和則（量子場理論）

場の量子論において、和則とは静的な量と動的量の積分との間の関係である。したがって、和則は次のような形をとる。

${\displaystyle \int A(x)dx=B}$

ここで、 は動的な量（例えば粒子を特徴付ける構造関数）であり、は静的な量（例えばその粒子の質量や電荷）です。 ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B}$

量子場理論の和則は、量子色力学や量子力学の和則と混同しないでください。

プロパティ

和則は数多く存在します。特定の和則の妥当性は、その導出が確固とした仮定に基づいている場合には健全であると言えます。逆に、導出時に不当な仮定が用いられた結果、実験的に誤りであることが示された和則もあります。以下の和則の一覧は、このことを示しています。

和則は通常、分散関係と光学定理を組み合わせることによって得られ、^{[ 1 ]}作用素積展開または電流代数を使用します。^{[ 2 ]}

量子場の理論における和則は様々な用途で有用である。例えば量子色力学など、導出に用いられた理論や、ローレンツ不変性など導出に際して仮定された仮定を検証することができる。また、粒子の研究にも用いることができ、例えば、パートンスピンがどのようにして陽子スピンを形成するのかといった研究にも用いることができる。さらに、測定法としても用いることができる。静的な量を直接測定することが困難な場合、測定と積分を行うことで実用的な方法が得られる（ただし、関連する特定の和則が信頼できることを条件とする）。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B}$

原理的にはは静的な量であるが、和則の名称はが確率振幅の場合にまで拡張されている。例えば、コンプトン散乱の確率振幅 などである。^{[ 1 ]}以下の和則の一覧を参照のこと。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

