標準単項式理論
代数幾何学において、標準単項式論は、簡約代数群の一般化旗多様体 またはシューベルト多様体上の直線束の切断を、標準単項式と呼ばれる元の明示的な基底を与えることによって記述する。その成果の多くは、カッツ・ムーディ代数とその群に拡張されている。
Lakshmibai & Raghavan (2008)およびSeshadri (2007)による標準単項理論に関するモノグラフと、V. Lakshmibai、C. Musili、CS Seshadri ( 1979 年) および V. Lakshmibai および CS Seshadri ( 1991 年) による調査論文があります。
重要な未解決問題の一つは、理論を完全に幾何学的に構築することである。[ 1 ]
歴史
アルフレッド・ヤング ( 1928 ) は標準ヤングの表に関連付けられた単項式を導入した。 ホッジ ( 1943 ) ( ( Hodge & Pedoe 1994 、p.378)も参照) は標準表にちなんで標準冪積と名付けたヤングの単項式を使用して、複素グラスマン多様体の同次座標環の基底を与えた。 セシャドリ ( 1978 ) は標準単項式理論と呼ばれるプログラムを開始し、ホッジの研究を多様体G / P (任意の特性における任意の簡約代数群の任意の放物型部分群)に拡張し、これらの多様体上の直線束の切断に標準単項式を使用して明示的な基底を与えた。ホッジが研究したグラスマン多様体の場合は、Gが特性 0 の特殊線型群でPが最大放物型部分群である場合に対応する。セシャドリはすぐにV. ラクシュミバイとチティキラ・ムシリに加わり、この研究に加わった 。彼らはまずGの微小表現について、次に古典型群Gについて標準的な単項式論を導き出し、より一般的なケースについてそれを記述するいくつかの予想を定式化した。 リッテルマン ( 1998 ) はリッテルマン・パスモデルを用いて彼らの予想を証明し、特にすべての簡約群に対する標準的な単項式の統一的な記述を与えた。
Lakshmibai (2003)、 Musili (2003)、Seshadri (2012)では、標準単項式理論の初期の発展について詳しく説明しています。
アプリケーション
- 一般化旗多様体上の直線束の切断は、対応する代数群の既約表現を形成する傾向があるため、標準単項式の明示的な基底があれば、これらの表現の指標式を与えることができる。同様に、デマズール加群の指標式も得られる。標準単項式論によって与えられる明示的な基底は、表現のクリスタル基底やリッテルマンパスモデルと密接に関連している。
- 標準的な単項式理論により、シューベルト多様体の特異点を記述することができ、特にシューベルト多様体が正規多様体またはコーエン・マコーレー多様体であることが証明されることがあります。
- 標準的な単項式理論はデマズールの予想を証明するために使用できます。
- 標準的な単項式理論は、シューベルト多様体上の有効直線束の高次コホモロジーに対するケンプの消失定理やその他の消失定理を証明します。
- 標準単項式理論は、不変量理論におけるいくつかの不変量環の明示的な基底を与えます。
- 標準的な単項式理論は、表現のテンソル積の分解に関するリトルウッド・リチャードソン則を、すべての簡約代数群に一般化します。
- 標準的な単項式理論は、正特性の簡約代数群のいくつかの表現における良好なフィルタリングの存在を証明するために使用できます。
注記
- ^ M. BrionとV. Lakshmibai：標準単項式理論への幾何学的アプローチ、Represent. Theory 7（2003）、651–680。
参考文献
- ホッジ, WVD (1943)、「形式理論におけるいくつかの列挙的結果」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、39 (1): 22– 30、Bibcode : 1943PCPS...39...22H、doi : 10.1017/S0305004100017631、MR 0007739
- ホッジ、WVD ;ペドー、ダニエル(1994) [1952]、「代数幾何学の方法：第2巻 第3巻：射影空間における代数多様体の一般理論。第4巻：二次曲面とグラスマン多様体。」、ケンブリッジ数学図書館、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-46901-2、MR 0048065
- Lakshmibai, V.; Musili, C.; Seshadri, CS (1979)、「G/Pの幾何学」、アメリカ数学会報、新シリーズ、1 (2): 432– 435、doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14631-7、ISSN 0002-9904、MR 0520081
- Lakshmibai, Venkatramani; Raghavan, Komaranapuram N. (2008),標準単項式理論, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 137, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-76757-2 , ISBN 978-3-540-76756-5、MR 2388163
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- Seshadri, CS (2007)、「標準単項式理論入門」、Texts and Readings in Mathematics、第46巻、ニューデリー：Hindustan Book Agency、ISBN 9788185931784、MR 2347272
- セシャドリ, CS (2012)、「標準単項式理論 ― 歴史的説明」、CSセシャドリ論文集。第2巻。シューベルト幾何学と表現論。、ニューデリー：ヒンドゥスタン・ブック・エージェンシー、pp. 3– 50、ISBN 9789380250175、MR 2905898
- ヤング、アルフレッド（1928）「定量的置換分析について」、ロンドン数学会誌、28（1）：255-292、doi：10.1112/plms/s2-28.1.255
