体の重力場から最初に脱出する軌道を表す。双曲線軌道は超過速度を伴う脱出軌道であり、後述の惑星間飛行の項で説明する。

楕円軌道は3つの要素によって特徴付けられる。^{[ 9 ]}長半径aは遠点と近点の半径の平均である。 $${\displaystyle a={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}}$$

楕円の離心率e は、後端が分かれば次のように計算できます。 $${\displaystyle e={\frac {r_{a}}{a}}-1}$$

軌道を一周するのに必要な時間は長半径のみに依存し、離心率には依存しません。^{[ 11 ]} ここで、中心天体の 標準的な重力パラメータです。$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$$ ${\displaystyle \mu}$

中心天体を周回する宇宙船の角度軌道要素。その基本基準面に対する軌道の向きを定義する。

宇宙における軌道の向きは、次の 3 つの角度によって指定されます。

• 軌道面と基本面（通常は惑星または衛星の赤道面、または太陽軌道の場合は地球が太陽を回る軌道面、黄道面）の傾斜角i。正の傾斜は北向き、負の傾斜は南向きです。
• 昇交点Ωの経度。基準面において、基準方向（通常は春分点）から宇宙船がこの面を南から北へ横切る線まで、南向きに反時計回りに測った値。（傾斜角がゼロの場合、この角度は定義されず、0とみなされます。）
• 近点引数 ωは、軌道面内で南向きに反時計回りに、昇交点から近点まで測ったものです。軌道傾斜角が0の場合、昇交点は存在しないため、ωは基準方向から測定されます。円軌道の場合、近点は存在しないため、ωは0とみなされます。

軌道面は理想的には一定ですが、通常は惑星の扁平率や他の天体の存在によって小さな摂動を受けます。

宇宙船の軌道上の位置は、真近点角 （Periapsis）または円軌道の場合は昇交点または基準方向から測った角度で規定されます。半緯度直角（Semi Latus Rectum）または近点から90度の半径は、以下の式で表されます。^{[ 12 ]}${\displaystyle \nu}$ $${\displaystyle p=a(1-e^{2})\,}$$

飛行中の任意の位置での半径は: そしてその位置での速度は: $${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \nu }}}$$ $${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}}}$$

軌道の種類

円形

円軌道の場合、r _a = r _p = a、離心率は 0 です。与えられた半径における円速度は次のようになります。 $${\displaystyle v_{c}={\sqrt {\frac {\mu}{r}}}}$$

楕円形

楕円軌道の場合、eは0より大きく1より小さい。近点速度は、 遠点速度は、次のとおりである。 $${\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {\mu (1+e)}{a(1-e)}}}}$$ $${\displaystyle v_{a}={\sqrt {\frac {\mu (1-e)}{a(1+e)}}}\,}$$

限界条件は、 e = 1でraが_無限大となる放物線状の脱出軌道である。近点における脱出速度は $${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2\mu }{r_{p}}}}$$

飛行経路角度

任意の円錐軌道の比角運動量hは一定であり、近点における半径と速度の積に等しい。軌道上の他の点では、以下の式で表される：^{[ 13 ]} ここで、φは局所水平線（  rに垂直）から測った飛行経路角である。これにより、半径と速度が分かれば、軌道上の任意の点における φを計算することができる。$${\displaystyle h=rv\cos\varphi ,}$$ $${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {r_{p}v_{p}}{rv}}\right)}$$

円軌道の場合、飛行経路の角度は一定の 0 度 (ローカル垂直から 90 度) であることに注意してください。

時間の関数としての真の異常

上に示した角運動量方程式は、真近点角の変化率とr、v、φとの関係も示しているため、積分によって真近点角は近点通過後の時間の関数として求めることができる。^{[ 14 ]}$${\displaystyle \nu =r_{p}v_{p}\int _{t_{p}}^{t}{\frac {1}{r^{2}}}\,dt}$$

逆に、特定の異常に到達するのに必要な時間は次のとおりです。 $${\displaystyle t={\frac {1}{r_{p}v_{p}}}\int _{0}^{\nu }r^{2}\,d\nu }$$

