ユニモジュラー格子
幾何学および数学の群論において、ユニモジュラー格子（unimodular lattice）とは、行列式が1または-1である整格子である。n次元ユークリッド空間 における格子の場合、これは格子の任意の 基本領域の体積が1であることを要求するのと同値である。
定義
- 格子は対称双線型形式(·, ·)を持つ有限階数の自由アーベル群です。
- (·,·) が整数値を取る場合、格子は整数です。
- 格子の次元はその階数（Zモジュールとして）と同じです。
- 格子要素aのノルムは( a , a )である。
- すべての非ゼロ要素のノルムが正であれば、格子は正定値です。
- 格子の行列式は、グラム行列の行列式です。グラム行列は、要素( a i 、 a j ) を持つ行列で、要素a iは格子の基底を形成します。
- 積分格子は、その行列式が 1 または -1 の場合にユニモジュラです。
- ユニモジュラー格子は、すべてのノルムが偶数の場合は偶数またはタイプ IIであり、そうでない場合は奇数またはタイプ I です。
- 正定値格子の最小値は、最も低い非ゼロノルムです。
- 格子は、しばしば対称双線型形式の実ベクトル空間に埋め込まれます。格子は、そのベクトル空間が であれば、正定値、ローレンツなどとなります。
- 格子のシグネチャはベクトル空間上の形式のシグネチャです。
例
ユニモジュラー格子の最も重要な 3 つの例は次のとおりです。
プロパティ
整格子がユニモジュラ格子であるための必要十分条件は、その双対格子が整格子である場合である。ユニモジュラ格子は双対格子と等しいため、ユニモジュラ格子は自己双対とも呼ばれる。
非負整数のペア ( m , n ) が与えられたとき、シグネチャ ( m , n )の偶ユニモジュラ格子が存在するのは、 m − n が8 で割り切れる場合のみである。しかし、シグネチャ ( m , n )の奇ユニモジュラ格子は常に存在する。特に、偶ユニモジュラ定値格子は、8 で割り切れる次元にのみ存在する。すべての許容シグネチャの例は、それぞれII m,nおよびI m,n構成で示される。
ユニモジュラー正定値格子のシータ関数は、重みが階数の半分であるモジュラー形式である。格子が偶数の場合、形式はレベル1を持ち、格子が奇数の場合、形式はΓ 0 (4) 構造を持つ（すなわち、レベル4のモジュラー形式である）。モジュラー形式の空間における次元の境界により、偶数ユニモジュラー格子の非零ベクトルの最小ノルムは ⎣ n /24⎦ + 1以下となる。この境界を満たす偶数ユニモジュラー格子は極値格子と呼ばれる。極値偶数ユニモジュラー格子は、80次元までの関連次元で知られている[ 1 ]。また、 163,264次元を超える次元では存在しないことが証明されている[ 2 ] 。
分類
不定格子の場合、分類は簡単に記述できる。m + n次元ベクトル空間R m + n をR m , n と書き、( a 1 , ... , a m + n )と( b 1 , ... , b m + n )の内積 が次式で表されるものとする 。
R m , nには同型を除いて奇不定ユニモジュラー格子が1つ存在し、
- 私は、n、
これは、 R m、n内のすべてのベクトル ( a 1、...、a m + n )とすべてのa i整数によって与えられます。
不定偶ユニモジュラー格子は存在しない。
- m − nは8で割り切れる、
この場合、同型性を除いて唯一の例があり、
- II m、n。
これは、R m , nのすべてのベクトル ( a 1 ,..., a m + n )のうち、すべてのa i が整数であるか、すべて整数プラス1/2であり、それらの和が偶数であるものによって与えられます。格子II 8,0はE 8格子と同じです。
正定値ユニモジュラー格子は次元 25 まで分類されています。8 未満の各次元nには一意の例I n ,0があり、次元 8 には 2 つの例 ( I 8,0とII 8,0 ) があります。格子の数は次元 25 (ここでは 665 個) まで緩やかに増加しますが、次元 25 を超えると、スミス・ミンコフスキー・シーゲル質量式により、その数は次元とともに非常に急激に増加します。たとえば、次元 32 では 80,000,000,000,000,000 以上あります。
ある意味では、9次元までのユニモジュラー格子はE 8によって制御され、25次元まではリーチ格子によって制御されており、これがこれらの次元における異常に良好な挙動を説明しています。例えば、 25次元までのユニモジュラー格子のノルム2ベクトルのディンキン図は、リーチ格子のベクトル配置と自然に同一視できます。25次元を超えると数値が急激に増加するのは、これらの格子がもはやリーチ格子によって制御されなくなるためと考えられます。
