翻訳（幾何学）

移動は、図形または空間のすべての点を、指定された方向に同じ量だけ移動します。

ユークリッド幾何学において、並進とは、図形、形状、または空間のあらゆる点を、与えられた方向に同じ距離だけ移動させる幾何学的変換です。並進は、あらゆる点に定数ベクトルを加えること、あるいは座標系の原点を移動させることと解釈することもできます。ユークリッド空間においては、あらゆる並進は等長変換です。

機能として

が固定ベクトル（並進ベクトルと呼ばれる）であり、が何らかのオブジェクトの初期位置である場合、並進関数はとして機能します。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

が平行移動である場合、関数による部分集合の像はによるの平行移動です。によるの平行移動は と表記されることが多いです。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$ ${\displaystyle A+\mathbf {v} }$

古典物理学への応用

古典物理学において、並進運動は回転とは対照的に、物体の位置を変える運動である。例えば、ウィテカーによれば：^{[ 1 ]}

物体をある位置から別の位置に移動する場合、物体の各点の始点と終点を結ぶ線が長さℓの平行直線の集合であり、空間における物体の向きが変わらないとき、その変位は、距離 ℓ だけ直線の方向に平行な移動と呼ばれます。

— ET Whittaker、『粒子と剛体の解析的ダイナミクスに関する論文』、p. 1

平行移動とは、物体のすべての点の位置を次の式に従って 変更する操作である。${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle (x,y,z)\to (x+\デルタ x,y+\デルタ y,z+\デルタ z)}$

ここで、は物体の各点に共通するベクトルです。物体のすべての点に共通する並進ベクトルは、物体の特定の種類の変位を表します。これは通常、回転を伴う変位（角変位）と区別するために線形変位と呼ばれます。 ${\displaystyle (\デルタ x,\ \デルタ y,\ \デルタ z)}$ ${\displaystyle (\デルタ x,\ \デルタ y,\ \デルタ z)}$

時空を考えるとき、時間座標の変化は並進運動であると考えられる。

オペレーターとして

並進演算子は、元の位置の関数 を最終位置の関数 に変換します。言い換えると、は と定義されます。この演算子は、2つの関数の関係を定義するものであり、基礎となるベクトルそのものではないため、関数よりも抽象的です。並進演算子は、量子力学の分野で研究されている 波動関数 に作用する場合など、多くの種類の関数に作用します。${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$

グループとして

すべての並進運動の集合は並進群 を形成し、これは空間自体と同型であり、ユークリッド群の正規部分群でもある。をで割った商群は、特定の原点を固定した剛体運動の群、すなわち直交群と同型である。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle E(n)}$ ${\displaystyle E(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)}$

平行移動は可換なので、平行移動群はアーベル群である。平行移動の可能な数は無限なので、平行移動群は無限群である。

相対性理論では、空間と時間を単一の時空として扱うため、並進は時間座標の変化も指すことがあります。例えば、ガリレイ群とポアンカレ群は時間に関する並進を含みます。

格子群

3次元並進群の部分群の一種に格子群がある。格子群は無限群であるが、並進群とは異なり有限生成である。つまり、有限生成集合が群全体を生成する。

行列表現

平行移動は、固定点を持たないアフィン変換です。行列の乗算は常に原点を固定点とします。しかしながら、ベクトル空間の平行移動を行列の乗算で表すために同次座標を用いる一般的な回避策があります。3次元ベクトルを4つの同次座標を用いて と書きます。^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)}$

オブジェクトをベクトル で移動するには、各同次ベクトル（同次座標で記述）に次の移動行列を掛けます。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

以下に示すように、乗算によって期待どおりの結果が得られます。

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y }\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

変換行列の逆行列は、ベクトルの方向を反転することによって取得できます（つまり、M行列です）。

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!}$

同様に、変換行列の積はベクトルを加えることによって与えられます。

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!}$

ベクトルの加算は可換であるため、変換行列の乗算も可換です (任意の行列の乗算とは異なります)。

軸の移動

幾何学的変換は、幾何学的オブジェクトの位置を変更する能動的な変換とみなされることが多いですが、座標系自体は移動させるもののオブジェクトは固定されたままの受動的な変換によっても同様の結果を得ることができます。能動的な幾何学的変換の受動的なバージョンは、軸の移動と呼ばれます。

