テイラー級数

テイラー多項式の次数が上がるにつれて、正しい関数に近づきます。この図は、sin xと、 x = 0における1、3、5、7、9、11、13次多項式によるそのテイラー近似を示しています。

数学的解析において、関数のテイラー級数またはテイラー展開とは、関数のある一点における導関数の項の無限和である。ほとんどの一般的な関数では、この点の近傍では関数とそのテイラー級数の和は等しくなる。テイラー級数は、1715年に提唱したブルック・テイラーにちなんで名付けられた。また、18世紀にこの特殊なケースのテイラー級数を広く利用した コリン・マクローリンにちなんで、0を導関数の考慮点とするテイラー級数は、マクローリン級数とも呼ばれる。

テイラー級数の最初のn + 1項によって形成される部分和は、関数のn次テイラー多項式と呼ばれるn次多項式です。テイラー多項式は関数の近似値であり、n が増加するにつれて一般に精度が高まります。テイラーの定理は、このような近似値の使用によって生じる誤差を定量的に推定します。関数のテイラー級数が収束する場合、その和はテイラー多項式の無限列の極限になります。関数は、そのテイラー級数が収束する場合でも、そのテイラー級数の和とは異なる場合があります。関数が点xで解析的であるとは、その関数が、 xを含むある開区間（または複素平面の開円板）でのテイラー級数の和に等しい場合です。これは、関数が区間（または円板）のすべての点で解析的であることを意味します。

意味

実数または複素数aで無限に微分可能な実数値または複素数値関数f ( x )のテイラー級数は、べき級数です。ここ で、n !はnの階乗を表します。関数f ^{( n )} ( a )は、点aで評価されたfのn次導関数を表します。 fの 0 次導関数はf自身と定義され、 ( x − a ) ⁰と0!は両方とも 1 と定義されます。この級数は、右辺の式のようにシグマ記法を使用して表すことができます。 ^{[ 1 ]} a = 0のとき、マクローリン級数は次の形式になります。^{[ 2 ]}$${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(xa)+{\frac {f''(a)}{2!}}(xa)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(xa)^{n}.}$$ $${\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.}$$

例

任意の多項式のテイラー級数は、多項式そのものです。

マクローリン級数1/1 − x⁠は等比級数である

$${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots .}$$

したがって、xを1 − xに代入すると、 ⁠のテイラー級数は1/×⁠ a = 1では

$${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .}$$

上記のマクローリン級数を積分すると、 ln(1 − x )のマクローリン級数が得られます。ここで、ln は自然対数を表します。

$${\displaystyle -x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}-\cdots .}$$

a = 1におけるln xの対応するテイラー級数は

$${\displaystyle (x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,}$$

より一般的には、任意の非零点aにおけるln xの対応するテイラー級数は

$${\displaystyle \ln a+{\frac {1}{a}}(xa)-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\left(xa\right)^{2}}{2}}+\cdots .}$$

指数関数e ^xのマクローリン級数は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\end{aligned}}}$$

上記の展開は、 e ^xのxに関する導関数もe ^xであり、e ⁰は 1 に等しいため成り立ちます。これにより、無限和の各項の分子には( x − 0) ^{n が}、分母にはn !が残ります。

歴史

古代ギリシャの哲学者エレアのゼノンは、無限級数を足し合わせて有限の結果を得るという問題を考えたが、不可能として却下した。これがゼノンのパラドックスである。^{[ 3 ]}後にアリストテレスがこのパラドックスの哲学的解決を提唱したが、その数学的内容はアルキメデスが取り上げるまで明らかに未解決であった。これはアリストテレス以前にソクラテス以前の原子論者デモクリトスが取り上げていたのと同様である。アルキメデスの枯渇法によって、無限回の漸進的細分化を行って有限の結果を得ることが可能になった。^{[ 4 ]} 数世紀後、劉徽が独自に同様の方法を採用した。 ^{[ 5 ]}

14世紀、インドの数学者サンガマグラマのマダヴァによって、特定のテイラー級数（ただし、一般的な方法ではない）の最も初期の例が示されました。^{[ 6 ]}彼の業績に関する記録は残っていませんが、ケーララ学派の天文学と数学における彼の弟子たちの著作から、彼が正弦、余弦、逆正接の三角関数のテイラー級数を発見したことが示唆されています（マダヴァ級数を参照）。その後2世紀にわたり、彼の弟子たちはさらなる級数展開と有理近似を開発しました。^{[ 7 ]}