和の規則の一覧

（リストは網羅的ではありません）

• アドラー総和則^{[ 3 ]}。この総和則は、陽子の荷電カレント構造関数（ここで、はビョルケンスケーリング変数、は散乱ニュートリノと陽子の間で伝達される4元運動量の絶対値の2乗）とカビボ角を関連付ける。この総和則は、極限において、となることを述べている。上付き文字のおよびは、それぞれ反ニュートリノ-陽子またはニュートリノ-陽子深非弾性散乱に関係することを示す。${\displaystyle F_{2}^{\nu p}(Q^{2},x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle \theta _{c}}$ ${\displaystyle Q^{2}\to \infty }$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{2}^{{\bar {\nu }}p}(Q^{2},x)-F_{2}^{\nu p}(Q^{2},x){\frac {dx}{x}}=2(1+\sin ^{2}\theta _{c})}$ ${\displaystyle {\bar {\nu }}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle F_{2}}$
• アドラー・ワイスバーガー和則^{[ 4 ]}は、核子の軸方向電荷とパイ中間子-核子散乱量との関係を示す。ここでMeVはパイ中間子の崩壊定数であり、およびはそれぞれおよびにおけるパイ中間子-陽子散乱断面積である。${\displaystyle g_{A}}$ ${\displaystyle 1+{\frac {F_{\pi }^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{\big [}\sigma _{\pi ^{+}p}(E)-\sigma _{\pi ^{-}p}(E){\big ]}{\frac {dE}{E}}=g_{A}^{2}}$ ${\displaystyle F_{\pi }=92.4}$ ${\displaystyle \sigma _{\pi ^{+}p}}$ ${\displaystyle \sigma _{\pi ^{-}p}}$ ${\displaystyle \pi ^{+}}$ ${\displaystyle \pi ^{+}}$
• バルディン和則^{​​ [ 5 ]}これは GDH 和則 (下記参照) の非分極版です。これは、粒子に吸収された光子がハドロン生成につながる確率 (この確率は光生成断面積 と呼ばれます) と、吸収粒子の電気分極率および磁気分極率を関連付けます。和則はとなり、ここでは光子エネルギー、は最も軽いハドロン (つまり、パイ中間子)を生成するのに必要なエネルギーの最小値、 は光生成断面積、およびはそれぞれ粒子の電気分極率と磁気分極率です。この和則が妥当であると仮定すると、バルディン和則​​は、電気分極率と磁気分極率に関する重要な情報を提供し、それらの直接的な計算や測定を補完します (例えば、記事の図 3 を参照。^{[ 6 ]} )${\displaystyle \int _{\nu _{0}}^{\infty }\sigma _{tot}/\nu ^{2}d\nu =4\pi ^{2}(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{tot}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
• バス・ブロツキー・シュミットの和則：^{[ 7 ]}和則は、実光子のスピン依存構造関数の積分は、光子がプローブされる運動量移動の任意の値に対して0になることを述べています：この関係は非摂動論的であり、アーベルゲージ理論と非アーベルゲージ理論の両方で成り立ちます。${\displaystyle g_{1}^{\gamma }(x,Q^{2})}$ ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{1}^{\gamma }(x,Q^{2})dx=0}$
• ビョーケン和則（偏極） ^{[ 8 ] [ 9 ]}この和則は、典型的なQCDスピン和則である。これは、ビョーケンスケーリング領域において、陽子のスピン構造関数の積分から中性子のスピン構造関数の積分を引いたものが、核子の軸電荷に比例すること。具体的には、 、ここではビョーケンスケーリング変数、陽子（中性子）の最初のスピン構造関数、 は中性子β崩壊を特徴付ける核子の軸電荷 である。ビョーケンスケーリング領域外では、ビョーケン和則は、精度 で5次までのQCDスケーリング補正を得る。 ^{[ 2 ]}和則は、10%未満の精度で実験的に検証された。 ^{[ 2 ]}${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{1}^{p}(x)-g_{1}^{n}(x)dx=g_{A}/6}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g_{1}^{p(n)}(x)}$ ${\displaystyle g_{A}}$
• ビョルケンの総和則（非偏極） ^{[ 10 ]}総和則は、摂動論的QCDの主要な次数で、次のように表される。ここで、およびは、陽子-ニュートリノ、陽子-反ニュートリノ、中性子-ニュートリノ深非弾性散乱反応の最初の構造関数であり、は、反応において核子と（反）ニュートリノの間で交換される4元運動量の2乗でありはQCD結合である。${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2})-F_{1}^{p{\bar {\nu }}}(x,Q^{2})dx=\int _{0}^{1}F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2})-F_{1}^{n\nu }(x,Q^{2})dx=1-{\frac {2}{3}}{\frac {\alpha _{s}(Q^{2})}{\pi }},}$ ${\displaystyle F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2}),~F_{1}^{p{\bar {\nu }}}(x,Q^{2})}$ ${\displaystyle F_{1}^{n\nu }(x,Q^{2})}$ ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{s}}$
• ブルクハルト・コッティンガムの和則。^{[ 11 ]}和則は実験的に検証された。^{[ 2 ]}和則は「超収束性」を持ち、その形は に依存しないことを意味する。和則は以下の通りである：ここでは研究対象の第2スピン構造関数である。${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{2}(x,Q^{2})dx=0,~\forall ~Q^{2}}$ ${\displaystyle g_{2}(x,Q^{2})}$
• ${\displaystyle \delta _{LT}}$ 合計ルール。^{[ 12 ]}
• クローズ-クマノ和則[ ^{13 ]に}よれば、有限のビョルケン限界では、重陽子の最初のテンソル構造関数の積分はゼロになる。${\displaystyle Q^{2}\to \infty }$ ${\displaystyle Q^{2}/\nu }$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}b_{1}^{\gamma }(x)dx=0}$
• エフレモフ・テリャエフ・リーダーの合計ルール。^{[ 14 ]}
• エリス・ヤッフェの和則^{[ 15 ]}。この和則は実験的に成立しないことが示されており^{[ 2 ]} 、これはストレンジクォークのスピンが陽子のスピンに無視できないほど寄与していることを示唆している。エリス・ヤッフェの和則は、和則の破れが物質の基本的な性質（この場合は陽子のスピンの起源）についてどのように教えてくれるかを示す一例である。
• 順方向スピン分極率の総和則。^{[ 12 ]}
• フビニ・ファーラン・ロセッティ・サム・ルール。^{[ 16 ]}
• ゲラシモフ・ドレル・ハーン和則（GDH、DHG和則と呼ばれることもある）。^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}これはバルディン和則​​（上記参照）の偏極版である。和則は である。ここでは光子が標的粒子に吸収された後にパイ中間子を生成するために必要な最小エネルギー、 は光子スピンが標的スピンと整列している場合と反整列している場合の光子吸収断面積の差、 は光子エネルギー、は微細構造定数、、はそれぞれ標的粒子の異常磁気モーメント、スピン量子数、質量である。GDH和則の導出では、標的粒子の構造を支配する理論（たとえば核子または原子核のQCD）が因果関係（つまり、分散関係、またはGDHと同等のクラマース・クローニッヒ関係を使用できる）、ユニタリ、ローレンツ不変、ゲージ不変 であると仮定する。これら3つの仮定は量子場理論の非常に基本的な前提である。したがって、GDH和則を検証することは、これらの基本的な前提を検証することとなる。GDH和則は実験的に検証されている（10%の精度以内）。^{[ 2 ]}${\displaystyle \int _{\nu _{0}}^{\infty }(2\sigma _{TT})/(\nu )d\nu =-4\pi ^{2}\alpha \kappa ^{2}S/m_{t}^{2}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{TT}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{t}}$
• 一般化されたGDH和則。GDH和則の一般化されたバージョンがいくつか提案されている。^{[ 2 ]}最初の最も一般的なものは である。ここでは標的粒子の最初のスピン構造関数、はビョルケンスケーリング変数、は光子の仮想性、またはそれと同等に、仮想光子を生成したビーム粒子と標的粒子の間で転送される4元運動量の絶対値の2乗、は最初の前方仮想コンプトン散乱振幅である。 は標的粒子の静的な特性でも直接測定可能な観測量でもないため、この関係を和則と呼ぶのは不適切であると主張できる。それでも、和則という名称は広く使用されている。${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{1}(x,Q^{2})dx=Q^{2}S_{1}(0,Q^{2})/8}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle S_{1}(\nu ,Q^{2})}$ ${\displaystyle S_{1}(\nu ,Q^{2})}$
• ゴットフリート和則^{[ 20 ]}。和則は、陽子の非分極構造関数の重み付き積分から中性子の非分極構造関数を引いたものが、海クォークのフレーバー非対称性と関係していることを述べている。フレーバー対称な海を仮定すると、ゴットフリート和則が成立するが、これは測定によって否定されており^{[ 21 ]} 、核子の海におけるフレーバー非対称性の最初の明確な証拠となった。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F_{2}(x,Q^{2})}$ ${\displaystyle I_{G}=\int _{0}^{1}F_{2}^{p}(x,Q^{2})-F_{2}^{n}(x,Q^{2}){\frac {dx}{x}}={\frac {1}{3}}-{\frac {2}{3}}\int _{0}^{1}{\bar {d}}(x,Q^{2})-{\bar {u}}(x,Q^{2})dx}$ ${\displaystyle I_{G}=1/3}$
• グロス・ルウェリン・スミス和則^{[ 22 ]}は、ビョーケンスケーリング領域において、核子の構造関数の積分が核子を構成する価クォークの数、すなわち3に等しいこと。ビョーケンスケーリング領域外では、グロス・ルウェリン・スミス和則はビョーケン和則と同一のQCDスケーリング補正を得る。グロス・ルウェリン・スミス積分は、フェルミ国立加速器研究所のCCFR実験によって測定された^{[ 23 ]}。${\displaystyle F_{3}(x)}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{3}(x)dx=3}$
• 運動量和則：^{[ 24 ]}ハドロン内のすべてのパートン（クォーク、反クォーク、グルーオン）の運動量比の合計は1に等しいと規定している。${\displaystyle x}$
• ジ・サム則：一般化パートン分布（GPD）の積分とクォークまたはグルーオンが運ぶ全角運動量を関連付ける。^{[ 25 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}x{\big [}E_{q,g}(x,0,0)+H_{q,g}(x,0,0){\big ]}dx=J_{q,g}}$ はクォーク（）またはグルーオン（）の全角運動量、はクォークまたはグルーオンの非分極ヘリシティ保存GDP、はクォークまたはグルーオンの非分極ヘリシティ反転GDPです。運動学変数の歪度とマンデスタムの歪度は0に設定されます。 ${\displaystyle J_{q,g}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle E_{q,g}(x,\xi ,t)}$ ${\displaystyle H_{q,g}(x,\xi ,t)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle t}$

