正接

曲線に接しています。赤い線は、赤い点でマークされた点で曲線に接しています。

球面の接線平面

幾何学において、平面曲線の任意の点における接線（または単に接線）は、直感的には、その点で曲線に「ちょうど接する」直線である。ライプニッツはこれを、曲線上の無限に近い2点を通る直線として定義した。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}より正確には、直線が曲線y = f ( x )の点x = cで接するとは、その直線が曲線上の点( c , f ( c ))を通り、傾きがf ' ( c )であるときである。ここでf 'はfの導関数である。同様の定義が、空間曲線とn次元ユークリッド空間の曲線にも適用される。

接線と曲線が交わる点は、接点と呼ばれます。接線は曲線と「同じ方向を向いている」と言われ、したがって、その点における曲線の最良の直線近似となります。微分可能曲線上の点への接線は、接線近似、つまり、与えられた点における元の関数を最もよく近似するアフィン関数のグラフと考えることもできます。 ^{[ 3 ]}

同様に、ある点における曲面の接平面とは、その点において曲面に「ちょうど接する」平面のことです。接線の概念は微分幾何学における最も基本的な概念の一つであり、広く一般化されています。

「tangent」という単語はラテン語の「 tangere」（触れる）に由来します。

歴史

ユークリッドは『原論』第3巻（紀元前300年頃）の中で、円の接線（ἐφαπτομένη ephaptoménē）について 何度か言及している。 [ ^{4 ]アポロニウス}は『円錐曲線』 （紀元前225年頃）の中で、接線を、その曲線と他の直線との間に挟まれることのない直線と定義している。^{[ 5 ]}

アルキメデス（紀元前287年頃-紀元前212年頃）は、曲線に沿って動く点の軌跡を考えることで、アルキメデスの螺旋の接線を発見した。 ^{[ 5 ]}

1630年代、フェルマーは接線やその他の解析学上の問題を計算するための等式法を開発し、これを放物線の接線計算に用いました。等式法は、との差を のべき乗で割るのと似ています。デカルトはこれとは独立して、円の半径は常に円自体に垂直であるという観察に基づいて、法線法を用いました。 ^{[ 6 ]}${\displaystyle f(x+h)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle h}$

これらの手法は17世紀に微分積分の発展につながりました。多くの人々が貢献しました。ロベルヴァルは、曲線を運動点によって描かれると考え、その運動がより単純な複数の運動の結果として生じるとみなすことで、接線を描く一般的な方法を発見しました。^{[ 7 ]}ルネ＝フランソワ・ド・スルーズとヨハネス・フッデは、接線を求める代数アルゴリズムを発見しました。^{[ 8 ]}ジョン・ウォリスとアイザック・バローによるさらなる発展があり、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツの理論につながりました。

1828年の接線の定義は「曲線に接するが、曲線を切断しない直線」であった。^{[ 9 ]}この古い定義は、変曲点が接線を持つことを妨げている。この定義は却下され、現代の定義はライプニッツの定義と同等である。ライプニッツは接線を曲線上の無限に近い2点を通る直線と定義した。現代の用語では、これは次のように表現される。曲線上の点Pにおける曲線の接線とは、曲線上の2点がPに向かうときに、その2点を通る直線の極限である。

平面曲線の接線

円の接線、弦、割線

接線が曲線に「接する」という直感的な概念は、関数曲線上にある2点AとBを通る直線（割線）の列を考えることで、より明確に理解できます。 Aにおける接線は、点B がAに近似する、つまりAに向かう極限です。接線の存在と一意性は、「微分可能性」と呼ばれるある種の数学的滑らかさに依存します。例えば、2つの円弧が鋭い点（頂点）で交わる場合、その頂点における一意に定義される接線は存在しません。これは、割線の累進の極限が「点B」が頂点に近づく方向に依存するためです。