軌道操作

軌道投入後、宇宙船はロケットエンジンを点火して、高度や軌道の種類を変更したり、軌道面を変更したりすることがあります。これらの操作には機体の速度変化が必要であり、与えられたデルタVに対する推進剤の必要量を計算するために、古典的なロケット方程式が使用されます。デルタV予算は、ミッションに必要なすべての推進剤を合計するか、与えられた量の推進剤から得られるデルタVの合計を決定します。軌道上の操作のほとんどは、精度の低下を最小限に抑えながら、ほぼ瞬時の速度変化としてモデル化できます。

平面内の変化

軌道の円形化

楕円軌道は、目的の軌道の円速度と現在の軌道の近点または遠点速度の差に等しいデルタ v で単一のエンジン燃焼を適用することにより、近点または遠点で円軌道に最も簡単に変換できます。

近点で円軌道を描くには、逆行噴射を行います。 $${\displaystyle \Delta v\ =v_{c}-v_{p}}$$

遠点で円軌道を描くには、正行噴射を行います。 $${\displaystyle \Delta v\ =v_{c}-v_{a}}$$

ホーマン転移による高度変化

ホーマン遷移軌道2、軌道（1）からより高い軌道（3）へ

ホーマン・トランスファー軌道は、宇宙船をある高度から別の高度へ移動させるために使用できる最も単純な軌道制御です。2回の噴射が必要です。1回目は宇宙船を楕円形のトランスファー軌道へ送り込み、2回目は目標軌道を円軌道へ戻します。

で円軌道を上げるには、最初の等速噴射で速度を移行軌道の近点速度まで上げます。 遠点で行われる 2 回目の等速噴射で速度を目標軌道の速度まで上げます。 ${\displaystyle v_{1}}$ $${\displaystyle \Delta v_{1}\ =v_{p}-v_{1}}$$ $${\displaystyle \Delta v_{2}\ =v_{2}-v_{a}}$$

軌道を下げる操作は軌道を上げる操作の鏡像であり、両方の燃焼は逆方向に行われます。

双楕円軌道移動による高度変化

低い円形の開始軌道（濃い青）から高い円形の軌道（赤）への双楕円軌道の移行

もう少し複雑な高度変更操作は、2つの半楕円軌道からなる双楕円軌道遷移である。最初の正行噴射では、宇宙船は中心天体から離れた任意の高い遠点に送られる。この時点で2回目の噴射で近点が最終目標軌道の半径に一致するように修正され、3回目の逆行噴射で宇宙船は目標軌道に投入される。^{[ 15 ]}この方法は遷移時間が長くなるが、初期軌道半径と目標軌道半径の比が12以上の場合、双楕円軌道遷移はホーマン遷移よりも総燃料消費量が少なくて済む。^{[ 16 ] [ 17 ]}${\displaystyle r_{b}}$

噴射1（正行）： 噴射2（正行または逆行）、近点を目標軌道の高度に合わせる： 噴射3（逆行）： $${\displaystyle \Delta v_{1}\ ={v_{p}}_{1}-v_{1}}$$ $${\displaystyle \Delta v_{2}\ ={v_{a}}_{2}-{v_{a}}_{1}}$$ $${\displaystyle \Delta v_{3}\ =v_{2}-{v_{p}}_{2}}$$

飛行機の変更

平面変更操作は単独で行うことも、他の軌道調整と組み合わせて行うこともできます。軌道傾斜角の変更のみからなる純粋な回転平面変更操作の場合、初期軌道と最終軌道の比角運動量hは大きさは等しくなりますが、方向は等しくありません。したがって、比角運動量の変化は次のように表すことができます。 ここで、 hは平面変更前の比角運動量、Δ iは目標とする傾斜角の変化です。このことから、必要な delta- vは次の式で表されることがわかります^{[ 18 ]}。 $${\displaystyle \Delta h=2h\sin \left({\frac {|\Delta i|}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle \Delta v={\frac {2h\sin {\frac {|\Delta i|}{2}}}{r}}}$$

hの定義から、これは次のようにも書けます。 ここで、vは面変更前の速度の大きさ、φは飛行経路角です。小角近似を用いると、これは次のようになります。 $${\displaystyle \Delta v=2v\cos \varphi \sin \left({\frac {\left|\Delta i\right|}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle \Delta v=v\cos(\varphi )\left|\Delta i\right|}$$

