三次元空間

3次元直交座標系の表現

幾何学において、3次元空間は、点の位置を決定するために3つの値（座標と呼ばれる）が必要となる数学的な空間です。あるいは、 3D空間、3-空間、あるいは稀に三次元空間と呼ばれることもあります。最も一般的には、3次元ユークリッド空間、つまり物理空間をモデル化する3次元ユークリッド空間を指します。より一般的な3次元空間は3次元多様体と呼ばれます。この用語は、口語的には、空間のサブセット、3次元領域（または3Dドメイン）、^{[ 1 ]}立体図形を指すこともあります。

技術的には、n個の数の組は、 n次元ユークリッド空間における位置の直交座標として理解できます。これらのn組の集合は一般に と表記され、 n次元ユークリッド空間と直交座標系によって形成される対と同一視されます。n = 3の場合、この空間は と呼ばれます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ 3次元ユークリッド空間（文脈が明らかな場合は単に「ユークリッド空間」ともいう）。^{[ 2 ]}古典物理学では、既知のすべての物質が存在する物理的宇宙のモデルとして用いられる。相対性理論を考慮すると、時空の局所部分空間とみなすことができる。^{[ 3 ]}この空間は、経験される世界をモデル化する最も説得力があり有用な方法であるが、^{[ 4 ]} 3次元多様体の一例にすぎない。この古典的な例では、3つの値が異なる方向（座標）の測定値を参照する場合、これらの方向が同一平面上にない限り、任意の3つの方向を選ぶことができる。さらに、これらの方向が互いに直交する場合、 3つの値は幅、高さ、長さという用語でラベル付けされることが多い。

歴史

哲学者アリストテレスは3つの次元の存在を認識していました。

大きさは、一方向に分割できるなら直線、二方向に分割できるなら面、三方向に分割できるなら物体である。これらを超える大きさは存在しない。なぜなら、三次元こそが存在の全てであり、三方向に分割できるものはすべての方向に分割できるからである。^{[ 5 ]}

ユークリッドの『原論』第11巻から第13巻は三次元幾何学を扱っている。第11巻では直線と平面の垂直性、平行性、直交性、角度の構成と性質、平行六面体の概念を展開する。第12巻では無限小と円の面積や角錐[ ^{6 ] 、}円錐、円筒、球^{[ 7 ]}の体積を求めるための尽きる法について論じている。第13巻では球面における5つの正プラトン立体、すなわち立方体、八面体、二十面体、十二面体の構築について述べている。^{[ 6 ]}

17世紀には、ルネ・デカルトが著書『幾何学』で展開した解析幾何学の到来により、三次元空間はデカルト座標で記述されるようになった。^{[ 8 ]}ピエール・ド・フェルマーは、フェルマーの生前には未出版だった原稿『平面と立体の場所への序論』で同様のアイデアを独自に展開した。 ^{[ 9 ]}フェルマーの曲線の極値を求める研究は、微分積分学の基礎を築くことになる。^{[ 10 ]}アイザック・ニュートンは、特定の幾何学に有用な非デカルト座標系の代替として極座標系を導入した。 ^{[ 11 ]}

18世紀には、アレクシ・クレローが空間における代数曲線、接空間と曲率の概念、およびこの目的での微積分学の使用を研究した。^{[ 12 ] [ 13 ]}レオンハルト・オイラーは曲面上の測地線の概念を研究し、最初の解析的測地線方程式を導き出し、^{[ 14 ]}後に、曲面上の最初の固有座標系を導入し、^{[ 13 ]}現代の幾何学的アイデアの基礎となっている固有幾何学の理論を開始した。1760年、オイラーは曲面上の空間曲線の曲率を主曲率で表す定理を証明した。^{[ 15 ]}これはオイラーの定理として知られる。その世紀の後半には、ガスパール・モンジュが空間における曲線と曲面の研究に重要な貢献をした。^{[ 13 ]}オイラーとモンジュの研究は微分幾何学の基礎を築いた。

