量子力学における和則

量子力学において、和則とはエネルギー準位間の遷移に関する公式であり、遷移強度の和が単純な形で表現されます。和則は、固体、原子、原子核、そして陽子や中性子などの原子核構成要素を含む多くの物理系の特性を記述するために使用されます。

和則は一般原理から導かれ、個々のエネルギー準位の挙動が複雑すぎて正確な量子力学理論では記述できない状況で有用である。一般的に、和則はハイゼンベルクの量子力学代数を用いて作用素等式を構築し、それを系の粒子またはエネルギー準位に適用することで導かれる。

和則の導出

出典: ^{[ 1 ]}

ハミルトニアンが 固有値を持つ 完全な固有関数の集合を持つと仮定します。 ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}$

エルミート演算子 の場合、繰り返し交換子を次のように反復的に定義します。 ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {C}}^{(k)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {C}}^{(0)}&\equiv {\hat {A}}\\{\hat {C}}^{(1)}&\equiv [{\hat {H}},{\hat {A}}]={\hat {H}}{\hat {A}}-{\hat {A}}{\hat {H}}\\{\hat {C}}^{(k)}&\equiv [{\hat {H}},{\hat {C}}^{(k-1)}],\ \ \ k=1,2,\ldots \end{aligned}}}$

はエルミート演算子として定義されているため、この演算子はエルミート演算子である。この演算子は反エルミート演算子である。 ${\displaystyle {\hat {C}}^{(0)}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {C}}^{(1)}}$

${\displaystyle \left({\hat {C}}^{(1)}\right)^{\dagger }=({\hat {H}}{\hat {A}})^{\dagger }-({\hat {A}}{\hat {H}})^{\dagger }={\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}}=-{\hat {C}}^{(1)}.}$

帰納的に次のことがわかります:

${\displaystyle \left({\hat {C}}^{(k)}\right)^{\dagger }=(-1)^{k}{\hat {C}}^{(k)}}$

そしてまた

${\displaystyle \langle m|{\hat {C}}^{(k)}|n\rangle =(E_{m}-E_{n})^{k}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle .}$

エルミート演算子の場合、

${\displaystyle |\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}=\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle m|{\hat {A}}|n\rangle ^{\ast }=\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle .}$

この関係式を使用すると次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle m|[{\hat {A}},{\hat {C}}^{(k)}]|m\rangle &=\langle m|{\hat {A}}{\hat {C}}^{(k)}|m\rangle -\langle m|{\hat {C}}^{(k)}{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {C}}^{(k)}|m\rangle -\langle m|{\hat {C}}^{(k)}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle (E_{n}-E_{m})^{k}-(E_{m}-E_{n})^{k}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}(1-(-1)^{k})(E_{n}-E_{m})^{k}|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}.\end{aligned}}}$

結果は次のように書ける。

${\displaystyle \langle m|[{\hat {A}},{\hat {C}}^{(k)}]|m\rangle ={\begin{cases}0,&{\mbox{kが偶数の場合}}\\2\sum _{n}(E_{n}-E_{m})^{k}|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2},&{\mbox{kが奇数の場合}}.\end{cases}}}$

これにより次のようになります: ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle \langle m|[{\hat {A}},[{\hat {H}},{\hat {A}}]]|m\rangle =2\sum _{n}(E_{n}-E_{m})|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}.}$

参照

• 発振器の強度
• 和則（量子場理論）
• QCD和則

参考文献

1. Wang, Sanwu (1999-07-01). 「トーマス・ライヒェ・キューン則とベーテ和則の一般化」. Physical Review A. 60 ( 1). American Physical Society (APS): 262– 266. Bibcode : 1999PhRvA..60..262W . doi : 10.1103/physreva.60.262 . ISSN  1050-2947 .