四面体数

辺の長さが5のピラミッドには35個の球が含まれています。各層は最初の5つの三角数のいずれかを表します。

四面体数（さんめいたいぞうすう）は、三角形の底面と3つの側面を持つピラミッド（四面体）を表す図形数です。n $番目$ の四面体数 $Ten$ $n$ $は、最初のn個の$ 三角数の和、つまり

Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)

四面体の数は次のとおりです。

1、4、10、20、35、56、84、120、165、220 、 … （OEISのシーケンスA000292 ）

式

$n$ 番目の四面体数の式は、 $n$ の3 番目の階乗を 3の階乗で割った値で表されます。

Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {n^{\overline {3}}}{3!}}

四面体数は二項係数として表すこともできます。

Te_{n}={\binom {n+2}{3}}.

したがって、四面体数はパスカルの三角形の左からでも右からでも 4 番目の位置に見つかります。

公式の証明

$この証明では、 n$ 番目の三角数が次のように与えられるという事実を利用している。

T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.

それは帰納法によって進みます。

ベースケース: $Te_{1}=1={\frac {1\cdot 2\cdot 3}{6}}.$

帰納的ステップ: ${\begin{aligned}Te_{n+1}\quad &=Te_{n}+T_{n+1}\\&={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&=(n+1)(n+2)\left({\frac {n}{6}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.\end{aligned}}$

この式はゴスパーのアルゴリズムによって証明することもできます。

再帰関係

四面体数と三角数は再帰式によって関係している

{\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n}&(1)\\&T_{n}=T_{n-1}+n&(2)\end{aligned}}

方程式は次のようになる $(1)$

{\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n-1}+n\end{aligned}}

式に代入する $n-1$ $n$ $(1)$

{\begin{aligned}&Te_{n-1}=Te_{n-2}+T_{n-1}\end{aligned}}

したがって、番目の四面体数は、次の再帰方程式を満たす。 $n$

{\begin{aligned}&Te_{n}=2Te_{n-1}-Te_{n-2}+n\end{aligned}}

一般化

三角数と四面体数に見られるパターンは一般化することができ、次の式が得られる：^[²^] $\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}$ $\sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}}$ $\sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}$

幾何学的解釈

正四面体数は球を積み重ねることでモデル化できます。例えば、5番目の正四面体数（ $Te 5 = 35$ ）は、35個のビリヤードボールと、15個のボールを固定する標準的な三角形のビリヤードボールフレームでモデル化できます。そして、その上にさらに10個のボールを積み重ね、さらに6個、さらに3個、そして一番上に1個のボールを置くことで、正四面体が完成します。

$10個の$ 球から構成される $n$ $次$ の四面体を単位として用いると、そのような単位による空間タイリングは $n\leq4$ $で$ ある限り最も密な球のパッキングを達成できることが示される。^[³^]

四面体根と四面体数の検定

$x$ の3 乗根と同様に、 $x$ の (実) 四面体根を、 $Te$ $n$ $=$ $x$ となる数 $n$ として定義することができます。 $n={\sqrt[{3}]{3x+{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{3x-{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}-1$

これはカルダノの公式から導かれる。同様に、 $x$ の実四面体根 $n$ が整数であれば、 $xは$ $n$ 番目の四面体数である。

プロパティ

$Ten n + Ten n -1 = 1 2 + 2 2 + 3 2 ... + n 2$ 、正方ピラミッド数。
$Te 2n+1 = 1 2 + 3 2 ... + (2n+1) 2$ 、奇数の平方の合計。
$Te 2n = 2 2 + 4 2 ... + (2n) 2$ 、偶数平方の合計。
AJ Meyl は1878 年に、次の 3 つの四面体数だけが完全な平方数でもあることを証明しました。
$テ 1 = 1 2 = 1$
$テ 2 = 2 2 = 4$
$Te 48 = 140 2 = 19600$ 。
平方数は0、1、または4（mod 8）と合同であるのと同様に、四面体数も0、1、または4（mod 5）と合同である。
フレデリック・ポロック卿は、すべての正の整数は最大 5 つの四面体数の和であると予想しました。「ポロックの四面体数予想」を参照してください。
四面体数のうち、正四角錐数でもあるのは 1 だけです (Beukers、1988)。また、四面体数のうち、完全立方体数でもあるのも1 だけです。
四面体数の逆数の無限和は⁠3/2⁠ 、これは伸縮級数を使って導くことができます:
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.$
四面体数の偶奇性は、奇数-偶数-偶数-偶数の繰り返しパターンに従います。
四面体数の観察:
$Te 5 = Te 4 + Te 3 + Te 2 + Te 1$
三角形と四面体の両方の数は、二項係数方程式を満たす必要があります。
$T_{n}={\binom {n+1}{2}}={\binom {m+2}{3}}=Te_{m}.$