19世紀、三次元空間の幾何学は、ウィリアム・ローワン・ハミルトンによる超複素数体系である四元数の開発によって発展しました。この目的のために、ハミルトンはスカラーとベクトルという用語を造語し、これらは四元数のための幾何学的枠組みの中で初めて三次元的な意味で定義されました。^{[ 16 ]}これによって三次元空間は、スカラー成分がゼロとなる四元数、すなわち によって記述できるようになりました。^{[ 17 ]}${\displaystyle q=a+ui+vj+wk}$ ${\displaystyle a=0}$

ハミルトンは明示的に研究しなかったが、この研究は間接的に基底の概念を導入した。基底はここでは四元数要素によって表され、ドット積とクロス積は2つのベクトル四元数の積のスカラー部分とベクトル部分（の負）に対応する。ジョサイア・ウィラード・ギブスによって初めてこれらの2つの積が独自に識別され、^{[ 17 ]} 、ドット積とクロス積の現代的な表記法が彼の授業ノートで導入された。これはギブスの講義に基づいてエドウィン・ビッドウェル・ウィルソンが執筆した1901年の教科書『ベクトル解析』にも見られる。^{[ 18 ]}${\displaystyle i,j,k}$

ベクトル空間の抽象的形式主義はヘルマン・グラスマンとジュゼッペ・ペアノの研究によってさらに発展し、ペアノはベクトル空間を代数構造として現代的に定義した最初の人物である。^{[ 19 ]}行列数学の発展とn次元幾何学への応用はアーサー・ケイリーによってなされた。^{[ 20 ]}

ユークリッド幾何学では

座標系

数学において、解析幾何学（デカルト幾何学とも呼ばれる）は、3次元空間のあらゆる点を3つの座標で記述する。3つの座標軸が与えられ、各軸は交点である原点において他の2つの軸と直交する。これらは通常、x、y、zと表記される。これらの軸を基準として、3次元空間の任意の点の位置は、実数の3つの組で表され、各数値は与えられた軸に沿って測定された原点からの距離を表し、その距離は他の2つの軸によって決定される平面からその点までの距離に等しい。^{[ 21 ]}

三次元空間における点の位置を記述する他の一般的な方法としては、円筒座標や球面座標などがありますが、考えられる方法は無数にあります。^{[ 22 ] [ 23 ]}詳細については、ユークリッド空間を参照してください。

下記は上記システムのイメージです。

• 
  直交座標系
• 
  円筒座標系
• 
  球座標系

線と面

2つの異なる点は常に（直線）線分を決定します。3つの異なる点は、同一線上にあるか、または唯一の平面を決定します。一方、4つの異なる点は、同一線上にあるか、同一平面上にあるか、または空間全体を決定します。^{[ 24 ]}

2本の異なる直線は、交差するか、平行になるか、斜めになるかのいずれかです。2本の平行線、または交差する2本の直線は、それぞれ異なる平面上にあります。したがって、斜めの直線とは、交わらず、共通の平面上にない直線のことです。^{[ 25 ]}

最大3つの平面間の関係。例12のみ3つの平面が交わって点を形成する。

二つの異なる平面は、共通の直線で交わるか、平行（つまり交わらない）かのいずれかである。^{[ 25 ]}三つの異なる平面は、どの平面も平行ではないが、共通の直線で交わるか、唯一の共通点で交わるか、あるいは共通点を持たないかのいずれかである。最後の場合、各平面の三つの交線は互いに平行である。^{[ 26 ]}

直線は与えられた平面上に存在したり、その平面と唯一の点で交差したり、平面に平行であったりする。^{[ 25 ]}最後のケースでは、与えられた直線に平行な直線を平面上に形成することができる。

超平面とは、全空間の次元より1次元小さい部分空間である。3次元空間の超平面は、2次元部分空間、すなわち平面である。直交座標系で考えると、超平面上の点は単一の線形方程式を満たすため、この3次元空間内の平面は線形方程式で記述される。直線は、それぞれが共通の交点を持つ平面を表す、独立した線形方程式のペアで記述することができる。^{[ 27 ]}

ヴァリニョンの定理によれば、任意の四辺形の中心点は平行四辺形を形成し、したがって同一平面上にある。^{[ 28 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