正定値ユニモジュラー格子でさえ、8で割り切れる次元にしか存在しません。8次元には1つ（E 8格子）、16次元には2つ（E 8 2とII 16,0）、そして24次元には24のニーマイヤー格子（例：リーチ格子、II 24,0、II 16,0 + II 8,0、II 8,0 3）が存在します。24次元を超えると、その数は急速に増加し、32次元では10億を超える数になります。
根を持たないユニモジュラー格子（ノルム1または2のベクトル）は、次元29まで分類されています。23未満の次元は存在しません（ゼロ格子を除く）。次元23には1つ（短リーチ格子と呼ばれる）、次元24には2つ（リーチ格子と奇リーチ格子と呼ばれる）存在し、Bacher & Venkov (2001)は、次元25、26、27、28にはそれぞれ0、1、3、38個存在することを示しました。これを超えると、その数は急激に増加し、次元29には10092個存在します（Allombert & Chenevier 2025）。十分に高い次元では、ほとんどのユニモジュラー格子は根を持ちません。
32 次元未満で根を持たない、偶数正定値ユニモジュラー格子の唯一の非ゼロ例は、次元 24 のリーチ格子です。次元 32 では 1000 万を超える例があり、次元 32 を超えると、その数は急激に増加します。
( King 2003 )の次の表は、さまざまな次元の偶数または奇数のユニモジュラー格子の数 (または下限) を示しており、次元 24 を過ぎるとすぐに非常に急速な増加が始まることを示しています。
| 寸法 | 奇数格子 | 奇数格子には根がない | 均等格子 | 格子にも根はない |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | ||
| 2 | 1 | 0 | ||
| 3 | 1 | 0 | ||
| 4 | 1 | 0 | ||
| 5 | 1 | 0 | ||
| 6 | 1 | 0 | ||
| 7 | 1 | 0 | ||
| 8 | 1 | 0 | 1（E 8格子） | 0 |
| 9 | 2 | 0 | ||
| 10 | 2 | 0 | ||
| 11 | 2 | 0 | ||
| 12 | 3 | 0 | ||
| 13 | 3 | 0 | ||
| 14 | 4 | 0 | ||
| 15 | 5 | 0 | ||
| 16 | 6 | 0 | 2 ( E 8 2 , D 16 + ) | 0 |
| 17 | 9 | 0 | ||
| 18 | 13 | 0 | ||
| 19 | 16 | 0 | ||
| 20 | 28 | 0 | ||
| 21 | 40 | 0 | ||
| 22 | 68 | 0 | ||
| 23 | 117 | 1（短いリーチ格子） | ||
| 24 | 273 | 1（奇数リーチ格子） | 24（ニーマイヤー格子） | 1（リーチ格子） |
| 25 | 665 | 0 | ||
| 26 | 2566 (シェネヴィエ 2025 ) | 1 | ||
| 27 | 17059 (シェネヴィエ 2025 ) | 3 | ||
| 28 | 374062 (アロンベール＆シェネヴィエ 2025 ) | 38 | ||
| 29 | ≥ 37938009 | 10092 (アロンベール＆シェネヴィエ 2025 ) | ||
| 30 | ≥ 20169641025 | ≥ 82000000 | ||
| 31 | ≥ 5x10 12 | ≥ 8×10 11 | ||
| 32 | ≥ 8x10 16 | ≥ 1×10 16 | ≥ 1162109024 | ≥ 10000000 |
32 次元を超えると、その数はさらに急速に増加します。
アプリケーション
閉じた単連結な有向位相4次元多様体の第2コホモロジー群はユニモジュラー格子である。 マイケル・フリードマンは、この格子が多様体をほぼ決定することを示した。つまり、偶数ユニモジュラー格子ごとにそのような多様体が1つだけ存在し、奇数ユニモジュラー格子ごとにちょうど2つ存在する。特に、格子を0とすると、4次元位相多様体に対するポアンカレ予想が成立する。ドナルドソンの定理によれば、多様体が滑らかで格子が正定値である場合、それはZのコピーの和でなければならないため、これらの多様体のほとんどは滑らかな構造を持たない。その一例が多様体である。
参考文献
