凸正多角形によるユークリッドタイル張り
 通常のタイリングには、 1 種類の通常の面があります。 |  半規則的または均一なタイリングでは、頂点の種類は1 つですが、面の種類は 2 つ以上あります。 |
 k均一タイリングには、k種類の頂点と 2 種類以上の通常の面が あります。 |  エッジからエッジまでではないタイリングでは、異なるサイズの通常の面を持つことができます。 |
ユークリッド平面を凸正多角形にタイル張りする手法は、古代から広く用いられてきました。最初の体系的な数学的解釈は、ケプラーの著書『世界の調和』（ラテン語：世界の調和、1619年）にありました。
ユークリッドタイルの表記
ユークリッドタイリングは、通常、カンディとロレットの表記法にちなんで名付けられます。[ 1 ]この表記法は、(i) 頂点の数、(ii) 各頂点の周りの多角形の数（時計回りに並べられている）、(iii) 各多角形の辺の数を表します。たとえば、3 6 ; 3 6 ; 3 4 .6 は、2 つの異なる頂点タイプを持つ 3 つの頂点があることを示しているため、このタイリングは「3-ユニフォーム（2 頂点タイプ）」タイリングに分類されます。分解すると、3 6 ; 3 6（どちらも異なる推移性クラス）、または (3 6 ) 2 は、6 つの正三角形（三角形）を持つ 2 つの頂点（上付き文字の 2 で示される）があることを示しています。最後の頂点 3 4 .6 では、さらに 4 つの連続した正三角形と 1 つの正六角形になります。
しかし、この表記法には、曖昧な適合性と一意性に関連する2つの主要な問題があります[ 2 ]。第一に、k-uniform tilering の場合、この表記法では頂点間の関係が説明されません。そのため、この表記法だけでは被覆平面を生成することができません。第二に、いくつかのテッセレーションは同じ命名法を使用しており、それらは非常に似ていますが、六角形の相対的な位置が異なることがわかります。したがって、2つ目の問題は、この命名法が各テッセレーションに対して一意ではないということです。
これらの問題を解決するために、ゴムジャウ・ホッグ記法[ 3 ]は、2012年に発表された、テッセレーションと二層グリッドの生成と命名法に関する研究と記法[ 2 ]を若干改良したものです。無料のオンラインアプリケーションである Antwerp v3.0 [ 4 ]は、ゴムジャウ・ホッグ記法から直接得られる一連の形状配置段階と反復的な回転および反射操作を通じて、正多角形タイリングを無限に生成することを可能にします。
通常のタイリング
GrünbaumとShephard（セクション1.3）によれば、タイリングの対称群がタイリングの旗に推移的に作用する場合、タイリングは正則であると言える。ここで旗とは、タイリングの相互に隣接する頂点、辺、タイルからなる組である。これは、旗のペアごとに、最初の旗を2番目の旗にマッピングする対称操作が存在することを意味する。これは、タイリングが合同な正多角形による辺から辺へのタイリングであることと同等である。頂点には6つの正三角形、4つの正方形、または3つの正六角形が存在し、 3つの正則なモザイク分割が生じる。
| p6m、*632 | p4m、*442 | |
|---|---|---|
 | |  |
 C&R: 3 6 GJ-H: 3/m30/r(h2) ( t = 1, e = 1) |  C&R: 6 3 GJ-H: 6/m30/r(h1) ( t = 1, e = 1) |  C&R: 4 4 GJ-H: 4/m45/r(h1) ( t = 1, e = 1) |
C&R: Cundy & Rolletの記法GJ-H: GomJau-Hoggの記法
アルキメデス、均一、または半規則的なタイリング
頂点推移性とは、すべての頂点のペアに対して、最初の頂点を2番目の頂点にマッピングする対称操作が存在することを意味します。 [ 5 ]
フラグ推移性の要件を頂点推移性の要件に緩和し、タイリングがエッジツーエッジであるという条件を維持すると、アルキメデス、ユニフォーム、または半正則タイリングと呼ばれる8つの追加のタイリングが可能になります。3 4 .6（スナブ六角形）タイリングには2つの鏡像（エナンチオモルフィックまたはキラル）形式がありますが、次の表にはそのうちの1つだけが示されていることに注意してください。その他の正則および半正則タイリングはすべてアキラルです。
| p6m、*632 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
  C&R: 3.12 2 GJ-H: 12-3/m30/r(h3) ( t = 2, e = 2) t {6,3} |   C&R: 3.4.6.4 GJ-H: 6-4-3/m30/r(c2) ( t = 3, e = 2) rr {3,6} |   C&R: 4.6.12 GJ-H: 12-6,4/m30/r(c2) ( t = 3, e = 3) tr {3,6} |   C&R: (3.6) 2 GJ-H: 6-3-6/m30/r(v4) ( t = 2, e = 1) r {6,3} | ||