球体とボール

球面を2次元に投影した透視投影

3次元空間内の球面（2次元物体であるため2次元球面とも呼ばれる）は、中心点Pから一定の距離rにある3次元空間内のすべての点の集合から構成される。球面に囲まれた立体は球体（より正確には3次元球体）と呼ばれる。^{[ 29 ]}

ボールの体積は^{[ 30 ]} で与えられ 、球の表面積は^{[ 30 ]である。}$${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3},}$$ $${\displaystyle A=4\pi r^{2},}$$

四次元球面から別の種類の球面が生じる。その三次元面は三次元球面である。三次元球面はユークリッド空間R ⁴の原点から等距離にある点である。点の座標がP ( x , y , z , w )であるとすると、x ² + y ² + z ² + w ² = 1は、原点を中心とする単位三次元球面上の点を特徴付ける。^{[ 31 ]}

この3次元球面は3次元多様体の一例であり、局所的には3次元空間のように見える空間である。 ^{[ 32 ]}正確な位相学的用語で言えば、3次元球面の各点には3次元空間の 開集合に同相な近傍が存在する。

多面体

3次元には、9つの正多面体があります。5つの凸プラトン立体と4つの非凸ケプラー・ポアンソ多面体です。^{[ 33 ]}

3次元の正多面体

クラス	プラトン立体					ケプラー・ポアンソ多面体
対称	T d	おお​		私は
コクセターグループ	A 3 , [3,3]	B 3 , [4,3]		H 3 , [5,3]
注文	24	48		120
正多面体	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	{5/2,5}	{5.5/2}	{5/2,3}	{3.5/2}

革命の表面

平面曲線をその平面上の固定直線を軸として回転させることによって生成される面は、回転面と呼ばれます。平面曲線は、回転面の母線と呼ばれます。回転面を、軸に垂直（直交）な平面と交差させることによって作られる切断面は、円です。^{[ 34 ] [ 35 ]}

簡単な例としては、母線が直線である場合が挙げられます。母線が軸線と交差する場合、回転面は交点を頂点とする直円錐となります。しかし、母線と軸が平行である場合、回転面は円柱となります。^{[ 34 ] [ 35 ]}

二次曲面

円錐曲線と同様に、直交座標が2次の一般方程式を満たす点の集合、すなわち、 A 、 B 、 C 、 F 、 G 、 H 、 J 、 K 、 L 、 Mが実数であり、A、B、C、F、G、Hがすべて0ではない点の集合を二次曲面と呼ぶ。^{[ 36 ]}$${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,}$$

非退化二次曲面には6つの種類がある: ^{[ 36 ]}

1. 楕円
2. 一枚の双曲面
3. 2枚の双曲面
4. 楕円錐
5. 楕円放物面
6. 双曲放物面

退化した二次曲面は、空集合、一点、一直線、一平面、平面のペア、または二次円筒（平面πの非退化円錐曲線と、その円錐曲線を通るπに垂直なすべての直線R ³からなる曲面）である。^{[ 36 ]}楕円錐も退化した二次曲面であると考えられることがある。

一枚の双曲面と双曲放物面はどちらも線織面であり、直線の族から構成されます。実際には、それぞれ2つの母線族を持ち、それぞれの族の要素は互いに交わらず、一方の族の各要素は、唯一の例外を除いて、もう一方の族のすべての要素と交差します。^{[ 36 ]}それぞれの族はレグルスと呼ばれます。^{[ 37 ]}

線形代数では

線形代数学において、三次元空間の視点は独立性の概念に決定的に依存している。空間が三次元であるのは、箱の長さがその幅や奥行きに依存しないからである。線形代数学の専門用語では、空間が三次元であるのは、空間内のあらゆる点が三つの独立なベクトルの線形結合で記述できるからである。^{[ 38 ]}

内積、角度、長さ

ベクトルは矢印で表すことができます。ベクトルの大きさはその長さ、方向は矢印の向きです。ベクトルは、実数の3つの要素で表すことができます。これらの数はベクトルの 成分と呼ばれます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

2つのベクトルA = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ]とB = [ B ₁ , B ₂ , B ₃ ]のドット積は次のように定義されます。^{[ 39 ]}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}B_{i}.}$

ベクトルAの大きさは|| A ||で表されます。ベクトルA = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ]とそれ自身とのドット積は