- ^ Nebe, Gabriele; Sloane, Neil. 「ユニモジュラー格子と、そのような格子の最良の表」格子のオンラインカタログ. 2015年5月30日閲覧。
- ^ Nebe, Gabriele (2013). 「Boris Venkovの格子と球面設計の理論」. Wan, Wai Kiu; Fukshansky, Lenny; Schulze-Pillot, Rainer; et al. (eds.).ディオファントス法、格子、および二次形式の算術理論. Contemporary Mathematics. Vol. 587. Providence, RI: American Mathematical Society . pp. 1– 19. arXiv : 1201.1834 . Bibcode : 2012arXiv1201.1834N . MR 3074799 .
- ローランド・バッハー。 Venkov, Boris (2001)、「Réseaux entiers unimodulaires sans racine en Dimensions 27 et 28」 [次元 27 および 28 に根のない単モジュール積分格子]、Martinet, Jacques (編)、Réseaux euclidiens、球体とモジュールの設計[ユークリッド格子、球状デザインとモジュラー形式]、Monogr.少尉。数学。 （フランス語）、vol. 37、ジュネーブ: L'Enseignement Mathématique、pp. 212–267、ISBN 2-940264-02-3, MR 1878751 , Zbl 1139.11319 , 2007年9月28日アーカイブ
- Conway, ジョンソン州; Sloane、NJA (1999)、球のパッキング、格子および群、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 290、Bannai, E. の寄稿による。ボルチャーズ、レバノン州。リーチ、J.ノートン、SP;オドリズコ、午前。パーカー、RA;クイーン、L. Venkov、BB (第 3 版)、ニューヨーク、ニューヨーク州: Springer-Verlag、ISBN 0-387-98585-9、MR 0662447、Zbl 0915.52003
- King, Oliver D. (2003)、「根を持たないユニモジュラー格子の質量公式」、Mathematics of Computation、72 (242): 839– 863、arXiv : math.NT/0012231、Bibcode : 2003MaCom..72..839K、doi : 10.1090/S0025-5718-02-01455-2、MR 1954971、S2CID 7766244、Zbl 1099.11035
- ジョン・ミルナー; Dale Husemoller (1973)、Symmetric Bilinear Forms、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、vol. 73、ニューヨーク-ハイデルベルク: Springer-Verlag、土井: 10.1007/978-3-642-88330-9、ISBN 3-540-06009-X、MR 0506372、Zbl 0292.10016
- セール、ジャン＝ピエール（1973）『算数講座』、数学大学院テキスト、第7巻、Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-4684-9884-4、ISBN 0-387-90040-3、MR 0344216、Zbl 0256.12001
- フリードマン、マイケル・H.（1982）「4次元多様体の位相」、J. Differential Geom.、17（3）：357-453、doi：10.4310/jdg/1214437136
- Allombert, Bill; Chenevier, Gaëtan (2025)、「Unimodular Hunting II」(PDF)、Forum of Mathematics、Sigma : 13:e136.、doi : 10.1017/fms.2025.10058
- シェネヴィエ、ガエタン（2025）、「ユニモジュラーハンティング」、代数幾何学
外部リンク
- Gabriele NebeとNeil Sloaneによるユニモジュラー格子のカタログ。
- OEISシーケンスA005134（n次元ユニモジュラー格子の数）
