テイト・シャファレヴィッチ群

数論幾何学において、 数体K上に定義されたアーベル多様体A (またはより一般的には群スキーム)のテイト・シャファレヴィッチ群Ш( A / K )は、Kの絶対ガロア群であるヴェイユ・シャトレ群の元から成り、 Kのすべての完備化（すなわち、実数および複素数完備化、およびすべてのアルキメデス的および非アルキメデス的付値vに関してKから得られるp進体）において自明となる。したがって、ガロアコホモロジーの観点から、Ш( A / K ) は次のように定義できる 。${\displaystyle \mathrm {WC} (A/K)=H^{1}(G_{K},A)}$ ${\displaystyle G_{K}=\mathrm {Gal} (K^{alg}/K)}$

${\displaystyle \bigcap _{v}\mathrm {ker} \left(H^{1}\left(G_{K},A\right)\rightarrow H^{1}\left(G_{K_{v}},A_{v}\right)\right).}$

このグループはセルジュ・ラングとジョン・テイト^{[ 1 ]}とイゴール・シャファレヴィッチ^{[ 2 ]} によって導入されました。カッセルスは、シャファレヴィッチのために、従来のTSまたはTŠ表記に代えて、 Ш( A / K )という表記を導入しました。ここでШはキリル文字の「Sha」です。 ^{[ 3 ]}シャファレヴィッチは、この表記を導入しました。^{[ 4 ]}

テイト・シャファレヴィッチ群の要素

幾何学的には、テイト・シャファレヴィッチ群の非自明な元は、Kの任意の位vに対してK _v有理点を持ち、K有理点は持たないAの同質空間と考えることができる。したがって、この群は、体Kに係数を持つ有理方程式に対してハッセ原理が成立しない程度を測るものである。カール・エリック・リンドは、そのような同質空間の例として、種数1 の曲線x ⁴ − 17 = 2 y ²が実数上およびすべてのp進体上で解を持つが、有理点は持たないことを示した。^{[ 5 ]}エルンスト・S・セルマーは、 3 x ³ + 4 y ³ + 5 z ³ = 0など、さらに多くの例を示した。^{[ 6 ]}

アーベル多様体の、ある与えられた有限位数nの点からなる有限群スキームに対するテイト・シャファレヴィッチ群の特殊なケースは、セルマー群と密接に関連しています。

テイト・シャファレヴィッチ予想

テイト＝シャファレヴィッチ予想は、テイト＝シャファレヴィッチ群が有限であることを述べている。カール・ルービンは、階数が高々1で複素乗法を持つ楕円曲線に対してこれを証明した。^{[ 7 ]}ヴィクター・A・コリヴァギンは、これを解析階数が高々1の有理数上のモジュラー楕円曲線に拡張した。^{[ 8 ]}（後にモジュラー性定理によって、モジュラー性仮定は常に成り立つことが示された。）

テイト・シャファレヴィッチ群は捩れ群であることが知られているので^{[ 9 ] [ 10 ]}、この予想は群が有限生成であると述べることと同値である。

カッセルズとテイトのペアリング

Cassels–Tate ペアリングは双線型ペアリングШ( A ) × Ш( Â ) → Q / Zであり、Aはアーベル多様体でÂはその双対である。Cassels は楕円曲線に対してこれを導入し、A がÂと同一視され、ペアリングが交代形式となる。^{[ 4 ]}この形式の核は可分な元の部分群であり、Tate–Shafarevich 予想が正しい場合は自明である。Tate は、 Tate 双対性の変形として、このペアリングを一般のアーベル多様体に拡張した。^{[ 11 ]} A上の分極を選択すると、AからÂへの写像が得られ、これがQ / Zに値を持つШ( A )上の双線型ペアリングを誘導するが、楕円曲線の場合とは異なり、これは交代形式である必要はなく、歪対称である必要もない。

楕円曲線では、カッセルスはペアリングが交代であることを示し、その結果、Шの位数が有限であれば平方になる。より一般的なアーベル多様体では、 Шの位数が有限であれば平方であると長年にわたって誤って信じられていたことがあった。この間違いは、Tate の結果の 1 つを誤って引用したSwinnerton-Dyerの論文^{[ 12 ]に端を発している。 [ 11 ]} Poonen と Stoll は、位数が平方の 2 倍となる例、例えば、Tate–Shafarevich 群の位数が 2 である有理数上の種数 2 の曲線のヤコビアンなどを示し^{[ 13 ]}、Stein は位数を割り切る奇数の素数のべきが奇数となる例をいくつか示した。^{[ 14 ]}アーベル多様体が主分極を持つ場合、 Ш上の形式は歪対称であり、これはШの位数が平方または平方の 2 倍 (有限の場合) であることを意味します。さらに主分極が有理数因子から来る場合 (楕円曲線の場合のように)、形式は交代であり、Шの位数は平方です (有限の場合)。一方、先ほど示した結果に基づいて、コンスタンティノウは、任意の平方数nに対して、 Q上に定義されたアーベル多様体Aと| Ш | = n ⋅ m ²となる整数mが存在することを示しまし た。^{[ 15 ]}特に、Шはコンスタンティノウの例では有限であり、これらの例はスタインの予想を裏付けています。したがって、平方を法として任意の整数がШの位数になることができます。

参照

• バーチとスウィナートン・ダイアーの予想

引用

1. ラング＆テイト 1958 .
2. シャファレヴィッチ 1959 .
3. カッセルズ 1962b .
4. カッセルズ 1962 .
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6. セルマー 1951 .
7. ルビン 1987 .
8. コリヴァギン 1988 .
9. Kolyvagin, VA (1991)、「シャファレヴィチ・テート群の構造について」、代数幾何学、数学講義ノート、第1479巻、Springer Berlin Heidelberg、pp.  94– 121、doi : 10.1007/bfb0086267、ISBN 978-3-540-54456-2
10. Poonen, Bjorn (2024-09-01). 「セルマー群、シャファレヴィッチ・テイト群、そして弱いモーデル・ヴァイル定理」(PDF) .
11. テート 1963 .
12. スウィナートン・ダイアー 1967 .
13. プーネン＆ストール 1999 .
14. スタイン 2004 .
15. コンスタンティノウ 2024 .

参考文献

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• カッセルズ、ジョン・ウィリアム・スコット（1991年）「楕円曲線に関する講義」、ロンドン数学会学生テキスト第24巻、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9781139172530、ISBN 978-0-521-41517-0、MR  1144763
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