複合操作の合計デルタvは、純粋な回転デルタvと他の計画された軌道変更の デルタvのベクトル加算によって計算できます。

月周回飛行

典型的な月周回軌道

月面または惑星へのミッションに送られる宇宙船は、通常、出発軌道に直接投入されて打ち上げられるのではなく、まず低地球駐機軌道に投入されます。これにより、打ち上げウィンドウが大きく柔軟になり、宇宙船が飛行に適した状態にあるかどうかを確認する時間が増えます。

月への飛行には脱出速度は必要ありません。むしろ、宇宙船の遠地点が月の重力圏（SOI）に入る地点を通過するのに十分な高さまで上昇します。SOIは、宇宙船の重力が中心天体の重力と等しくなる衛星からの距離として定義されます。ここで、 Dは衛星から中心天体までの平均距離、m _cとm _{s は}それぞれ中心天体と衛星の質量です。この値は地球の月から約66,300キロメートル（35,800海里）です。^{[ 19 ]}$${\displaystyle r_{\text{SOI}}=D\left({\frac {m_{s}}{m_{c}}}\right)^{2/5},}$$

軌道を正確に解くには三体問題として扱う必要がありますが、地球と月の周りの軌道を SOI ポイントでパッチしたパッチ円錐近似を使用して、月が地球の周りを回転する基準フレームであるという事実を考慮に入れて予備的な推定を行うことができます。

経月注入

これは、月がロケットを捕捉できる位置にあるようにタイミングを合わせる必要があり、第一近似的にはホーマン遷移としてモデル化できるかもしれない。しかし、ロケットの燃焼時間は通常十分に長く、飛行経路角が十分に変化する間に発生するため、このモデル化はあまり正確ではない。これは非衝動的な操縦としてモデル化する必要があり、速度と飛行経路角を得るには、推進力と重力による加速度を有限要素解析によって積分する必要がある。 ^{[ 7 ]} ここで： $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}&={\frac {F\cos \alpha }{m}}-g\cos \theta \\{\dot {\theta }}&={\frac {F\sin \alpha }{mv}}+\left({\frac {g}{v}}-{\frac {v}{r}}\right)\sin \theta ,\\v&=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {v}}\,dt\\\theta &=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {\theta }}\,dt\end{aligned}}}$$

• Fはエンジン推力です。
• αは迎え角です。
• mは車両の質量です。
• rは惑星の中心からの半径距離であり、
• gは重力加速度であり、半径距離の2乗に反比例して変化する。^{[ 7 ]}$${\displaystyle g=g_{0}\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{2}}$$

高度、ダウンレンジ距離、地球の中心からの半径距離は次のように計算される。^{[ 7 ]}${\displaystyle h}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h&=\int _{t_{0}}^{t}v\cos \theta \,dt\\r&=r_{0}+h\\s&=r_{0}\int _{t_{0}}^{t}{\frac {v}{r}}\sin \theta \,dt\end{aligned}}}$$

途中の修正

単純な月周回軌道は、一平面上に留まるため、月の赤道に対する傾斜角が狭い範囲内で月をフライバイまたは周回することになります。また、この軌道は「自由帰還」も可能にします。自由帰還とは、月周回軌道に投入されなかった場合、宇宙船が地球の大気圏への再突入に適した位置に戻ることを意味します。軌道誤差を修正するには、通常、比較的小さな速度変化が必要です。このような軌道は、アポロ8号、アポロ10号、アポロ11号、アポロ12号の有人月面ミッションで使用されました。

月軌道や着陸地点のカバー範囲（月の傾斜角が大きい場合）の柔軟性を高めるには、飛行中に機体変更操作を行う必要があります。しかし、変更後の機体は宇宙船の緊急帰還軌道を地球の大気圏再突入点から遠ざけ、宇宙船を高軌道に残すため、自由帰還の選択肢が失われます。この軌道は、アポロ計画の最後の5回のミッション（13から17）で使用されました。