1670 年後半、ジェームズ・グレゴリーはジョン・コリンズからの手紙の中で、アイザック・ニュートンが導出したマクローリン級数(${\textstyle \sin x,}$ および)をいくつか示され、ニュートンが級数展開関数の一般的な手法を開発したことを知らされた。ニュートンは実際には級数の長い除算と項ごとの積分を含む面倒な手法を使用していたが、グレゴリーはそれを知らず、自分で一般的な手法を発見しようと試みた。1671 年の初め、グレゴリーは一般的なマクローリン級数に似たものを発見し、( の積分)、 ( secの積分、逆グーデルマン関数)、(グーデルマン関数) の級数を添付した手紙をコリンズに送った。しかし、グレゴリーはニュートンの手法を単に再開発しただけだと考え、これらの級数をどのようにして得たかを述べなかった。彼が一般的な手法を理解したのは、1671 年の別の手紙の裏に走り書きした下書きを調べることによってのみであると推測される。^{[ 8 ]}${\textstyle \cos x,}$ ${\textstyle \arcsin x,}$ ${\textstyle x\cot x}$ ${\textstyle \arctan x,}$ ${\textstyle \tan x,}$ ${\textstyle \sec x,}$ ${\textstyle \ln \sec x}$ ${\displaystyle \tan }$ ${\textstyle \ln \tan {\tfrac {1}{2}}{{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi +x{\bigr )}}}$ ${\textstyle \operatorname {arcsec} {\bigl (}{\sqrt {2}}e^{x}{\bigr )},}$ ${\textstyle 2\arctan e^{x}-{\tfrac {1}{2}}\pi }$

1691年から1692年にかけて、ニュートンは未発表の著書『曲線の四角形について』の中で、テイラー級数とマクローリン級数の明確な記述を記した。これは、一般的なテイラー級数の明確な定式化としては最も初期のものであった。^{[ 9 ]}しかし、ニュートンのこの著作は未完成のままであり、1704年に『曲線の四角形について論じた』というタイトルで出版された部分からは、関連部分が省略されている。^{[ 10 ]}

1715年になってようやく、これらの級数を構成する一般的な方法がブルック・テイラーによって出版され、現在ではこの級数に名前が付けられている。^{[ 11 ]}

マクローリン級数は、18世紀半ばにテイラー結果の特殊なケースを発表したスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんで名付けられました。 ^{[ 12 ]}

解析関数

関数e ^{(−1/ x 2 )}はx = 0では解析的ではありません。関数は 0 ではありませんが、テイラー級数は 0 と同じです。

f ( x ) が複素平面（または実数直線上の区間）上のbを中心とする開円板上の収束するべき級数で与えられるとき、この領域において解析的であるという。したがって、この領域におけるxに対して、f は収束するべき級数で与えられる^{[ 13 ]}$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.}$$

上記の式をxでn回微分し、x = bとおく と 、となり、この冪級数展開はテイラー級数と一致する。したがって、関数がbを中心とする開円板上で解析的であるためには、そのテイラー級数が円板の各点における関数の値に収束する必要がある。^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n},}$$

f ( x ) が複素平面内のすべてのxについてテイラー級数の和に等しい場合、それは完全関数と呼ばれます。多項式、指数関数e ^x、三角関数の正弦と余弦は、完全関数の例です。^{[ 15 ]}完全関数でない関数の例には、平方根、対数、三角関数の正接、その逆関数のarctanなどがあります。これらの関数では、xがbから遠い場合、テイラー級数は収束しません。つまり、xとbの間の距離が収束半径よりも大きい場合、テイラー級数はxで発散します。テイラー級数を使用すると、関数の値とそのすべての導関数が単一の点でわかっている限り、すべての点で完全関数の値を計算できます。