ほとんどの点において、接線は曲線と交差することなく接します（ただし、接線が曲線に接し続ける場合、接線から離れた他の場所で曲線と交差することがあります）。接線（この点）が曲線と交差する点は、変曲点と呼ばれます。円、放物線、双曲線、楕円には変曲点はありませんが、より複雑な曲線には変曲点があります。例えば、3次関数のグラフには変曲点が1つだけあり、正弦波には正弦の周期ごとに2つの変曲点があります。

逆に、曲線が直線上の点を通る直線の片側に完全に乗っているにもかかわらず、この直線が接線ではない場合があります。例えば、三角形の頂点を通り、他の点と交わらない直線がこれに該当します。この場合、前述の理由により接線は存在しません。凸幾何学では、このような直線は支持線と呼ばれます。

分析的アプローチ

各点において、動線は常に曲線に接します。その傾きが微分です。緑は正の微分、赤は負の微分、黒は微分ゼロを示します。接線が曲線と交差する点 (x,y) = (0,1) は、最大値でも最小値でもなく、変曲点です。(注: 図には 0,0 と誤って表記されていますが、正しくは 0,1 です)

接線を割線の極限とする幾何学的概念は、接線を明示的に求める解析的手法の動機となっている。グラフの接線を求める問題、すなわち接線問題は、 17世紀における微積分学の発展をもたらした中心的な問題の一つであった。ルネ・デカルト^{[ 10 ]}は『幾何学』第2巻の中で、曲線の接線を描く問題について次のように述べている。「そして私は敢えて言うが、これは私が知る幾何学における最も有用で最も一般的な問題であるだけでなく、私がこれまで知りたかった問題でもある」^{[ 11 ] 。}

直感的な説明

曲線が関数y = f ( x )のグラフとして与えられているとする。点p = ( a , f ( a ) )における接線を求めるには、曲線上の別の近傍点q = ( a + h , f ( a + h ) ) を考える。pとqを通る割線の傾きは、差商に等しい。

$${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$$

点q がpに近づくにつれて、つまりhが小さくなるにつれて、差商はある極限値kに近づくはずです。この極限値は点pにおける接線の傾きです。kが既知であれば、接線の方程式は点と傾きの形で次のように表すことができます。

$${\displaystyle yf(a)=k(xa).\,}$$

より厳密な説明

前述の推論を厳密にするには、差分商が特定の極限値kに近づくとはどういうことかを説明する必要があります。正確な数学的定式化は19 世紀にコーシーによって示され、極限の概念に基づいています。グラフのpに切れ目や鋭いエッジがなく、 p付近で垂直でも極端に波打ってもいないとします。すると、 h が0 に近づくにつれて差分商がkにどんどん近づき、hが十分に小さければ、それらの距離はhの大きさに比べて無視できるほど小さくなるような、kの唯一の値があります。このことから、グラフの接線の傾きが、関数fの差分商の極限として定義されます。この極限は、関数fのx = aにおける導関数であり、f  ′( a ) と表記されます。導関数を使用すると、接線の方程式は次のように表すことができます。

${\displaystyle y=f(a)+f'(a)(xa).\,}$

微積分学は、べき乗関数、三角関数、指数関数、対数、そしてそれらの様々な組み合わせなど、公式によって与えられる関数の微分を計算するための規則を提供します。したがって、これらの関数のグラフの接線の方程式は、他の多くの関数と同様に、微積分学の手法によって求めることができます。

この方法が失敗する理由

微積分学では、関数とそのグラフ上の点の中には、接線の傾きを決定する極限が存在しないものがあることも示しています。これらの点では、関数fは微分不可能です。極限と導関数に基づいて接線を求める方法が失敗する理由は2つ考えられます。1つは、幾何学的接線は存在するものの、それが垂直線であり、傾きを持たないため点-傾き形式では表せない場合、もう1つは、グラフが幾何学的接線を成立させない3つの挙動のいずれかを示している場合です。