 C&R: 4.8 2 GJ-H: 8-4/m90/r(h4) ( t = 2, e = 2) t {4,4} |   C&R: 3 2 .4.3.4 GJ-H: 4-3-3,4/r90/r(h2) ( t = 2, e = 2) s {4,4} |   C&R: 3 3 .4 2 GJ-H: 4-3/m90/r(h2) ( t = 2, e = 3) {3,6}: e |   C&R: 3 4 .6 GJ-H: 6-3-3/r60/r(h5) ( t = 3, e = 3) sr {3,6} | ||
C&R: カンディとロレの記法GJ-H: ゴムヤウ＝ホッグの記法 グリュンバウムとシェパードは、これらのタイリングの記述を、各頂点の周りのタイルの配置が同じであるという局所的な性質のみを指すアルキメデス的タイリングと、頂点の推移性という大域的な性質を指す一様的タイリングとに区別している。これらは平面上では同じタイリングの集合を生み出すが、他の空間では一様ではないアルキメデス的タイリングが存在する。
平面頂点タイリング
正凸多角形の組み合わせは17種類あり、21種類の平面頂点タイリングを形成します。[ 6 ] [ 7 ]これらのタイリングでは、多角形は隙間や重なりがなく、一点で交わります。頂点の数で並べると、6つの多角形を持つものが1つ、5つの多角形を持つものが3つ、4つの多角形を持つものが7つ、3つの多角形を持つものが10つあります。[ 8 ]
そのうちの3つは規則的なタイリング（6 3、4 4、3 6）を作ることができ、さらに8つは半規則的なタイリングまたはアルキメデスのタイリング（3.12.12、4.6.12、4.8.8、（3.6）2、3.4.6.4、3.3.4.3.4、3.3.3.4.4、3.3.3.3.6）を作ることができます。そのうち4つは、より高いk均一タイリング（3.3.4.12、3.4.3.12、3.3.6.6、3.4.4.6）に存在できますが、6つは、隙間や重なりのない正多角形で平面を完全にタイル張りするために使用することはできません。不規則な多角形が含まれている場合にのみ、空間を完全にテッセレーションします（3.7.42、3.8.24、3.9.18、3.10.15、4.5.20、5.5.10）。[ 9 ]
| 6 |  3 6 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 |  3.3.4.3.4 |  3.3.3.4.4 |  3.3.3.3.6 | |||||||
| 4 |  3.3.4.12 |  3.4.3.12 |  3.3.6.6 |  （3.6）2 |  3.4.4.6 |  3.4.6.4 |  4 4 | |||
| 3 |  3.7.42 |  3.8.24 |  3.9.18 |  3.10.15 |  3.12.12 |  4.5.20 |  4.6.12 |  4.8.8 |  5.5.10 |  6 3 |
k均一タイリング
このような周期的なタイリングは、頂点、辺、タイルの軌道の数によって分類できます。頂点の軌道がk個ある場合、タイリングはk-一様またはk-等角、タイルの軌道がt個ある場合、 t-等面体、辺の軌道がe個ある場合、 e-等曲面と呼ばれます。
同じ頂点図形を持つk均一タイリングは、壁紙グループの対称性によってさらに識別できます。
1-ユニフォームタイリングには、2種類以上の正多角形面を持つ3種類の正則タイリングと8種類の半正則タイリングが含まれる。2-ユニフォームタイリングは20種類、3-ユニフォームタイリングは61種類、4-ユニフォームタイリングは151種類、5-ユニフォームタイリングは332種類、6-ユニフォームタイリングは673種類存在する。それぞれは、異なる頂点図形の数mによってグループ化することができ、 m-アルキメデスタイリングとも呼ばれる。[ 10 ]
最後に、頂点の種類の数が均一性と同じ場合 (以下、 m = k )、タイリングはKrotenheerdtであると言われます。一般に、均一性は頂点の種類の数以上です ( m ≥ k )。これは、異なる種類の頂点は必然的に異なる軌道を持ちますが、その逆は当てはまらないためです。m = n = kと設定すると、 n = 1の場合はこのようなタイリングが 11 個、 n = 2の場合は 20 個、 n = 3の場合は 39 個、 n = 4の場合は 33 個、 n = 5の場合は 15 個、 n = 6の場合は 10 個、 n = 7 の場合は 7 個のタイリングがあります。
以下は 3 均一タイリングの例です。
 辺、黄色の三角形、赤い四角形（多角形） |  4面体の位置、3色の三角形（軌道別） |
| m -アルキメデス | |||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15歳以上 | 合計 | ||
| k -均一 | 1 | 11 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 11 |
| 2 | 0 | 20 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 20 | |