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},}$

これにより^{[ 39 ]}

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}},}$

ベクトルの ユークリッド長さの公式。

ベクトルの成分を無視すると、2つの非ゼロユークリッドベクトルAとBのドット積は^{[ 39 ]}で与えられる。

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

ここで、 θはAとBの間の角度です。

物理的な例として、傾斜面上のブロックが重力によって下方に引っ張られている場合を考えてみましょう。ドット積は、斜面の下り方向に対して角度をなす一定の力のベクトルによって行われる仕事を 計算するために使用できます。つまり、^{[ 40 ]}${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$

${\displaystyle W=\mathbf {g} \cdot \mathbf {d} =\|\mathbf {g} \|\,\|\mathbf {d} \|\cos \theta }$

外積

外積またはベクトル積は、 3次元空間における2つのベクトルの二項演算であり、記号×で表されます。ベクトルAとベクトルBの外積A × Bは、ベクトルAとベクトルBの両方に垂直であり、したがってベクトルAとベクトルBを含む平面に垂直です。これは数学、物理学、工学において多くの応用があります。^{[ 41 ]}例えば、レンチでボルトを回す際のトルクや、磁場中を移動する電子にかかるローレンツ力を計算するために使用できます。^{[ 42 ]}

関数言語では、外積は関数である。^{[ 43 ]}${\displaystyle \times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

右手座標系に関する外積

外積の成分は であり、また、アインシュタインの和分法を用いて と書くこともできる。ここではレヴィ・チヴィタ記号である。^{[ 44 ]}は という性質を持つ。^{[ 41 ]}${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =[A_{2}B_{3}-B_{2}A_{3},A_{3}B_{1}-B_{3}A_{1},A_{1}B_{2}-B_{1}A_{2}]}$ ${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )_{i}=\varepsilon _{ijk}A_{j}B_{k}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} }$

その大きさは、と間の角度と恒等式^{[ 41 ]によって関係している。}${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|=\left\|\mathbf {A} \right\|\cdot \left\|\mathbf {B} \right\|\cdot \left|\sin \theta \right|.}$$

空間と積は体 上の代数を形成し、これは可換でも結合的でもないが、積がリー括弧であるリー代数である。 ^{[ 45 ]}具体的には、空間と積は、3次元回転のリー代数と同型であり、 と表記される。^{[ 43 ]}リー代数の公理を満たすために、積は結合性の代わりにヤコビ恒等式 を満たす。任意の3つのベクトルと^{[ 45 ]に対して}${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=0}$$

n次元では、n − 1個のベクトルの積をとることで、それらすべてに垂直なベクトルを生成できる。しかし、積をベクトルの結果となる非自明な2値積に限定すると、3次元と7次元でのみ存在する。^{[ 46 ]}

要約説明

3次元空間を実数上の3次元ベクトル空間として記述すると便利な場合がある。これは とは微妙に異なる。定義により の基底が存在する。これはとの間の同型性に対応する：^{[ 38 ]}同型性の構築はで示されている。しかし、 には「推奨される」あるいは「標準的な」基底は存在しない。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle V}$

一方、 には好ましい基底があり、これはのコピーの直積、つまり3次元ユークリッド空間として記述されることによる。 ^{[ 47 ]}これにより、 の標準射影の定義が可能になり、ここで となる。例えば、 となる。これにより、によって定義される 標準基底の定義が可能になり、 ここではクロネッカーのデルタとなる。完全に書き表すと、標準基底は^{[ 48 ]となる。}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\leq i\leq 3}$ ${\displaystyle \pi _{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Standard}}=\{E_{1},E_{2},E_{3}\}}$ $${\displaystyle \pi _{i}(E_{j})=\delta _{ij}}$$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

$${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},E_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},E_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$$

したがって、は基底の選択という付加的な構造を伴った抽象ベクトル空間として見ることができる。逆に、は直積構造、あるいはそれと同等の標準的な基底の選択から始めて「忘れる」ことによって得られる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

一般的なベクトル空間とは対照的に、この空間は座標空間と呼ばれることもある。^{[ 49 ]}${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