月周回軌道投入

アポロ計画では、月の裏側の高度約110キロメートル（59海里）で逆行月周回軌道投入噴射が行われた。これが初期軌道の近日点となり、遠日点は約300キロメートル（160海里）となった。デルタvは約1,000メートル/秒（3,300フィート/秒）であった。2周回後、軌道は110キロメートル（59海里）で円形化された。^{[ 20 ]}各ミッションについて、飛行力学担当官は10通りの月周回軌道投入解を用意し、その中から最適（最小）な燃料燃焼でミッション要件を最も満たすものを選択できるようにした。これは宇宙船のコンピュータにアップロードされ、地球との無線通信ができない間に月の裏側にいる宇宙飛行士によって実行および監視されなければならなかった。^{[ 20 ]}

惑星間飛行

ある惑星の重力場から完全に離れて別の惑星に到達するためには、出発惑星に対する双曲線軌道が必要であり、出発惑星の太陽の周りの軌道速度に過剰速度が加算（または減算）される。上位惑星への望ましい太陽中心移行軌道は、出発惑星に近日点を持つため、宇宙船が太陽から離れているときに、双曲線過剰速度を正方向に適用する必要がある。下位惑星への目的地では、遠日点は出発惑星にあり、宇宙船が太陽に向かっているときに、過剰速度は逆方向に適用されます^。正確なミッション計算を行うには、惑星の軌道要素をNASAのジェット推進研究所が公開しているものなどのエフェメリス[ ^{21 ]}から取得する必要があります。

仮定を単純化する

体	偏心[ 22 ]	平均距離（10 ^6 km）[ 23 ]	軌道速度（km/秒）[ 23 ]	軌道周期（年）[ 23 ]	質量地球 = 1 [ 23 ]	${\displaystyle \mu }$ （km ^3 /秒^2）[ 23 ]
太陽	---	---	---	---	333,432	1.327 × 10 ^11
水銀	.2056	57.9	47.87	.241	.056	2.232 × 10 ^4
金星	.0068	108.1	35.04	.615	.817	3.257 × 10 ^5
地球	.0167	149.5	29.79	1.000	1.000	3.986 × 10 ^5
火星	.0934	227.8	24.14	1.881	.108	4.305 × 10 ^4
木星	.0484	778	13.06	11.86	318.0	1.268 × 10 ^8
土星	.0541	1426	9.65	29.46	95.2	3.795 × 10 ^7
天王星	.0472	2868	6.80	84.01	14.6	5.820 × 10 ^6
ネプチューン	.0086	4494	5.49	164.8	17.3	6.896 × 10 ^6

予備的なミッション分析と実現可能性調査の目的で、デルタv計算を非常に小さな誤差で可能にするために、いくつかの単純化された仮定が立てられる場合がある。^{[ 24 ]}

• 水星を除くすべての惑星の軌道は離心率が非常に小さいため、一定の軌道速度と太陽からの平均距離で円形であると想定できます。
• すべての惑星の軌道（水星を除く）はほぼ同一平面上にあり、黄道に対する傾斜角は非常に小さい（3.39 度以下、水星の傾斜角は 7.00 度）。
• 他の惑星の重力による摂動効果はごくわずかです。
• 宇宙船は、出発惑星と目的地惑星の影響圏内にある短い期間を除いて、飛行時間のほとんどを太陽の重力の影響下で過ごすことになります。

惑星間宇宙船は、比較的遠く離れた惑星の間を太陽中心軌道で長い期間を過ごすため、パッチ円錐近似は、月周回軌道よりも惑星間軌道の方がはるかに正確です。^{[ 24 ]}出発惑星に対する双曲線軌道と太陽中心遷移軌道の間のパッチポイントは、上記の「軌道飛行」で定義されているように、太陽に対する惑星の影響圏半径で発生します。太陽の質量比が地球の333,432倍で、距離が1億4,950万キロメートル（8,070万海里）であることを考えると、地球の影響圏半径は924,000キロメートル（499,000海里）（約1,000,000キロメートル）です。^{[ 25 ]}

