マクローリンの三等分線

2つの回転直線の交点としてのマクローリンの三等分線

代数幾何学において、マクローリンの三等分線は、その三等分特性、つまり角度を三等分するのに使用できる性質を持つ平面三次曲線です。これは、 2本の直線がそれぞれ別々の点の周りを等速で回転し、回転速度の比が1:3で、2本の直線が当初2点間の直線と一致するような交点の軌跡として定義できます。この構成の一般化はマクローリンの等分線と呼ばれます。この曲線は、1742年にこの曲線を研究したコリン・マクローリンにちなんで名付けられました。

方程式

2本の直線を点と点を中心に回転させ、回転する直線がx軸に対して角度 を持つとき、回転する直線は角度 を持つとします。交点を とすると、2本の直線が でなす角はです。正弦定理により、 ${\displaystyle P=(0,0)}$ ${\displaystyle P_{1}=(a,0)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle 3\theta }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 2\theta }$

${\displaystyle {r\over\sin3\theta}={a\over\sin2\theta}\!}$

したがって、極座標の方程式は（並進と回転を除いて）

${\displaystyle r=a{\frac {\sin 3\theta}{\sin 2\theta}}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta}}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta).\!}$

したがって、この曲線は、de Sluzeファミリーの貝殻類に属します。

直交座標ではこの曲線の方程式は

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}).\!}$

xについて解くと、

${\displaystyle x={\frac {{\frac {1}{2}}a(3x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}}$

yについて解くと、

${\displaystyle y={\sqrt {{\frac {a(3x^{2}-y^{2})}{2x}}-x^{2}}}}$

原点を（ a 、0）に移動すると、上記と同様の導出により、極座標における曲線の方程式は次のようになる。

${\displaystyle r=2a\cos {\theta \over 3},\!}$

ループ付きのリマコンの例になります。

三等分法

角の三等分性を示すマクローリンの三等分線

角度 が与えられたとき、 から軸との角度が である直線を描きます。原点から、最初の直線が曲線と交差する点まで直線を描きます。すると、曲線の作図により、2番目の直線と 軸との間の角度は となります。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi /3}$

注目すべき点と特徴

曲線はでx切片を持ち、原点に二重点を持ちます。垂直線は で漸近線となります。曲線は で直線 x = a、つまり直角の三等分点と交差します。節点のある三次曲線であるため、種数は0です。 ${\displaystyle 3a \over 2}$ ${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$ ${\displaystyle (a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a})}$

他の曲線との関係

マクローリンの三等分線は、円錐曲線から3つの方法で定義できます。具体的には以下のとおりです。

• これは双曲線の単位円に対する逆数である

${\displaystyle 2x=a(3x^{2}-y^{2}).}$

• それは円のシソイドです

${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$

原点を基準とした線です。${\displaystyle x={a \over 2}}$

• 放物線の原点に対するペダルである

${\displaystyle y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a).}$

加えて：

• この点に関する逆はリマソン三等分線です。${\displaystyle (a,0)}$
• マクローリンの三等分線は、アフィン変換によってデカルトの葉系と関連しています。

参考文献

• J. デニス・ローレンス (1972). 『特殊平面曲線カタログ』 ドーバー出版. pp.  36, 95, 104–106 . ISBN 0-486-60288-5。
• ワイスタイン、エリック・W. 「マクローリン・トライセクトリックス」。マスワールド。
• MacTutor の有名な曲線インデックスの「マクローリンの三等分線」
• mathcurve.com のマクローリン三等分線
• 特殊平面曲線ビジュアル辞書の「マクローリンの三等分線」

外部リンク

• ロイ、ジム「角度の三等分」第6部