並進対称性

並進前後で同じに見える物体は、並進対称性を持つと言われています。一般的な例としては、並進演算子の 固有関数である周期関数が挙げられます。

グラフの翻訳

グラフy = f ( x )と比較すると、グラフy = f ( x − a )は水平方向にaだけ移動していますが、グラフy = f ( x ) + bは垂直方向にbだけ移動しています。

実関数fのグラフ、つまり点の集合は、多くの場合、xを水平座標、⁠ ⁠を垂直座標として 実座標平面上に描かれます。${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle y=f(x)}$

fのグラフから水平方向の移動とは、f をある定数aに対する関数⁠ ⁠と合成し、点⁠ ⁠からなるグラフを作成する ことを意味します。元のグラフの各点は新しいグラフの点 ⁠ ⁠ に対応し、図的には水平方向の移動となります。 ${\displaystyle x\mapsto xa}$ ${\displaystyle (x,f(xa))}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x+a,y)}$

垂直移動とは、ある定数bに対して関数⁠ ⁠${\displaystyle y\mapsto y+b}$ をfと合成し、点⁠ ⁠からなるグラフを作成することです。元のグラフの各点は新しいグラフの点 ⁠ ⁠ に対応し、図的には垂直方向の移動となります。^{[ 3 ]}${\displaystyle {\bigl (}x,f(x)+b{\bigr )}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,y+b)}$

例えば、グラフが頂点⁠ ⁠を持つ放物線である二次関数⁠ ⁠${\displaystyle y=x^{2}}$ を例にとると、水平方向に 5 単位右に移動すると、頂点の座標が⁠ ⁠である新しい関数⁠ ⁠になります。垂直方向に 3 単位上に移動すると、頂点の座標が⁠ ⁠である新しい関数⁠ ⁠になります。 ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle y=(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25}$ ${\displaystyle (5,0)}$ ${\displaystyle y=x^{2}+3}$ ${\displaystyle (0,3)}$

関数の原始関数はすべて積分定数によって互いに異なり、したがって互いに垂直な平行移動である。^{[ 4 ]}

アプリケーション

船舶や航空機の力学を含む車両の力学（あるいは任意の剛体の運動）を記述するためには、6自由度からなる力学モデルを用いるのが一般的です。このモデルには、3つの基準軸に沿った並進運動（およびそれらの軸を中心とした回転運動）が含まれます。これらの並進運動は、しばしばサージ、スウェイ、ヒーブと呼ばれます。

参照

• 2Dコンピュータグラフィックス#翻訳
• 移流
• 基準の変更
• 平行輸送
• 回転行列
• スケーリング（ジオメトリ）
• 変換行列
• 並進対称性

参考文献

1. エドマンド・テイラー・ウィテカー(1988). 『粒子と剛体の解析的ダイナミクスに関する論文』（1936年第4版の再版、ウィリアム・マクリー編による序文付き）. ケンブリッジ大学出版局. p. 1. ISBN 0-521-35883-3。
2. リチャード・ポール、1981年、「ロボットマニピュレータ：数学、プログラミング、制御：ロボットマニピュレータのコンピュータ制御」、MITプレス、ケンブリッジ、マサチューセッツ州
3. Dougherty, Edward R.; Astol, Jaakko (1999), 「画像処理のための非線形フィルタ」、SPIE/IEEEシリーズ画像科学＆工学、第59巻、SPIE Press、p. 169、ISBN 9780819430335。
4. Zill, Dennis; Wright, Warren S. (2009), Single Variable Calculus: Early Transcendentals , Jones & Bartlett Learning, p. 269, ISBN 9780763749651。

さらに読む

• Zazkis, R., Liljedahl, P., Gadowsky, K. 「関数変換の概念：障害、直感、そして再ルーティング」Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450. 2014年4月29日閲覧、www.elsevier.com/locate/jmathb
• グラフの変換：水平方向の変換（2006年1月1日）。BioMath：グラフの変換。2014年4月29日閲覧。

外部リンク

• カット・ザ・ノットでの翻訳変換
• Math Is Fun の幾何学的変換（インタラクティブアニメーション）
• Roger Germundsson 著「2D 変換の理解」および「3D 変換の理解」 、 Wolfram デモンストレーション プロジェクト。