太陽中心トランスファー軌道

宇宙船を出発惑星の軌道から目的の惑星まで運ぶために必要な遷移軌道は、いくつかの選択肢の中から選択されます。

• ホーマン・トランスファー軌道は、必要な燃料とデルタvが最小限で済む。これは、両惑星の軌道に接する遠日点と近日点を持つ楕円軌道の半分であり、最長の往路飛行時間は楕円周期の半分に等しい。これは合級ミッションとして知られる。^{[ 26 ] [ 27 ]}宇宙船が目的惑星の周回軌道に入らずにトランスファー軌道を完了した場合、出発惑星は元の位置に戻らないため、「自由帰還」の選択肢はない。帰還に再度ホーマン・トランスファー軌道を利用する場合、目的惑星での滞空時間が非常に長くなり、結果として往復ミッションの総時間が非常に長くなる。^{[ 28 ]} SF作家アーサー・C・クラークは1951年の著書『宇宙探査』の中で、地球から火星への往復旅行には往路に259日、復路に259日かかり、火星では425日の滞在になると書いている。
• 出発点の遠点速度（および長半径）を増加させると、反対側の遠点に到達する前に目的の惑星の軌道を非接線方向に横切る軌道となり、デルタvは増加するが、出発通過時間は最大値よりも短くなる。^{[ 28 ]}
• 重力アシスト・マヌーバ（1956年の提案者ガエターノ・クロッコにちなんで「スリングショット・マヌーバ」またはクロッコ・ミッションとも呼ばれる）は、目的地での滞在時間が大幅に短縮される衝級ミッションとなる。 ^{[ 29 ] [ 27 ]}これは、別の惑星をスイングバイし、その重力を利用して軌道を変えることで実現される。例えば、火星への往復飛行は、地球への帰還時に金星をスイングバイすることで、接近ミッションに必要な943日から1年未満へと大幅に短縮できる。

双曲線出発

必要とされる双曲的過剰速度v∞（特性速度と呼ばれることもある）_は、トランスファ軌道の離脱速度と出発惑星の太陽中心軌道速度の差である。これが決定されると、近点における出発惑星に対する投入速度は次のように表される。^{[ 30 ]}$${\displaystyle v_{p}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{p}}}+v_{\infty }^{2}}}\,}$$

双曲線の過剰速度ベクトルは近点接線から特徴的な角度だけずれているため、近点投入噴射は惑星出発点を同じ角度だけ先行させる必要がある。^{[ 31 ]}$${\displaystyle \delta =\arcsin {\frac {1}{e}}}$$

楕円の離心率に関する幾何学的方程式は双曲線には適用できません。しかし、離心率は力学の定式化から次のように計算できます。^{[ 32 ]} ここで、hは軌道飛行の項で示したように、近点で計算された比角運動量です。 ^{[ 31 ]} εは比エネルギーです。^{[ 31 ]}$${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2\varepsilon h^{2}}{\mu ^{2}}}}},}$$ $${\displaystyle h=r_{p}v_{p},}$$ $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}\,}$$

また、軌道飛行で示されているrとvの式は長半径に依存するため、脱出軌道には適用できません。しかし、近点半径を近点近点0度におけるrの式と等しく設定すると、長半径直角に関する別の式が得られます。 これは、離心率に関係なく適用できる、より一般的な半径対近点近点の式となります。 $${\displaystyle p=r_{p}(1+e),\,}$$ $${\displaystyle r={\frac {r_{p}(1+e)}{1+e\cos \nu }}\,}$$

p の別の式を代入すると、a の別の式も得られます（a は双曲線に対して定義されていますが、もはや長半径を表しません）。これにより、速度と半径の関係を表す式が得られ、これは同様に任意の離心率で使用できます。 $${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1-e^{2}}{r_{p}(1+e)}}\right)}}\,}$$