グラフy = x ^{1/3は最初の可能性を示しています。ここで、} a = 0における差分商はh ^1/3 / h = h ^−2/3に等しく、h が0 に近づくにつれて非常に大きくなります。この曲線は、原点で垂直な接線を持ちます。

グラフy = x ^{2/3 は}別の可能性を示しています。このグラフは原点にカスプを持ちます。つまり、h が0 に近づくと、 a = 0における差分商はxの符号に応じて正または負の無限大に近づきます。したがって、曲線のどちらの枝もy = 0 となる半垂直線に近くなりますが、この直線の負の部分に近い枝はありません。基本的に、この場合、原点に接線は存在しませんが、文脈によってはこの直線を接線と見なすことができ、代数幾何学においては二重接線と見なすことさえあります。

絶対値関数のグラフy = | x | は、傾きの異なる2本の直線が原点で結ばれたものです。点q が右から原点に近づくとき、その割線の傾きは常に1になります。点q が左から原点に近づくとき、その割線の傾きは常に-1になります。したがって、原点におけるグラフの接線は一意に定まりません。2つの異なる（ただし有限の）傾きを持つことをコーナーと呼びます。

最後に、微分可能性は連続性を意味するため、対偶状態の不連続性は微分不可能性を意味する。このようなジャンプまたは点不連続には接線は存在しない。これには、一方の傾きが正の無限大に近づく一方で、もう一方の傾きが負の無限大に近づく場合も含まれ、無限ジャンプ不連続につながる。

方程式

曲線がy = f ( x ) で与えられるとき、接線の傾きは点-傾きの公式 により、 ( X ,  Y ) における接線の方程式は${\displaystyle dy/dx,}$

${\displaystyle yY={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (xX)}$

ここで ( x ,  y ) は接線上の任意の点の座標であり、導関数は で評価される。^{[ 12 ]}${\displaystyle x=X}$

曲線がy = f ( x ) で与えられるとき、接線の方程式はで割る多項式除算を使用して求めることもできる^{[ 13 ]}。余りが で表される場合、接線の方程式は次のように与えられる。 ${\displaystyle f\,(x)}$ ${\displaystyle (xX)^{2}}$ ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle y=g(x).}$

曲線の方程式が f ( x ,  y ) = 0 の形式で与えられた場合、傾きの値は暗黙の微分によって求められ、次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

点（ X、Y）における接線の方程式はf（X、Y）= 0となるので^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (xX)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (yY)=0.}$

この式は、

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0,}$

この場合、接線の傾きは無限大となる。しかし、

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,}$

接線は定義されておらず、点 ( X , Y ) は特異点であると言われます。

代数曲線の場合、同次座標に変換することで計算がいくらか簡略化されます。具体的には、曲線の同次方程式をg ( x ,  y ,  z ) = 0とします。ここでgはn次の同次関数です。すると、( X ,  Y ,  Z )が曲線上にある場合、オイラーの定理から次の式が得られます 。したがって、接線の同次方程式は次の式になります。 $${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.}$$

${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.}$

この式でz = 1と設定すると、直交座標における接線の方程式が得られます。 ^{[ 14 ]}

これを代数曲線に適用するには、f ( x ,  y )を次のように 書きます。

${\displaystyle f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,}$

ここで、各u _rは次数rのすべての項の和である。曲線の同次方程式は

${\displaystyle g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.\,}$

上記の式を適用し、z = 1 とすると、

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0}$

接線の方程式として。^{[ 15 ]}この形の方程式は、適用後にさらなる簡略化を必要としないため、実際にはより簡単に使用できることが多い。^{[ 14 ]}

曲線がパラメトリックに 与えられた場合

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

接線の傾きは

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\bigg /}{\frac {dx}{dt}}}$

における接線の方程式は^{[ 16 ]}のように与えられる。${\displaystyle \,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X).}$

