ウィッテン予想

代数幾何学において、ウィッテン予想は曲線のモジュライ空間上の安定類の交差数に関する予想であり、エドワード・ウィッテンが論文Witten  ( 1991 )で導入し、Witten (1993)で一般化されました。 ウィッテンの最初の予想は、マキシム・コンツェビッチが論文Kontsevich (1992)で証明しました

ウィッテンがこの予想を立てた動機は、2次元量子重力の2つの異なるモデルが同じ分配関数を持つはずであるという点にあった。一方のモデルの分配関数は代数曲線のモジュライスタック上の交点数で記述でき、もう一方のモデルの分配関数はKdV階層のτ関数の対数で記述できる。これらの分配関数を特定することで、交点数から形成される特定の生成関数がKdV階層の微分方程式を満たすというウィッテン予想が導かれる。

ステートメント

M g , nは、n個の異なるマークされた点x 1 ,..., x nを持つ種数gのコンパクトリーマン面のモジュライスタックであり、M g , nはそのドリーニュ・マンフォードコンパクト化であるとする。M g , n上に n本の直線束L iがあり、モジュライスタックのある点におけるそのファイバーは、マークされた点 x i におけるリーマン面の余接空間によって与えられる。交点指数〈τ d 1 ,...,τ d n〉は、M g , n上の Π c 1 ( L i ) d iの交点指数であり、 Σ d i = dim M g , n = 3 g - 3 + nであり、そのようなgが存在しない場合は0である。ここで、c 1は直線束の 最初のチャーン類である。ウィッテンの生成関数

F（t0、t1、…）＝∑⟨τ0k0τ1k1⋯⟩∏i≥0tikiki！＝t036＋t124＋t0t224＋t1224＋t02t348＋⋯{\displaystyle F(t_{0},t_{1},\ldots )=\sum \langle \tau _{0}^{k_{0}}\tau _{1}^{k_{1}}\cdots \rangle \prod _{i\geq 0}{\frac {t_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}={\frac {t_{0}^{3}}{6}}+{\frac {t_{1}}{24}}+{\frac {t_{0}t_{2}}{24}}+{\frac {t_{1}^{2}}{24}}+{\frac {t_{0}^{2}t_{3}}{48}}+\cdots }

すべての交差点のインデックスをその係数としてエンコードします。

ウィッテンの予想によれば、分割関数Z = exp FはKdV 階層の τ 関数であり、言い換えれば、ヴィラソロ代数の基底に対応する特定の一連の偏微分方程式を満たすとされています。 {L−1、L0、L1、…}{\displaystyle \{L_{-1},L_{0},L_{1},\ldots \}}

証明

コンツェビッチは、リボングラフを用いたモジュライ空間の組合せ論的記述を用いて、

∑d1＋⋯＋dn＝3g−3＋n⟨τd1、…、τdn⟩∏1≤i≤n（2di−1）！！λi2di＋1＝∑Γ∈Gg、n2−|X0||自動Γ|∏e∈X12λ（e）{\displaystyle \sum _{d_{1}+\cdots +d_{n}=3g-3+n}\langle \tau _{d_{1}},\ldots ,\tau _{d_{n}}\rangle \prod _{1\leq i\leq n}{\frac {(2d_{i}-1)!!}{\lambda _{i}^{2d_{i}+1}}}=\sum _{\Gamma \in G_{g,n}}{\frac {2^{-|X_{0}|}}{|{\text{Aut}}\Gamma |}}\prod _{e\in X_{1}}{\frac {2}{\lambda (e)}}}

ここで、右辺の和は、n個の印された点を持つ種数gのコンパクトリーマン面のリボングラフXの集合G g , n にわたる。Xの辺eと点の集合は、X 0とX 1で表される。関数λは、印された点から実数への関数と考えられ、辺のλを、その辺の各辺に対応する2つの印された点におけるλの和と等しくすることで、リボングラフの辺に拡張される。

ファインマン図の技法によれば、これは F ( t 0 ,...)が漸近展開である ことを意味する。

対数⁡∫exp⁡（itrX3/6）dμ{\displaystyle \log \int \exp(i{\text{tr}}X^{3}/6)d\mu }

Λが無限大に近づくにつれて、ΛとΧは正定値N行N列のエルミート行列であり、t iは次のように与えられる。

ti＝−tr Λ−1−2i1×3×5×⋯×（2i−1）{\displaystyle t_{i}={\frac {-{\text{tr }}\Lambda ^{-1-2i}}{1\times 3\times 5\times \cdots \times (2i-1)}}}

そして、正定値エルミート行列上の確率測度μは次のように与えられる。

dμ＝cΛexp⁡（−trX2Λ/2）dX{\displaystyle d\mu =c_{\Lambda }\exp(-{\text{tr}}X^{2}\Lambda /2)dX}

ここでc Λは正規化定数である。この測度は次のような性質を持つ。

∫XijXkldμ＝δilδjk2Λi＋Λj{\displaystyle \int X_{ij}X_{kl}d\mu =\delta _{il}\delta _{jk}{\frac {2}{\Lambda _{i}+\Lambda _{j}}}}

これは、ファインマン図による展開がリボングラフによる Fの表現であることを意味します。

このことから彼は、exp F が KdV 階層の τ 関数であると推論し、ウィッテンの予想を証明しました。

一般化

ウィッテン予想は、ハミルトン偏微分方程式の可積分系と特定の2次元位相場の理論の族の幾何学（コンツェビッチとマニンによっていわゆるコホモロジー場の理論の形で公理化された）との間のより一般的な関係の特殊なケースであり、B. ドゥブロヴィン、Y. チャン、A. ギブンタル、C. テレマンらによって体系的に探求され研究されました

ヴィラソロ予想はウィッテン予想の一般化です。

参考文献

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