軌道飛行で示されている飛行経路の角度と異常度と時間の関係を表す式は、双曲線軌道にも使用できます。

起動ウィンドウ

惑星の相対位置は常に変化するため、ミッションに必要な速度変化は時間とともに大きく変動します。そのため、最適な打ち上げ時期は、出発時刻と到着時刻に対して特性エネルギー（v∞2）の等高線をプロットしたポークチョッププロットの結果から選択される^ことが よくあり_ます。

大気圏突入

機体の制御された突入、降下、着陸は、抗力による空力加熱によって過剰な運動エネルギーを放出することによって達成されます。これには、何らかの熱遮蔽手段や逆推力が必要です。最終降下は通常、パラシュートやエアブレーキによって達成されます。

姿勢制御

宇宙船は飛行時間の大半を真空中で無動力で惰性飛行するため、航空機とは異なり、姿勢（向き）によって飛行軌道が決定されない。ただし、大気圏飛行中の揚力と抗力の制御、および動力飛行中の推力ベクトルの調整は例外である。しかしながら、無動力飛行中も姿勢制御は維持されることが多く、天体観測、通信、太陽光発電などの目的で宇宙船を一定の向きに保つことや、受動的な熱制御のために制御されたスピン状態にすること、あるいは宇宙船内部に人工重力を作り出すことなどがその例である。

姿勢制御は、慣性参照フレームまたは別のエンティティ（天球、特定のフィールド、近くのオブジェクトなど）を基準にして維持されます。航空機の姿勢は、ロール、ピッチ、ヨーと呼ばれる、互いに垂直な 3 つの回転軸に対する角度で表されます。向きは、基準となる星や太陽に対する角度を決定するなどの外部誘導システムを使用した較正によって決定でき、その後、機械式または光学式ジャイロスコープの慣性システムを使用して内部で監視されます。向きは、瞬間的な方向の 3 つの角度と、3 つの回転軸すべてにおける瞬間的なロール速度で表されたベクトル量です。制御の側面は、瞬間的な向きとロール速度を認識することと、反応制御システムまたはその他の手段を使用してロール速度を変更して新しい向きをとる能力の両方を意味します。

ニュートンの第二法則を直線運動ではなく回転運動に適用すると、次のようになります。^{[ 33 ]} ここで、は車両に作用する回転軸周りの正味トルク、 I _xはその軸周りの慣性モーメント（質量と軸周りの質量分布を合わせた物理的特性）、はラジアン/秒/秒で表したその軸周りの角加速度です。したがって、加速度は度/秒/秒で表されます。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{x}=I_{x}{\boldsymbol {\alpha }}_{x},}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{x}}$ ${\displaystyle \alpha _{x}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{x}={\tfrac {180}{\pi }}{\boldsymbol {\tau }}_{x}/I_{x},}$$

直線運動と同様に、角回転速度（度/秒）はαを時間で 積分することで得られます。 また、角回転は速度の時間積分です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{x}}$ $${\displaystyle {\omega _{x}}=\int _{t_{0}}^{t}{\alpha _{x}}dt}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{x}}$ $${\displaystyle \theta _{x}=\int _{t_{0}}^{t}{\omega _{x}}dt}$$

ロール、ピッチ、ヨー軸の周りの3 つの主な慣性モーメントI _x、I _y、I _{z は}、車両の質量中心によって決まります。

打ち上げロケットの制御トルクは、可動フィンによって空力的に提供される場合もあり、通常はエンジンをジンバルに取り付けて推力を質量中心の周りに方向付けることで提供されます。空気力学的な力が作用しない状態で稼働する宇宙船には、多くの場合、反応制御システム（ロケットの周囲に配置された一連のスラスタ）によってトルクが適用されます。スラスタは、手動または自動誘導制御によって短時間噴射され、目的の回転速度を達成した後、反対方向に噴射されて目的の位置で回転を停止します。特定の軸の周りのトルクは、次の式で表されます。r は質量中心からの 距離、Fは個々のスラスタの推力です（Fのrに垂直な成分のみが含まれます）。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}),}$$

推進剤の消費が問題となる状況（長期滞在衛星や宇宙ステーションなど）では、反応ホイール^{[ 34 ]}や制御モーメントジャイロスコープ^{[ 35 ]}などの代替手段を使用して制御トルクを供給することができる。

注記

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