トートロジー環

代数幾何学において、トートロジー環（トートロジーかん、英: tautological ring）は、トートロジー類によって生成される曲線のモジュライ空間のチャウ環の部分環である。これらは、1 から後述する様々な射に沿って前進させることで得られる類である。トートロジーコホモロジー環は、（チャウ環からコホモロジー環への）サイクル写像によるトートロジー環の像である。

意味

を安定なマーク曲線のモジュライスタックとし、 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle (C;x_{1},\ldots,x_{n})}$

• Cは数論的種数gの複素曲線であり、その特異点はノードのみである。

• n個の点x 1 _, ..., x _nはCの異なる滑らかな点であり、

• マークされた曲線は安定であり、つまりその自己同型群（マークされた点は不変のまま）は有限である。

最後の条件は、言い換えれば ( g , n ) が (0,0), (0,1), (0,2), (1,0) の範囲に含まれないことを要求する。この場合、スタックの次元は となる。マークされた点の順列に加えて、これらのモジュライスタック間の以下の射は、トートロジー類の定義において重要な役割を果たす。 ${\displaystyle 2g-2+n>0}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle 3g-3+n}$

• 忘却マップは、マークされた点の集合から特定の点x _{kを削除し、マークされた曲線が安定しなくなった場合にそれを再安定化することによって機能します。}${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n-1}}$

• ある曲線のk番目のマーク点を、別の曲線のl番目のマーク点と同一視する接着写像。別の接着写像セットは、 k番目のマーク点とl番目のマーク点を同一視し、閉ループを作成することで種数を増加させるものです。${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'+1}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g+g',n+n'}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+2}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g+1,n}}$

トートロジー環は 、忘却写像と接着写像によって押し進めによって閉じられたチョウ環の最小の部分環として同時に定義される。^{[ 1 ]}${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$

トートロジーコホモロジー環は 、サイクル写像の下のの像である。2016年現在、トートロジー環とトートロジーコホモロジー環が同型であるかどうかは分かっていない。 ${\displaystyle RH^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ ${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$

発電セット

について、次のようにクラスを定義する。 を、最初の曲線のマークされた点x _kを球面上の3つのマークされた点y _iのいずれかに一致させる接着写像に沿った1 の押し進めとする（後者の選択は自己同型性により重要ではない）。明確性のため、結果として得られる点をx ₁ , ..., x _{k −1} , y ₁ , y ₂ , x _{k +1} , ..., x _nと順序付ける。すると、は点y ₂を忘れる忘却写像に沿った1 の押し進めとして定義される。このクラスは、ある直線束の最初のチャーン類と一致する。 ^{[ 1 ]}${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle \psi _{k}\in R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ ${\displaystyle \delta_{k}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{0,3}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}}$ ${\displaystyle \psi_{k}}$ ${\displaystyle -\delta _{k}^{2}}$

は、k番目の点を忘れる忘却写像に沿ったの押し進め方とも定義します。これはkとは独立です（点を単に入れ替えるだけです）。 ${\displaystyle i\geq 1}$ ${\displaystyle \kappa _{i}\in R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ ${\displaystyle (\psi _{k})^{i+1}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

定理は、 クラスおよびクラスの単項式の（任意の数の）接着マップに沿ったプッシュフォワードによって付加的に生成されます。${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle \kappa }$

これらの単項式（以下、基本クラスと呼ぶ）の押し出しは基底を形成しない。関係集合は完全には分かっていない。

定理。トートロジー環は、接着写像と忘却写像に沿った引き戻しに対して不変である。基本類のプッシュフォワード、引き戻し、および積を基本類の線型結合として表す普遍的な組合せ論的公式が存在する。

ファーバー予想

滑らかなn点の種数g曲線のモジュライ空間上のトートロジー環は、単に の類の制約から構成される。nが 0 の場合（マークされた点がない場合） は省略する。${\displaystyle R^{\bullet }({\mathcal {M}}_{g,n})}$ ${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$

点のない曲線の場合、マンフォードは、任意の g に対して、写像は十分大きいgに対して次数dの同型写像となると予想し、マドセンとワイスは証明した。この場合、すべての類はトートロジーとなる。 ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [\kappa _{1},\kappa _{2},\ldots ]\to H^{\bullet }({\mathcal {M}}_{g})}$