もし

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,}$

接線は定義されていません。ただし、接線が存在する場合があり、曲線の暗黙の方程式から計算できることがあります。

曲線の法線

曲線の接点における接線に垂直な直線は、その点における曲線の法線と呼ばれます。垂直な直線の傾きは積-1なので、曲線の方程式がy = f ( x ) である場合、法線の傾きは

${\displaystyle -1{\bigg /}{\frac {dy}{dx}}}$

そして、(X, Y)における法線の方程式は

${\displaystyle (x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.}$

同様に、曲線の方程式がf ( x ,  y ) = 0の形をしている場合、法線の方程式は^{[ 17 ]で与えられます。}

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.}$

曲線がパラメトリックに与えられた場合

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

すると法線方程式は^{[ 16 ]となる。}

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.}$

曲線間の角度

2本の曲線が交差する点における曲線間の角度は、その点における接線間の角度として定義されます。より具体的には、2本の曲線が1点において同一の接線を持つ場合、それらの曲線は1点で接しているとされ、接線が直交する場合、それらの曲線は直交しているとされます。^{[ 18 ]}

1点における複数の接線

リマソン三等分線：原点に2つの接線を持つ曲線

上記の公式は、点が特異点である場合は成立しません。この場合、曲線には点を通る2つ以上の枝があり、それぞれの枝には独自の接線があります。点が原点である場合、代数曲線のこれらの線の方程式は、元の方程式から最低次数以外の項をすべて消去して得られる方程式を因数分解することで求めることができます。任意の点を変数変換（または曲線の移動）によって原点にすることができるため、この方法は任意の特異点における接線を求める方法となります。

例えば、右に示す リマソン三等分線の方程式は

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,}$

これを展開して2次以外の項を消去すると、

${\displaystyle a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,}$

これを因数分解すると

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {3}}x.}$

これらは原点を通る２つの接線の方程式です。^{[ 19 ]}

曲線が自己交差しない場合でも、参照点における接線は一意に定義できないことがあります。これは、曲線が他の点では微分可能であっても、その点では微分不可能であるためです。この場合、左微分と右微分は、それぞれ左（低い値）または右（高い値）から参照点に近づくにつれて、微分の極限として定義されます。例えば、曲線y = | x | はx = 0で微分不可能です。その左微分と右微分の傾きはそれぞれ -1 と 1 です。その点におけるこれらの傾きを持つ接線は、左接線と右接線と呼ばれます。^{[ 20 ]}

左右の接線の傾きが等しい場合、接線は一致することがあります。例えば、曲線y = x ^2/3ではx = 0における左右の微分はどちらも無限大となり、左右の接線はどちらもx = 0という式を持ちます。

空間曲線の接線

数学において、接ベクトルとは、与えられた点において曲線または曲面に接するベクトルのことである。接ベクトルは、曲線の微分幾何学において、R ⁿ内の曲線の文脈で記述される。より一般的には、接ベクトルは微分可能多様体の接空間の要素である。接ベクトルは、芽を用いて記述することもできる。正式には、点 における接ベクトルは、における芽の集合によって定義される代数の線型微分である。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

接線円

2組の接線円。上は内接、下は外接

同じ平面にある 2 つの異なる円は、正確に 1 点で交わる場合、互いに 接していると言われます。

平面上の点が直交座標で記述される場合、半径がで中心がである2つの円は、次の場合に互いに接する。 ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.}$