物理的には、特定の問題のパラメータによって構造が与えられない場合、構造を可能な限り少なく想定するために、抽象的な形式論を用いることが概念的に望ましい。例えば、回転対称性の問題では、三次元空間のより具体的な記述を扱うには、軸の集合に対応する基底の選択が前提となる。しかし、回転対称性においては、ある軸の集合が、例えば任意に回転された同じ軸の集合よりも優先される理由はない。言い換えれば、好ましい軸の選択は、物理空間の回転対称性を破る。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

計算的には、具体的な計算を行うためには、 より具体的な記述を扱う必要があります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

アフィン記述

より抽象的な記述は、物理空間を実数上の3次元アフィン空間としてモデル化することです。これはアフィン同型を除いて一意です。これは3次元ユークリッド空間と呼ばれることもあります。 ^{[ 50 ]}ベクトル空間の記述が の「優先基底を忘れる」ことから生まれたのと同様に、アフィン空間の記述はベクトル空間の「原点を忘れる」ことから生まれます。ユークリッド空間は、ユークリッドベクトル空間と区別するために、ユークリッドアフィン空間と呼ばれることもあります。^{[ 51 ]}${\displaystyle E(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

これは物理的に魅力的であり、物理空間の並進不変性を明らかにする。優先原点は並進不変性を破る。^{[ 50 ]}

内積空間

上の議論はドット積には関係しない。ドット積は内積の一例である。物理空間はベクトル空間としてモデル化することができ、これは内積の構造も持つ。内積は長さと角度の概念（したがって特に直交性の概念）を定義する。^{[ 52 ]}任意の内積に対して、その内積がドット積と一致する基底が存在するが、ここでも多くの異なる基底が存在し、どれも好ましいものではない。基底は回転群SO(3)の元である回転によって互いに異なる。

微積分学では

ベクトル解析は、主に三次元ユークリッド空間におけるベクトル場の微小変化および累積変化を扱う。微分には、del ( ) 演算子またはナブラ演算子が用いられる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \nabla }$

勾配、発散、回転

勾配は関数の最大増加方向とその大きさを示す。例えば粒子の流れでは、勾配はある位置における流れの大きさと方向を表す。^{[ 53 ]}直交座標系では、微分可能な関数の勾配は^{[ 54 ]}で与えられる。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

ここで、 i、j、kはそれぞれx軸、y軸、z軸の単位ベクトルである。指数表記では^{[ 55 ]}と表記される。

$${\displaystyle (\nabla f)_{i}=\partial _{i}f.}$$

発散は、粒子密度の増加や減少など、点の周りのベクトル場の正味のフラックスを示します。つまり、その場所がソースかシンクかを示します。^{[ 56 ]} （微分可能な）ベクトル場F = U i + V j + W k、つまり関数の発散は、スカラー値関数に等しいです。 ^{[ 54 ]}${\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.}$

指数表記法では、アインシュタインの加法規則に従って^{[ 55 ]}となる。$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\partial _{i}F_{i}.}$$

回転（あるいは回転子）は、ベクトル場の回転運動を表すベクトルである。直交座標系（球面座標と球面座標のDelを参照）で展開すると、回転∇ × Fは、 Fが[ F _x , F _y , F _z ]で構成される場合、以下の式で表される。 ^{[ 57 ]}

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

これは次のように展開される。^{[ 54 ]}

${\displaystyle \operatorname {curl} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}$

指数表記法では、アインシュタインの和の慣例に従い、これは^{[ 55 ]} で、完全に反対称な記号、レヴィ・チヴィタ記号である。 $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )_{i}=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{k},}$$ ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

線積分、面積分、体積積分

ベクトル場Fにおける曲線Cに沿った線積分の図

曲線に沿った関数の線積分は、その曲線のあらゆる微小増分に沿った関数値の連続的な和と考えることができる。あるスカラー場f  : U ⊆ R ⁿ → Rに対して、区分的に滑らかな曲線C ⊂ Uに沿った線積分は次のように定義される^{[ 58 ]}

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

ここで、 r : [a, b] → Cは曲線Cの任意の全単射（1対1対応）パラメータ化であり、r ( a ) とr ( b ) はCの端点と を与えます。 ${\displaystyle a<b}$