解析関数におけるテイラー級数の用途には次のようなものがあります。

• 級数のテイラー級数の部分和（すなわちテイラー多項式）は、関数の近似として用いることができる。これらの近似は、十分な数の項が含まれている場合、良好な近似となる。
• べき級数の微分と積分は項ごとに実行できるため、特に簡単です。
• 解析関数は、複素平面上の開円板上の正則関数へと一意に拡張される。これにより、複素解析の仕組みが利用可能になる。
• （切り捨てられた）級数は、多くの場合、多項式をチェビシェフ形式に書き直し、それをクレンショウアルゴリズムで評価することによって、関数の値を数値的に計算するために使用できます。
• 代数演算は冪級数表現上で容易に行うことができます。例えば、オイラーの公式は三角関数と指数関数のテイラー級数展開から導かれます。この結果は、調和解析などの分野において根本的な重要性を持ちます。
• テイラー級数の最初のいくつかの項に基づく近似により、制限された領域では解決不可能な問題も解決可能になります。この考え方は、物理学で広く使用されている摂動論の基礎となっています。

近似誤差と収束

テイラーの定理

図は、点x = 0の周りのsin xの正確な近似です。ピンクの曲線は7次多項式です。$${\displaystyle \sin {x}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.}$$

この近似値の誤差は| x | ⁹ / 9!以下です。原点を中心とする全周期（−π < x < π）では、誤差は0.08215未満です。特に、−1 < x < 1では、誤差は0.000003未満です。

対照的に、自然対数関数ln(1 + x )と、 a = 0付近におけるそのテイラー多項式 の図も示されている。これらの近似は、 −1 < x ≤ 1の領域でのみ関数に収束する。この領域外では、高次テイラー多項式は関数の近似としてより劣る。

関数をn次のテイラー多項式で近似する際に生じる誤差は剰余と呼ばれ、関数R n ( x )で表される。_テイラーの定理は剰余の大きさの上限を求めるのに用いられる。^{[ 16 ]}

一般に、テイラー級数は収束する必要はまったくありません。実際、収束するテイラー級数を持つ関数の集合は、滑らかな関数のフレシェ空間における貧弱な集合です。関数fのテイラー級数が収束する場合でも、その極限は関数f ( x )の値に等しい必要はありません。たとえば、関数は x = 0で無限微分可能で あり、そこではすべての導関数が 0 になります。したがって、 x = 0についてのf ( x )のテイラー級数は常に 0 です。ただし、f ( x )は零関数ではないため、原点の周りのテイラー級数とは等しくありません。したがって、f ( x )は非解析的な滑らかな関数の例です。この例は、実解析には無限微分可能な関数f ( x )があり、そのテイラー級数は収束してもf ( x )と等しくないことを示しています。 ^{[ 17 ]}対照的に、複素解析で研究される正則関数は常に収束するテイラー級数を持ち、^{[ 18 ]}有理型関数のテイラー級数でさえ、特異点を持つ可能性はあるものの、関数自身とは異なる値に収束することはない。しかし、複素関数e ^{−1/ z 2 は}、 z が虚軸に沿って 0 に近づいても 0 に近づかないため、複素平面上で連続ではなく、テイラー級数は 0 で定義されない。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0\\[3mu]0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

実数列または複素数列は、より一般的には、実数直線上に定義された無限微分可能関数のテイラー級数の係数として現れる。これはボレルの補題の帰結である。結果として、テイラー級数の収束半径はゼロになり得る。実数直線上に定義された無限微分可能関数であっても、そのテイラー級数の収束半径がどこでも0となるものが存在する。^{[ 19 ]}

関数は特異点を中心とするテイラー級数として書くことができない。このような場合でも、関数は変数xの負のべき乗を許容することで級数展開として表すことができる。このような級数はローラン級数と呼ばれ、テイラー級数を一般化する。^{[ 20 ]}

一般化

テイラー級数の一般化は、(0,∞)上の任意の有界連続関数に対して関数自身の値に収束し、これは差分法を用いて行うことができる。具体的には、アイナー・ヒレによる次の定理により、任意のt > 0に対して、^{[ 21 ]} Δ$${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).}$$ ⁿ_時間は、ステップサイズhのn番目の有限差分演算子である。^{[ 22 ]}この級数は、微分の代わりに差分商が現れる点を除けば、テイラー級数と全く同じである。つまり、この級数は形式的にはニュートン級数と類似している。関数fがaで解析的である場合、級数の項はテイラー級数の項に収束し、この意味で通常のテイラー級数を一般化する。