二つの円の中心間の距離が半径の合計に等しい 場合、二つの円は外接していると言われる。

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.}$

あるいは中心間の距離が半径の差に等しい場合は内部接線となる。 ^{[ 21 ]}

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.}$

面の接線平面

与えられた点pにおける曲面の接線は、曲線の場合の接線と同様に定義されます。これは、 pにおける平面による曲面の最良近似であり、 pに近い曲面上の3つの異なる点を通る平面の、これらの点がpに収束する際の限界位置として得られます。（技術的な詳細としては、3点は少なくとも2つの非平行方向からpに近づく必要があります。より正確には、 pにおける3つの接ベクトルのうち2つは線形独立である必要があります。）数学的には、曲面が関数 で与えられている場合、点 における接面の方程式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

$${\displaystyle z-z_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}).}$$

ここで、およびはそれぞれ、およびに関する関数の偏微分であり、点 において評価されます。本質的に、接平面は特定の点pにおける曲面の局所的な挙動を捉えます。これは微積分学と微分幾何学で用いられる基本的な概念であり、関数が曲面上で局所的にどのように変化するかを理解するために不可欠です。 ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

高次元多様体

より一般的には、 n次元ユークリッド空間内のk次元多様体の各点にk次元接空間が存在します。

参照

• 多項式関数の重根近傍における挙動
• ニュートン法
• 法線（ジオメトリ）
• 接触円
• 接触曲線
• 接触面
• 垂直
• 接線
• サポートライン
• 点における接線
• 接線円錐
• 円の接線
• 接線ベクトル
• 接線角
• 接線成分

参考文献

1. 「 Nova Methodus pro Maximis et Minimis」（ Acta Eruditorum、1684 年 10 月）の中で、ライプニッツは最初から接線の概念をすぐに持っていたようですが、後に次のように述べています。 「無限の多角形、等価なノビスの曲線」、すなわち。互いに無限に近い点を通る接線を引く方法を定義します。
2. トーマス・L・ハンキンス（1985年）『科学と啓蒙主義』ケンブリッジ大学出版局、23ページ。ISBN 9780521286190。
3. Dan Sloughter (2000) 「最良アフィン近似」
4. ユークリッド. 「ユークリッド原論」 . 2015年6月1日閲覧。
5. Shenk, Al. 「e-CALCULUS Section 2.8」（PDF） p. 2.8 . 2015年6月1日閲覧。
6. Katz, Victor J. (2008). 『数学史』（第3版）. Addison Wesley. p. 510. ISBN 978-0321387004。
7. ウルフソン, ポール・R. (2001). 「曲がったものがまっすぐになる：接線に関するロバーバルとニュートン」アメリカ数学月刊誌. 108 (3): 206– 216. doi : 10.2307/2695381 . JSTOR 2695381 . 
8. Katz, Victor J. (2008). 『数学史』（第3版）. Addison Wesley. pp.  512– 514. ISBN 978-0321387004。
9. ノア・ウェブスター『アメリカ英語辞典』（ニューヨーク：S.コンバース、1828年）、第2巻、733ページ、 [1]
10. デカルト、ルネ（1954）[1637] 『ルネ・デカルトの幾何学』スミス、デイヴィッド・ユージン訳、レイサム、マーシャ・L.『オープンコート』95頁。
11. RE Langer (1937年10月). 「ルネ・デカルト」.アメリカ数学月刊. 44 (8). アメリカ数学会誌: 495–512 . doi : 10.2307/2301226 . JSTOR 2301226 . 
12. エドワーズアート 191
13. ストリックランド・コンスタブル、チャールズ、「多項式グラフの接線を見つけるための簡単な方法」、 Mathematical Gazette、2005年11月、466-467。
14. エドワーズアート 192
15. エドワーズアート 193
16. エドワーズアート 196
17. エドワーズアート 194
18. エドワーズアート 195
19. エドワーズアート 197
20. Thomas, George B. Jr., Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry , Addison Wesley Publ. Co.: p. 140.
21. 「Circles For Leaving Certificate Honours Mathematics by Thomas O'Sullivan 1997」。

出典

• J. エドワーズ (1892). 『微分積分学』 ロンドン: マクミラン社 pp.  143 ff.

外部リンク

• 「接線」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W. 「タンジェント・ライン」。マスワールド。
• 円の接線インタラクティブアニメーション付き
• 接線と一次導関数— インタラクティブシミュレーション