| 3 | 0 | 22 | 39 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 61 | |
| 4 | 0 | 33 | 85 | 33 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 151 | |
| 5 | 0 | 74 | 149 | 94 | 15 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 332 | |
| 6 | 0 | 100 | 284 | 187 | 92 | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 673 | |
| 7 | 0 | 175 | 572 | 426 | 218 | 74 | 7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1472 | |
| 8 | 0 | 298 | 1037 | 795 | 537 | 203 | 20 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2850 | |
| 9 | 0 | 424 | 1992 | 1608 | 1278 | 570 | 80 | 8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5960 | |
| 10 | 0 | 663 | 3772 | 2979 | 2745 | 1468 | 212 | 27 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 11866 | |
| 11 | 0 | 1086 | 7171 | 5798 | 5993 | 3711 | 647 | 52 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 24459 | |
| 12 | 0 | 1607 | 13762 | 11006 | 12309 | 9230 | 1736 | 129 | 15 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 49794 | |
| 13 | 0 | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 103082 | |
| 14 | 0 | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ? | |
| 15歳以上 | 0 | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | 0 | ? | |
| 合計 | 11 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | 0 | ∞ | |
2均一タイリング
ユークリッド平面には20種類の2-均一タイリング（ 2-等角タイリングまたは半正則タイリングとも呼ばれる）が存在する。 [ 5 ] : 62-67 [ 14 ] [ 15 ]それぞれに頂点タイプが列挙されている。2つのタイリングが同じ2つの頂点タイプを共有する場合、添え字1、2が付与される。
| p6m、*632 | p4m、*442 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
 [3 6 ; 3 2 .4.3.4] 3-4-3/m30/r(c3) ( t = 3, e = 3) |  [3.4.6.4; 3 2 .4.3.4] 6-4-3,3/m30/r(h1) ( t = 4, e = 4) |  [3.4.6.4; 3 3 .4 2 ] 6-4-3-3/m30/r(h5) ( t = 4, e = 4) |  [3.4.6.4; 3.4 2 .6] 6-4-3,4-6/m30/r(c4) ( t = 5, e = 5) | [4.6.12; 3.4.6.4] 12-4,6-3/m30/r(c3) ( t = 4、e = 4) |  [3 6 ; 3 2 .4.12] 12-3,4-3/m30/r(c3) ( t = 4, e = 4) |  [3.12.12; 3.4.3.12] 12-0,3,3-0,4/m45/m(h1) ( t = 3, e = 3) |
| p6m、*632 | 6ページ、632 | 6ページ、632 | cmm、2*22 | 午後、*2222 | cmm、2*22 | 午後、*2222 |
 [3 6 ; 3 2 .6 2 ] 3-6/m30/r(c2) ( t = 2, e = 3) |  [3 6 ; 3 4 .6] 1 6-3,3-3/m30/r(h1) ( t = 3, e = 3) |  [3 6 ; 3 4 .6] 2 6-3-3,3-3/r60/r(h8) ( t = 5, e = 7) |  [3 2 .6 2 ; 3 4 .6] 6-3/m90/r(h1) ( t = 2, e = 4) |  [3.6.3.6; 3 2 .6 2 ] 6-3,6/m90/r(h3) ( t = 2, e = 3) |  [3.4 2 .6; 3.6.3.6] 2 6-3,4-6-3,4-6,4/m90/r(c6) ( t = 3, e = 4) |  [3.4 2 .6; 3.6.3.6] 1 6-3,4/m90/r(h4) ( t = 4, e = 4) |
