トリコロール
数学の結び目理論において、結び目の三色可能性とは、特定の規則に従って結び目を3色で着色できる能力のことです。三色可能性は同位体不変量であるため、2つの異なる（同位体でない）結び目を区別するために使用できます。特に、非結び目は三色可能ではないため、三色可能な結び目は必然的に非自明です
三色化可能のルール
これらのルールでは、結び目図におけるストランドとは、1つの交差から次の交差へと続く紐の一部です。[ 1 ]結び目図の各ストランドを3色のいずれかで着色できる場合、結び目は三色化可能であり、以下のルールが適用されます。[ 2 ]
- 1. 少なくとも2色を使用し、
- 2. 各交差点では、3 本の入射ストランドがすべて同じ色か、すべて異なる色になります。
いくつかの参考文献では、代わりに3色すべてを使用する必要があると述べています。[ 3 ]結び目の場合、これは上記の定義と同じですが、リンクの場合はそうではありません。
「三葉結び目と単純な2リンク結び目は三色化可能であるが、非結び目、ホワイトヘッドリンク、8の字結び目は三色化不可能である。結び目の射影が三色化可能である場合、ライデマイスター法は結び目の三色化可能性を保存するので、結び目のすべての射影が三色化可能であるか、あるいはどれも三色化不可能であるかのどちらかである。」[ 2 ]
例
以下は、三色可能性の規則に従って結び目を 色分けする方法の例です。結び目の理論家は慣例的に、赤、緑、青の色を使用します
三色結び目の例
グラニーノットは三色に着色できます。この着色では、交差する3本のストランドがそれぞれ異なる色で表示されます。トレフォイルノットの片方だけを赤く着色しても、許容される着色となります。トゥルー・ラバーズノットも三色に着色できます。[ 4 ]
交差数が 9 未満の 3 色結び目には、 6 1、 7 4、 7 7、 8 5、 8 10、 8 11、 8 15、 8 18、 8 19、 8 20、 8 21などがあります。
3色でない結び目の例
八の字結び目は三色にできません。図示の図では、4本のストランドがあり、それぞれのストランドのペアはどこかの交差点で交わっています。もし3本のストランドが同じ色であれば、すべてのストランドが同じ色にならざるを得ません。そうでなければ、4本のストランドはそれぞれ異なる色でなければなりません。三色にできるかどうかは結び目の不変量であるため、他の図も三色にすることはできません。
同位体不変量
三色性は同位体不変量であり、周囲の同位体に関係なく一定のままである結び目またはリンクの特性です。これは、ライデマイスター移動を調べることで、テームノットに対して証明できます。各ライデマイスター移動は三色性に影響を与えずに行うことができるため、三色性はテームノットの同位体不変量です。[ 5 ]
| ライデマイスター移動 I は三色可能です。 | ライデマイスタームーブIIは三色塗り可能です。 | ライデマイスタームーブIIIは三色塗り可能です。 |
|---|---|---|
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性質
三色化可能性は2値分類（リンクは三色化できるかできないかのどちらか*）であるため、比較的弱い不変量です。三色化可能な結び目と別の結び目の合成は、常に三色化可能です。この不変量を強化する方法は、可能な3色化の数を数えることです。この場合、少なくとも2色を使用するという規則は緩和され、すべてのリンクは少なくとも3つの3色化を持ちます（すべての弧を同じ色で塗るだけです）。この場合、リンクが3色化可能であるのは、3つ以上の3色化を持つ場合です
3 色に分離可能なコンポーネントを持つ分離可能なリンクも 3 色に分離可能です。
トーラス結び目において
(m,n)で表されるトーラス結び目/リンクが三色可能である場合、任意の自然数iとjに対して、(j*m,i*n)と(i*n,j*m)も三色可能である
参照
出典
- ^ Xaoyu Qiao, EL (2015年1月20日). 「結び目理論 第2週：三色性」（PDF）第3節。 2024年3月26日時点のオリジナル（PDF）からのアーカイブ。
- ^ a bワイスタイン、エリック・W. (2010). CRC簡潔数学百科事典、第2版、p.3045. ISBN 9781420035223ワイススタイン、エリック・W. 「Tricolorable」、MathWorldより引用アクセス日: 2013年5月5日。
- ^ Gilbert, NDおよびPorter, T. (1994) Knots and Surfaces、p. 8
- ^ Bestvina, Mladen (2003年2月). 「結び目：数学サークル向けのハンドアウト」, Math.Utah.edu .
- ^アダムス、コリン (2004). 『結び目の本：結び目の数学理論への初歩的入門』プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. pp. 22– 27. ISBN 978-0-8218-3678-1. OCLC 55633800 .
さらに詳しい情報
- ワイスタイン、エリック・W. 「3色可能な結び目」MathWorldアクセス日: 2013年5月5日。