• 陽子質量和則：^{[ 26 ] [ 27 ]}陽子質量をクォークエネルギー、クォーク質量、グルーオンエネルギー、量子異常エネルギーの4つの項に分解し、各項は3次元座標空間上で積分される。
• シュウィンガーの和則。^{[ 28 ]}シュウィンガーの和則は、偏極した標的粒子による偏極レプトンの散乱に関する理論的結果である。これは、 と読み取れる。ここで、は標的粒子の質量、散乱過程で標的粒子に伝達される4 元運動量の絶対値の 2 乗ビョルケンのスケーリング変数、標的粒子からパイオンを生成するのに必要な最小エネルギーの -値、および第 2 スピン構造関数である。 の極限は であり、標的粒子の異常磁気モーメントとその電荷である。和則の積分関数は、- 重み付けされた横方向 - 縦方向干渉断面積。これにより、一般化 GDH 和則に類似している。 ^{[ 2 ]}興味深いことに、和則には、和則が適用される極限では存在しない縦方向光子が含まれる、実際の光子が横方向のスピン投影しか持たないためである。したがって、極限で。和則によれば、この極限では比の積分は^{有限かつ非ゼロとなることが期待される。和則は中性子に対して実験的に検証されており[ 29 ]}、実験的不確かさは存在するものの、GDH和則も成立する限り成立することが確認されている。${\displaystyle {\frac {8M^{2}}{Q^{2}}}\int _{0}^{x_{0}}g_{1}(x,Q^{2})+g_{2}(x,Q^{2})dx\to \kappa e{\text{ as }}Q^{2}\to 0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g_{1}(x,Q^{2})}$ ${\displaystyle g_{2}(x,Q^{2})}$ ${\displaystyle Q\to 0}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle 1/Q}$ ${\displaystyle \sigma _{LT}/Q}$ ${\displaystyle Q\to 0}$ ${\displaystyle \sigma _{LT}=0}$ ${\displaystyle Q\to 0}$ ${\displaystyle \sigma _{LT}/Q}$
• Wandzura – Wilczek合計ルール。^{[ 30 ]}

参照

• 量子色力学
• 陽子スピン危機

参考文献

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