一般に、任意の無限列a _iに対して、次のべき級数の恒等式が成り立つ: ^{[ 23 ]} 特に、 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.}$$ $${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}}{j!}}.}$$

右側の級数はf ( a + X )の期待値です。ここで、Xはポアソン分布に従う確率変数で、確率e ^{− t / h} · ⁠で値jhをとります。( t / h ) ^j/じっ！⁠ . したがって、 $${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).}$$

大数の法則は、この恒等式が成り立つことを示唆している。^{[ 23 ]}

いくつかの一般的な関数のマクローリン級数のリスト

以下にいくつかの重要なマクローリン級数展開を示す。これらの展開はすべて複素引数xに対して有効である。

指数関数

指数関数e ^x (青) と、そのテイラー級数の 0 における最初のn + 1項の合計(赤)。

指数関数 （底e）はマクローリン級数を持つ^{[ 24 ]}${\displaystyle e^{x}}$

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots .}$$ すべてのx に対して収束します。

ベル数の指数生成関数は、指数関数の前身の指数関数です。

$${\displaystyle \exp(\exp {x}-1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}$$

自然対数

自然対数（底e）はマクローリン級数を持つ^{[ 25 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}$$

最後の級数はメルカトル級数として知られ、ニコラウス・メルカトルにちなんで名付けられました（1668年に彼の論文「対数技術」で発表されたため）。^{[ 26 ]}これらの級数は両方とも で収束します。 （さらに、ln(1 − x )の級数はx = −1で収束し、ln(1 + x )の級数はx = 1で収束します。）^{[ 25 ]}${\displaystyle |x|<1}$

幾何学シリーズ

等比級数とその導関数はマクローリン級数を持つ。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}}$$

すべては について収束する。これらは、次の節で示す 二項級数の特殊なケースである。${\displaystyle |x|<1}$

二項級数

二項級数は冪級数である

$${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}$$

その係数は一般化二項係数である^{[ 27 ]}

$${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}$$

（n = 0の場合、この積は空積となり、値は 1 になります。）任意の実数または複素数αに対して収束します。 ${\displaystyle |x|<1}$

α = −1のとき、これは本質的には前節で述べた無限等比級数である。特別な場合として、α = ⁠1/2⁠およびα = − ⁠1/2⁠平方根関数とその逆関数を与える： ^{[ 28 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

線形項のみを保持すると、これは二項近似に簡略化されます。

三角関数

通常の三角関数とその逆関数には次のようなマクローリン級数がある: ^{[ 29 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}$$

すべての角度はラジアンで表されます。tan xの展開に現れる数B _kはベルヌーイ数です。sec xの展開に現れる数E _kはオイラー数です。^{[ 30 ]}

双曲線関数

双曲線関数のマクローリン級数は対応する三角関数の級数と密接に関連している：^{[ 31 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}}$$

tanh xの級数に現れる数Bk_はベルヌーイ数である。^{[ 31 ]}

多重対数関数

多重対数には次のような定義的なアイデンティティがあります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}x^{n}\\{\text{Li}}_{3}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}x^{n}\end{aligned}}}$$

ルジャンドルのカイ関数は次のように定義されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\\chi _{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$

以下に示す式は逆正接積分と呼ばれます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ti}}_{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\{\text{Ti}}_{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$

統計熱力学ではこれらの式は非常に重要です。

楕円関数

第一種 K と第二種 E の 完全楕円積分は次のように定義できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}K(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\\{\frac {2}{\pi }}E(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{(1-2n)16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\end{aligned}}}$$

ヤコビシータ関数は楕円モジュラー関数の世界を記述し、次のテイラー級数を持ちます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}\end{aligned}}}$$

通常の分割数列P(n)は次の生成関数を持ちます。

$${\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}}$$

厳密な分割数列Q(n)の生成関数は次のようになる。

$${\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}}$$

テイラー級数の計算

多数の関数のテイラー級数を計算する方法はいくつか存在する。テイラー級数の定義を利用することもできるが、そのためには係数の形を明らかなパターンに従って一般化する必要があることが多い。^{[ 32 ]}あるいは、テイラー級数がべき級数であるために、標準的なテイラー級数の代入、乗算、除算、加算、減算などの操作を用いて関数のテイラー級数を構築することもできる。場合によっては、部分積分を繰り返し適用することでテイラー級数を導出することもできる。テイラー級数の計算には、コンピュータ代数システムを使用することが特に便利である。

