モジュラー形式

数学において、モジュラー形式とは、複素上半平面上の正則関数であり、モジュラー群の群作用に関する関数方程式と成長条件を概ね満たす。モジュラー形式の理論は複素解析学に起源を持ち、数論と重要な関連がある。モジュラー形式は、代数的位相幾何学、球面充填、弦理論といった他の分野にも現れる。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

モジュラー形式理論は、より一般的な保型形式理論の特殊なケースである。保型形式とは、リー群上に定義され、特定の離散部分群の作用に関してきれいに変換される関数であり、モジュラー群の例を一般化したものである。すべてのモジュラー形式はガロア表現に関連付けられている。^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

モジュラー形式という用語は、体系的な記述として、通常、エーリッヒ・ヘッケに帰属する。数学の複数の分野におけるモジュラー形式の重要性は、マルティン・アイヒラーの、おそらくは作り話と思われる引用文にユーモラスに表現されている。アイヒラーは、モジュラー形式を、加算、減算、乗算、除算に続く数学における5番目の基本演算であると述べている。^{[ 2 ]}

意味

一般に、^{[ 3 ]}有限指数の部分群（算術群と呼ばれる）が与えられた場合、レベルと重みのモジュラー形式は、次の2つの条件を満たす 上半平面からの正則関数である。${\displaystyle \Gamma <{\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$

• 保型条件：任意のに対して、[^{注1 ]}および${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)}$

• 成長条件: 任意の に対して、関数はに対して有界です。${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))}$ ${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

さらに、モジュラー形式が次の成長条件を満たす場合、 そのモジュラー形式はカスプ形式と呼ばれます。

• 尖頭条件:任意の に対して、 が成り立ちます。${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0}$ ${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

は行列である ことに注意${\displaystyle \gamma }$

${\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ),}$

関数と同一視されます。関数を行列と同一視することで、関数の合成は行列の乗算と等価になります。 ${\textstyle \gamma (z)=(az+b)/(cz+d)}$

線束のセクションとして

モジュラー形式は、モジュラー多様体上の特定の直線束の切断として解釈 することもできる。レベルと重量のモジュラー形式は、${\displaystyle \Gamma <{\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f\in H^{0}(X_{\Gamma },L^{\otimes k})=M_{k}(\Gamma ),}$

モジュラー曲線上の標準直線束の平方根はどこにあるか${\displaystyle L}$

${\displaystyle X_{\Gamma }=\Gamma \backslash ({\mathcal {H}}\cup \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {Q} )).}$

これらのモジュラー形式の空間の次元はリーマン・ロッホの定理を用いて計算できる。^{[ 4 ]}の古典的なモジュラー形式は楕円曲線のモジュライスタック上の線束の切断である。 ${\displaystyle \Gamma ={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

モジュラー機能

モジュラー関数とは、モジュラー群に関して不変な関数であるが、上半平面において正則であるという条件（その他の条件の中でも）を伴わない関数である。その代わりに、モジュラー関数は有理型である。つまり、関数の極である孤立点の集合の補集合上で正則である。

SL(2, Z)のモジュラー形式

標準解像度

モジュラー群の重みのモジュラー形式${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\ ad-bc=1\right\}}$

は、次の3つの条件を満たす 上半平面上の関数です。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$

1. ${\displaystyle f}$ は上で正則です。${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
2. の任意の行列と任意の行列に対して、 ${\displaystyle z\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$

   ${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$ 。

3. ${\displaystyle f}$ は として有界です。${\displaystyle \operatorname {Im} (z)\to \infty }$

備考：

• 重みは通常、正の整数です。${\displaystyle k}$
• 奇数の場合、ゼロ関数のみが 2 番目の条件を満たすことができます。${\displaystyle k}$
• 3つ目の条件は、 が「カスプにおいて正則である」とも表現されます。この用語については後述します。明示的には、この条件は、 が存在することを意味し、つまり が何らかの水平線より上方に有界であることを意味します。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M,D>0}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)>M\implies |f(z)|<D}$ ${\displaystyle f}$
• 2番目の条件は