ベクトル場F  : U ⊆ R ⁿ → R ⁿに対して、区分的に滑らかな曲線C ⊂ Uに沿ったr方向の線積分は次のように定義される^{[ 58 ]}

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

ここでは内積であり、r : [a, b] → Cは曲線Cの全単射媒介変数化であり、r ( a ) とr ( b ) はCの端点となる。物理学における線積分のサブタイプとして平面閉ループがあり、これは関数がループの周りを循環する様子を決定する^{[ 59 ]}${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} .}$

面積分は、多重積分を面上の積分に一般化したものである。線積分の二重積分版と考えることができる。面積分を明示的に求めるには、球面上の緯度と経度のような曲線座標系をS上に考えることで、関心のある面Sをパラメータ化する必要がある。このようなパラメータ化をx ( s , t ) とすると、 ( s , t ) は平面上の領域Tで変化する。すると、面積分は次のように与えられる 。

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

ここで、右辺のバーの間の式はx ( s , t )の偏微分の外積の大きさであり、面積元と呼ばれます。S上のベクトル場v 、つまりS内の各xにベクトルv ( x ) を割り当てる関数が与えられた場合、面積分はスカラー場の面積分の定義に従って成分ごとに定義でき、結果はベクトルになります。

体積積分は、 3次元の領域または領域上の積分である。積分対象が自明（1）である場合、体積積分は単にその領域の体積となる。^{[ 60 ] [ 1 ]}また、関数のR ³の領域D内の三重積分 を意味することもあり、通常は次のように表記される。 ${\displaystyle f(x,y,z),}$

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

線積分の基本定理

線積分の基本定理によれば、勾配場を通る線積分は、曲線の端点で元のスカラー場を評価することによって評価できる。^{[ 61 ]}

しましょう。そして ${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

ストークスの定理

ストークスの定理は、ユークリッド三次元空間の曲面Σ上のベクトル場Fの回転の面積分と、その境界∂Σ上のベクトル場の線積分を関連付ける： ^{[ 62 ]}

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .}$

発散定理

Vが の部分集合（ n = 3の場合、 V は3次元空間の体積を表す）であり、コンパクトで区分的に滑らかな境界S （ ∂ V = Sとも表記）を持つと仮定する。FがVの近傍で定義された連続微分可能ベクトル場である場合、発散定理は次式を成り立つ：^{[ 63 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS.}$

左辺は体積V上の体積積分、右辺は体積Vの境界上の面積分です。閉多様体∂ V は、一般には外向きの法線によって方向付けられたVの境界であり、nは境界∂ Vの外向きの単位法線場です。（d S はn dSの略記として使用できます。）

位相幾何学において

ウィキペディアの 3D の地球儀のロゴ

三次元空間には、他の次元数の空間とは異なる位相特性がいくつかあります。例えば、紐に結び目を作るには少なくとも三次元が必要です。 ^{[ 64 ]}

微分幾何学において、一般的な3次元空間は3次元多様体であり、局所的には3次元多様体に類似している。大域的には、同じ3次元多様体でも連続性を保つ限り、様々な形で曲がることができる。^{[ 65 ]}一例として、一般相対性理論に見られる曲がった時空が挙げられる。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

有限幾何学において

次元に関する多くの考え方は有限幾何学で検証できる。最も単純な例はPG(3,2)で、これは2次元部分空間としてファノ平面を持つ。 ^{[ 66 ]}これは有限体を用いた射影幾何学の研究であるガロア幾何学の一例である。したがって、任意のガロア体GF( q )に対して、 3次元の射影空間PG(3, q )が存在する。 ^{[ 67 ]}例えば、 PG(3, q )内の任意の3本の斜め直線は、ちょうど1つのレグルスに含まれる。^{[ 68 ]}

参照

• 3D回転
  • 3次元における回転形式
• 次元解析
• 点から平面までの距離
• 4次元空間
• 斜線 § 距離
• 3次元グラフ
• 立体幾何学
• オリエンテーションの条件

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外部リンク

• ウィクショナリーの「3次元」の辞書定義
• ワイスタイン、エリック W. 「4次元幾何学」。MathWorld 。
• 初等線形代数 - 第8章：3次元幾何学クイーンズランド大学のキース・マシューズ、1991年