最初の例

関数の7次マクローリン多項式を計算するには、 まず関数を 2つの関数の合成として書き直す必要がある。自然対数のテイラー級数は（大文字のO記法を使用） であり 、余弦関数の テイラー級数は$${\displaystyle f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )},}$$ $${\displaystyle f(x)={\ln }{\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )},}$$ ${\displaystyle x\mapsto \ln(1+x)}$ ${\displaystyle x\mapsto \cos x-1.}$ $${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+O{\left(x^{4}\right)}}$$ $${\displaystyle \cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O{\left(x^{8}\right)}.}$$

第二級数の最初の数項は第一級数の各項に代入できます。第二級数の最初の項は2次なので、第一級数の3項だけで7次多項式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+O{\left((\cos x-1)^{4}\right)}\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O{\left(x^{8}\right)}.\end{aligned}}}$$

余弦は偶関数なので、すべての奇数乗の係数はゼロになります。

2番目の例

関数の0におけるテイラー級数を求めるとしよう。

$${\displaystyle g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}.}$$

指数関数のテイラー級数は

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots ,}$$

そして余弦の級数は

$${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots .}$$

それらの商の級数は

$${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots }$$

両辺に分母を掛けて級数展開すると、 ${\displaystyle \cos x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\[5mu]&=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \end{aligned}}}$$

の係数をの係数と比較すると${\displaystyle g(x)\cos x}$ ${\displaystyle e^{x},}$

$${\displaystyle c_{0}=1,\ \ c_{1}=1,\ \ c_{2}-{\tfrac {1}{2}}c_{0}={\tfrac {1}{2}},\ \ c_{3}-{\tfrac {1}{2}}c_{1}={\tfrac {1}{6}},\ \ c_{4}-{\tfrac {1}{2}}c_{2}+{\tfrac {1}{24}}c_{0}={\tfrac {1}{24}},\ \ldots .}$$

したがって、の級数の係数は一度に 1 つずつ計算することができ、 および の級数の長除算に相当します。${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle \cos x}$

$${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\tfrac {2}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{4}+\cdots .}$$

3番目の例

ここでは、「間接展開」と呼ばれる手法を用いて、与えられた関数を展開します。この手法では、指数関数の既知のテイラー展開を用います。(1 + x ) e ^{x を}xのテイラー級数として展開するために、関数e ^xの既知のテイラー級数を用います。

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots .}$$

したがって、

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n!}}+{\frac {1}{(n-1)!}}\right)x^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

多変数テイラー級数

テイラー級数は、1つ以上の変数の関数にも一般化することができる。^{[ 33 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}}$$

多変数表記法を適用すると、複数の変数に対するテイラー級数は次のように略記できる。

$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a} ),}$$

単一変数の場合と完全に類似しています。

例えば、2つの変数xとyに依存する関数の場合、点( a , b )の周りの2次のテイラー級数は ${\displaystyle f(x,y)}$

$${\displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}}$$

ここで下付き文字はそれぞれの偏導関数を表します。

多変数の2次テイラー級数

1つ以上の変数のスカラー値関数の2次テイラー級数展開は次のように簡潔に表すことができる。

$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,}$$

ここで、D f ( a )はx = aで評価されたfの勾配であり、D ² f ( a )はヘッセ行列です。

例

関数f ( x , y ) = e ^x ln(1 + y )の原点周りの2次テイラー級数近似 (オレンジ色) 。

関数の 点( a , b )=(0,0)の周りの2次テイラー級数展開を計算するには、$${\displaystyle f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),}$$

まず必要な偏微分をすべて計算します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y),&f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}},\\f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y),&f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}},\\f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}}$$

これらの導関数を原点で評価するとテイラー係数が得られる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0,&f_{y}(0,0)&=1,\\f_{xx}(0,0)&=0,&f_{yy}(0,0)&=-1,\\f_{xy}(0,0)&=1.\end{aligned}}}$$

これらの値を一般式に代入すると $${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\\&\qquad {}+{\frac {1}{2!}}\left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)\right)+\cdots \end{aligned}}}$$