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

読む

${\displaystyle f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)}$

それぞれ、およびは群を生成するので、上記の2番目の条件はこれら2つの式と等しくなります。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$

• なので、モジュラー形式は周期1 の周期関数であり、フーリエ級数 を持ちます。${\displaystyle f(z+1)=f(z)}$

格子または楕円曲線による定義

モジュラー形式は、 Cの格子集合から特定の条件を満たす 複素数集合への関数Fとして定義することもできます。

1. 定数αと変数zによって生成される格子Λ = Z α + Z zを考えると、F (Λ)はzの解析関数になります。
2. αがゼロでない複素数で、α Λ がΛの各要素にαを乗じて得られる格子である場合、F ( α Λ) = α ^{− k} F (Λ)となります。ここで、kは形式の重みと呼ばれる定数 (通常は正の整数) です。
3. F (Λ)の絶対値は、Λ内の最小の非ゼロ要素の絶対値が0 から離れる方向に有界である限り、上方に有界のままです。

2 つの定義の同等性を証明するための重要な考え方は、そのような関数Fは、 2 番目の条件により、 Z + Z τ （ τ ∈ H ）の形式の格子上の値によって決定されるという点です。

例

I. エイゼンシュタインシリーズ

この観点から最も単純な例はアイゼンシュタイン級数である。 k > 2の偶数整数 k に対して、 G _k (Λ) をΛのすべての非零ベクトルλにわたるλ ^{− k}の和として定義する。

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.}$

このとき、G _kは重みkのモジュラー形式となる。Λ = Z + Z τ の とき、

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=G_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}G_{k}(\tau ),\\G_{k}(\tau +1)&=G_{k}(\tau ).\end{aligned}}}$

収束には条件k > 2が必要です。kが奇数の場合、 λ ^{− k}と(− λ ) ^{− k}の間で打ち消し合うため、そのような級数は必ずゼロになります。

II. 偶ユニモジュラー格子のシータ関数

R ⁿの偶ユニモジュラ格子Lは、行列式が 1 である行列の列を構成するn個のベクトルによって生成される格子であり、 Lの各ベクトルの長さの 2 乗が偶数であるという条件を満たす。いわゆるシータ関数は、

${\displaystyle \vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}}$

Im(z) > 0 のとき収束し、ポアソン和公式の結果として重みn /2のモジュラー形式であることが示される。偶数ユニモジュラー格子を構成するのはそれほど簡単ではないが、一つの方法がある。n を8で割り切れる整数とし、R ⁿのすべてのベクトルvについて、 2 vが整数座標を持ち、すべて偶数かすべて奇数で、 vの座標の和が偶数となるようなものを考える。この格子をL _nと呼ぶ。n = 8のとき、これはE ₈と呼ばれるルートシステムのルートによって生成される格子である。スカラー倍算を除けば重み 8 のモジュラー形式は1つしかないため、

${\displaystyle \vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),}$

格子L ₈ × L ₈とL ₁₆は相似ではないが、ジョン・ミルナーは、 R ¹⁶をこれらの2つの格子で割ることで得られる16次元トーラスは、結果として、等スペクトルだが等長ではないコンパクト・リーマン多様体の例となることを指摘した（「ドラムの形を聞く」を参照）。

III. モジュラー判別式

デデキントのイータ関数は次のように定義される。

${\displaystyle \eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.}$

ここでqはノームの平方です。すると、モジュラー判別式Δ( z ) = (2π) ¹² η ( z ) ²⁴は、重み 12 のモジュラー形式になります。24 が存在するのは、リーチ格子が 24 次元であるという事実に関係しています。ラマヌジャンの有名な予想では、Δ( z )を q のべき級数として展開すると、 任意の素数 p に対するq p^の係数の絶対値は≤ 2 p ^11/2になると主張しました。これは、ラマヌジャンの予想を導くことが示されたヴェイユ予想のデリーニュによる証明の結果として、アイヒラー、志村、久我、伊原、ピエール・ドリーニュの研究によって確認されました。