予想（ファバー）。（１）大次数のトートロジー環は消滅する。（２）そしてこの同型に対する明示的な組み合わせ論的公式が存在する。（３）（チャウ環からの）類の積は完全な対を定義する。${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})=0}$ ${\displaystyle d>g-2.}$ ${\displaystyle R^{g-2}({\mathcal {M}}_{g})\cong \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})\times R^{gd-2}({\mathcal {M}}_{g})\to R^{g-2}({\mathcal {M}}_{g})\cong \mathbb {Q} .}$

の次元のため、は に対して自明に消滅しますが、予想された境界ははるかに低くなります。この予想は環の構造を完全に決定します。つまり、 のコホモロジー次数dの多項式が消滅する場合、かつその多項式とコホモロジー次数のすべての多項式との対が消滅する場合に限ります。 ${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})}$ ${\displaystyle d>3g-3}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle \kappa_{j}}$ ${\displaystyle gd-2}$

予想の(1)と(2)は証明された。(3)はゴレンシュタイン予想とも呼ばれ、 についてのみ検証された。および高次の種数については、クラス間の関係を構築するいくつかの方法で、との次元が異なることを示唆する同じ関係集合が見つかる。これらの方法で見つかった関係集合が完全であれば、ゴレンシュタイン予想は誤りである。 上のベクトル束（普遍曲線 のd番目のファイバー冪）間の古典的写像に基づく、Faberによる独自の非体系的なコンピュータ探索の他に、関係を見つけるために以下の方法が使われてきた。 ${\displaystyle g<24}$ ${\displaystyle g=24}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})}$ ${\displaystyle R^{gd-2}({\mathcal {M}}_{g})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}^{d}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}\twoheadrightarrow {\mathcal {M}}_{g}}$

• パンダリパンデとピクストンによる安定商のモジュライ空間の仮想類（ 上） ^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

• パンダリパンデ、ピクストン、ズヴォンキンが用いたウィッテンのrスピン類とギブンタル・テレマンのコホモロジー場の理論の分類。^{[ 3 ]}

• Yin による上の普遍ヤコビアンの幾何学。${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,1}}$

• グルシェフスキーとザハロフによる普遍アーベル多様体上のシータ因子の冪^{[ 4 ]}

これら 4 つの方法は、同じ関係セットを与えることが証明されています。

安定曲線のモジュライ空間およびコンパクト型安定曲線のモジュライ空間についても同様の予想が定式化された。しかし、Petersen-Tommasi ^{[ 5 ]}は、 （類似の）ゴレンシュタイン予想に従わないことを証明した。一方、Tavakol ^{[ 6 ]}は、種数2に対して、有理数裾安定曲線のモジュライ空間は任意のnに対してゴレンシュタイン条件に従うことを証明した。 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\text{c.t.}}}$ ${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{2,20})}$ ${\displaystyle R^{\bullet }({\mathcal {M}}_{2,8}^{\text{c.t.}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,n}^{\text{r.t.}}}$

参照

• ELSV式
• ホッジバンドル
• ウィッテンの予想

参考文献

1. Faber, C.; Pandharipande, R. (2011). 「曲線のモジュライ空間のトートロジー的および非トートロジー的コホモロジー」. arXiv : 1101.5489 [ math.AG ].
2. Pandharipande, R.; Pixton, A. (2013). 「曲線のモジュライ空間のトートロジー環における関係」. arXiv : 1301.4561 [ math.AG ].
3. Pandharipande, R.; Pixton, A.; Zvonkine, D. (2016). 「r-スピン構造によるトートロジー関係」. arXiv : 1607.00978 [ math.AG ].
4. Grushevsky, Samuel; Zakharov, Dmitry (2012). 「普遍半アーベル多様体の零切断と二重分岐サイクル」Duke Mathematical Journal . 163 (5): 953– 982. arXiv : 1206.3534 . doi : 10.1215/00127094-26444575 .
5. ダン、ピーターセン;オルソラのトンマシ（2012）。 「ゴレンシュタイン予想は $\mathcal{\bar M}_{2,n}$ のトートロジー環に対して失敗します。」数学の発明。196 (2014): 139.arXiv : 1210.5761。ビブコード: 2014InMat.196..139P。土井：10.1007/s00222-013-0466-z。
6. Tavakol, Mehdi (2011). 「モジュライ空間M_{2,n}^rtのトートロジー環」. arXiv : 1101.5242 [ math.AG ].

• ヴァキル、ラヴィ（2003）「曲線のモジュライ空間とその同語的環」（PDF）、アメリカ数学会誌、50（6）：647-658、MR  1988577
• グレーバー、トム; ヴァキル、ラヴィ (2001)、「のトートロジー環について」${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ (PDF)、トルコ数学ジャーナル、25 (1): 237– 243、MR  1829089