生産する

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\big )}+\cdots \\&=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots \end{aligned}}}$$

ln(1 + y )は| y | < 1で解析的である ので、

$${\displaystyle e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots ,\qquad |y|<1.}$$

フーリエ級数との比較

三角フーリエ級数は、周期関数（または閉区間[ a , b ]上で定義された関数）を三角関数（正弦と余弦）の無限和として表すことを可能にします。この意味で、フーリエ級数はテイラー級数と類似しています。テイラー級数は関数をべき乗の無限和として表すことができるからです。しかしながら、この2つの級数はいくつかの重要な点で互いに異なります。

• 点x = aの周りのf ( x )のテイラー級数の有限切断はすべて、 aにおけるfと完全に等しくなります。一方、フーリエ級数は区間全体にわたって積分することで計算されるため、級数の有限切断がすべて完全に等しくなる点は一般に存在しません。
• テイラー級数の計算には、点の任意の小さな近傍における関数の知識が必要ですが、フーリエ級数の計算には、その定義域区間全体における関数の知識が必要です。ある意味では、テイラー級数は「局所的」であり、フーリエ級数は「大域的」であると言えるでしょう。
• テイラー級数は、一点において無限個の導関数を持つ関数に対して定義されますが、フーリエ級数は任意の積分可能な関数に対して定義されます。特に、関数はどこでも微分可能ではない場合があります。（例えば、f ( x )はワイエルシュトラス関数である可能性があります。）
• 両級数の収束特性は大きく異なります。テイラー級数が正の収束半径を持つ場合でも、結果として得られる級数は関数と一致しない可能性があります。しかし、関数が解析的であれば、級数は関数に点収束し、収束区間のすべてのコンパクト部分集合において一様収束します。フーリエ級数に関しては、関数が二乗可積分であれば、級数は2次平均収束しますが、点収束または一様収束を保証するには追加の要件が必要です（例えば、関数が周期的でクラスC ¹であれば、収束は一様収束します）。
• 最後に、実際には、関数を有限個の項、例えばテイラー多項式や三角級数の部分和で近似することが望まれます。テイラー級数の場合、計算点の近傍では誤差は非常に小さいですが、離れた点では非常に大きくなる可能性があります。フーリエ級数の場合、誤差は関数の定義域に沿って分布します。

参照

• 漸近展開
• ニュートン多項式
• パデ近似– 有理関数による最良近似
• ピュイズー級数 – 有理指数を持つべき級数
• 近似理論
• 関数近似

注記

1. バナー 2007年、 530ページ 。
2. Thomas & Finney 1996、§8.9を参照。
3. リンドバーグ 2007、33ページ。
4. クライン1990、35 ～37ページ 。
5. ボイヤー＆メルツバッハ 1991年、 202～203頁 。
6. ダニ 2012年。
7. グプタ2019、417–442頁 。
8. • ターンブル 1939、168～174ページ
   • ロイ 1990
   • マレット 1993
9. • エドワーズ1994、289ページ 
   • ローランズ 2017、48ページ
10. ニュートン 1761 .
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12. グロスマン 1984年、 748ページ 。
13. シルバーマン1974、139ページ 。
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17. グロスマン 1984年、 750ページ 。
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19. Rudin 1980、p. 418、演習13を参照。
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21. • フェラー 2003、p. 230–232
    • ヒル & フィリップス 1957 年、300–327 ページ
22. フェラー2003、230～232頁。
23. フェラー2003、231ページ。
24. アブラモウィッツ＆ステグン 1970年、 69ページ 。
25. • ビロドー、シー、キーオ2010、252ページ 
    • アブラモウィッツ＆ステグン1970、15ページ 
26. ホフマン 1939 .
27. アブラモウィッツ＆ステグン 1970年、 14ページ 。
28. アブラモウィッツ＆ステグン 1970年、 15ページ 。
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30. アブラモウィッツ＆ステグン 1970年、 75ページ 。
31. アブラモヴィッツ & ステガン 1970、p.  85．
32. ヴァールベリ、パーセル、リグドン、2007 年、p. 489.
33. • Hörmander 2002、式を参照。 1.1.7 および 1.1.7'
    • Kolk & Duistermaat 2010、p. 59–63

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外部リンク

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