2番目と3番目の例は、モジュラー形式と整数論における古典的な問題、例えば整数の二次形式による表現や分配関数との関連性を示唆している。モジュラー形式と整数論の重要な概念的つながりはヘッケ作用素の理論によって提供されており、この理論はモジュラー形式理論と表現論とのつながりも与えている。

モジュラー関数

重みkが 0 のとき、リウヴィルの定理を用いて、モジュラー形式は定数関数のみであることが示されます。しかし、 fが正則であるという要件を緩和すると、モジュラー関数 の概念が生まれます。関数f  : H → Cは、以下の性質を満たすとき、モジュラー関数と呼ばれます。

• fは開上半平面Hにおいて有理型である
• モジュラー群Γ内のすべての整数行列 について、.${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)}$
• 2番目の条件は、fが周期的であり、したがってフーリエ級数を持つことを意味している。3番目の条件は、この級数が次の形式であるということである。

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.}$

これは、次のように (ノームの平方) で表すことが多いです。${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

これはfのq展開とも呼ばれます。係数はfのフーリエ係数と呼ばれ、数mはi ∞におけるf ‍ の極の位数と呼ばれます。この条件は「カスプにおける有理型」と呼ばれ、負のn係数のうちゼロでないものは有限個しかないため、q展開は下方に有界となり、 q = 0において有理型であることが保証されます。^{[注 2 ]}${\displaystyle a_{n}}$

モジュラー関数のより弱い定義が使われることもある。別の定義では、 fが 開上半平面において有理型であり、 有限指数のモジュラー群の部分群に関してfが不変であれば十分である。 ^{[ 5 ]}

モジュラー関数の定義を別の言い方で表現すると、楕円曲線を使うことである。すなわち、すべての格子ΛはC上の楕円曲線C /Λを決定する。2つの格子が同型楕円曲線を決定するための必要十分条件は、一方が他方から何らかの非ゼロ複素数αを乗じることによって得られる場合である。したがって、モジュラー関数は、楕円曲線の同型類の集合上の有理型関数と見なすこともできる。例えば、楕円曲線のj 不変量j ( z )は、すべての楕円曲線の集合上の関数と見なすと、モジュラー関数になる。より概念的に、モジュラー関数は、複素楕円曲線の同型類のモジュライ空間上の関数と考えることができる。

q = 0（同義でa ₀ = 0 、 z = i ∞とも言い換えられる）で消滅するモジュラー形式f ‍ は、カスプ形式（ドイツ語ではSpitzenform ）と呼ばれる。a n _≠ 0となる最小のn は、 i ∞におけるf ‍ の零点の位数である。

モジュラーユニットは、極と零点がカスプに限定されたモジュラー関数である。^{[ 6 ]}

より一般的なグループのモジュラー形式

関数方程式、すなわち に対するfの挙動は、より小さなグループ内の行列に対してのみそれを要求することによって緩和することができます。 ${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

リーマン面G \H ^∗

G を有限指数のSL(2, Z )の部分群とする。このような群GはSL(2, Z )と同じようにHに作用する。商位相空間G \ Hはハウスドルフ空間であることが示される。典型的にはコンパクトではないが、カスプと呼ばれる有限個の点を追加することでコンパクト化できる。カスプはHの境界、つまりQ ∪{∞} ^{[注 3 ]}の点であり、その点を固定するGの放物線要素(トレース±2 を持つ行列)が存在する。これにより、コンパクトな位相空間G \ H ^∗が得られる。さらに、リーマン面の構造を持たせることができ、これにより正則関数と有理型関数について話すことができる。

重要な例としては、任意の正の整数Nに対して、合同部分群のいずれか

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\end{aligned}}}$

G = Γ ₀ ( N ) またはΓ( N )の場合、空間G \ HとG \ H ^{∗はそれぞれ}Y ₀ ( N ) とX ₀ ( N ) とY ( N )、X ( N )と表されます。

G \ H ^∗の幾何学は、 Gの基本領域、すなわち H 上の G 作用の各軌道と D がちょうど1回交差し、かつ D の閉包がすべての軌道と交わるような H 上の部分集合Dを調べることで理解できる。例えば、 G \ H ∗の^種数は計算できる。^{[ 7 ]}