| p4g、4*2 | pgg、22× | cmm、2*22 | cmm、2*22 | 午後、*2222 | cmm、2*22 | |
 [3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 1 4-3,3-4,3/r90/m(h3) ( t = 4, e = 5) |  [3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 2 4-3,3,3-4,3/r(c2)/r(h13)/r(h45) ( t = 3, e = 6) |  [4 4 ; 3 3 .4 2 ] 1 4-3/m(h4)/m(h3)/r(h2) ( t = 2, e = 4) |  [4 4 ; 3 3 .4 2 ] 2 4-4-3-3/m90/r(h3) ( t = 3, e = 5) |  [3 6 ; 3 3 .4 2 ] 1 4-3,4-3,3/m90/r(h3) ( t = 3, e = 4) |  [3 6 ; 3 3 .4 2 ] 2 4-3-3-3/m90/r(h7)/r(h5) ( t = 4, e = 5) | |
より高いk均一タイリング
k-均一タイリングは6まで列挙されています。ユークリッド平面には6-均一タイリングが673個あります。ブライアン・ガレバッハ氏の検索では、クロテンヒールト氏による6つの異なる頂点タイプを持つ10個の6-均一タイリングのリストが再現され、さらに5種類の頂点タイプを持つものが92個、4種類の頂点タイプを持つものが187個、3種類の頂点タイプを持つものが284個、2種類の頂点タイプを持つものが100個見つかりました。
k-均一タイリングのフラクタル化
既存のk-ユニフォームタイリングから新しいk-ユニフォームタイリングを生成する方法は数多くあります。例えば、2-ユニフォーム[3.12.12; 3.4.3.12]タイリングは正方格子、4(3-1)-ユニフォーム[343.12; (3.12 2 )3]タイリングはスナブ正方格子、5(3-1-1)-ユニフォーム[334.12; 343.12; (3.12.12)3]タイリングは細長い三角形格子を持つことに注目してください。これらの高次ユニフォームタイリングは同じ格子を用いますが、より複雑です。これらのタイリングのフラクタル化基底は以下のとおりです。[ 16 ]
| 三角形 | 四角 | 六角形 | 分割された十二角形 | |
|---|---|---|---|---|
| 形 |  |  |  |  |
| フラクタル化 |  |  |  |  |
辺の長さは係数 だけ拡大されます。
これは、同様に、 の対応する拡大を伴う、切頂三角タイル張りを基底として実行できます。
| 三角形 | 四角 | 六角形 | 分割された十二角形 | |
|---|---|---|---|---|
| 形 | | | | |
| フラクタル化 |  |  |  |  |
フラクタル化の例
| 切頂六角形タイル | 切頂三角形タイル張り | |
|---|---|---|
| フラクタル化 |  |  |
端から端までではないタイリング
凸正多角形は、辺と辺が接していない平面タイリングを形成することもできます。このようなタイリングは、隣接する辺が同一直線上にある非正多角形として、辺と辺が接しているとみなすことができます。
等角図形には7つの族があり、各族は隣接するタイルの辺の重なり、または異なるタイルの辺の長さの比を決定する実数値パラメータを持つ。2つの族は、漸進的またはジグザグにシフトした正方形から生成される。グリュンバウムとシェパードはこれらのタイリングを均一と呼んでいるが、これはコクセターの均一性の定義（辺から辺までの正多角形を必要とする）と矛盾している。[ 17 ]このような等角タイリングは、実際には均一タイリングと位相的に同一であり、幾何学的比率が異なる。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|
 水平方向にオフセットされた正方形の列 |  水平方向にオフセットした三角形の列 | 正方形のタイル |  各三角形を3つの六角形が囲んでいる |  すべての六角形は 6 つの三角形で囲まれています。 |  3つのサイズの三角形 | |
| cmm (2*22) | p2 (2222) | cmm (2*22) | p4m (*442) | 6ページ（632） | 3ページ目 (333) | |
| 六角形のタイル | 正方形のタイル | 切り詰められた正方形のタイル | 切頂六角形のタイル張り | 六角形のタイル | 三角形のタイル張り | |
参照
参考文献
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外部リンク
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