意味

重みkのGのモジュラー形式は、 Gのすべての行列について上記の関数方程式を満たすH上の関数であり、H上およびGのすべてのカスプにおいて正則です。また、すべてのカスプで消えるモジュラー形式は、Gのカスプ形式と呼ばれます。重みkのモジュラー形式とカスプ形式のCベクトル空間は、それぞれM _k ( G )およびS _k ( G )と表記されます。同様に、 G \ H ^∗上の有理型関数は、 Gのモジュラー関数と呼ばれます。 G = Γ ₀ ( N )の場合、これらはレベルNのモジュラー形式/カスプ形式および関数とも呼ばれます。G = Γ(1) = SL(2, Z )の場合、前述の定義が返されます。

結果

リーマン面の理論をG \ H ^∗に適用することで、モジュラー形式やモジュラー関数に関する更なる情報を得ることができる。例えば、空間M _k ( G )とS _k ( G )は有限次元であり、その次元はHへのG作用の幾何学を用いてリーマン・ロッホの定理によって計算できる。^{[ 8 ]}例えば、

${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{cases}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ここで、は床関数を表し、は偶数です。 ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ ${\displaystyle k}$

モジュラー関数はリーマン面の関数体を構成し、したがって超越次数1（ C上）の体を形成する。モジュラー関数f_{が恒等的に0でない場合、} fの零点の数は基本領域RΓの閉包におけるfの極の数に等しいことが示される。レベルN（N≥1）のモジュラー関数体は関数j ( z )とj ( Nz )によって生成されることが示される。^{[ 9 ]}

線束

この状況は、射影空間P( V )上の関数の探索で生じる状況と比較すると有益です。その設定では、理想的には、ベクトル空間V上の関数Fが、 V内のv  ≠ 0の座標で多項式であり、すべての非ゼロのcに対して方程式F ( cv ) =  F ( v ) を満たすものになります。残念ながら、そのような関数は定数だけです。分母 (多項式ではなく有理関数) を許容する場合は、F を同じ次数の 2 つの同次多項式の比とすることができます。あるいは、多項式に固執してcへの依存を緩め、 F ( cv ) =  c ^k F ( v )とすることもできます。その場合、解はk次同次多項式になります。一方で、これらは各 kに対して有限次元ベクトル空間を形成し、他方では、k を変化させると、実際には基礎となる射影空間 P( V )上の関数であるすべての有理関数を構築するための分子と分母を見つけることができます。

斉次多項式は実際にはP( V )上の関数ではないのだから、幾何学的に言えば何なのか、と疑問に思う人もいるかもしれない。代数幾何学的な答えは、それらは層（この場合は線束とも言える）の切断である、というものである。モジュラー形式の場合も全く同様である。

モジュラー形式は、楕円曲線のモジュライ空間上の線束のセクションとして、この幾何学的方向から効果的にアプローチすることもできます。

モジュラーフォームのリング

SL(2, Z )の部分群Γに対して、モジュラー形式の環はΓのモジュラー形式によって生成される次数環である。言い換えれば、M _k (Γ) が重みkのモジュラー形式の全体からなるベクトル空間である場合、 Γのモジュラー形式の環は次数環である。 ${\displaystyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )}$

SL(2, Z )の合同部分群のモジュラー形式の環は、ピエール・ドリーニュとマイケル・ラポポートの結果により有限生成である。合同部分群が非零の奇重みモジュラー形式を持つ場合、そのようなモジュラー形式の環は最大で重み6で生成され、関係は最大で重み12で生成される。非零の奇重みモジュラー形式が存在しない場合には、対応する境界は5と10である。

より一般的には、モジュラー形式の環の生成元の重みの境界と任意のフックス群との関係についての公式が存在します。

種類

新しいフォーム

新しい形式は、固定レベルのモジュラー形式^{[ 10 ]}の部分空間であり、を分割するより低いレベルのモジュラー形式からは構成できない。その他の形式は古い形式と呼ばれる。これらの古い形式は、以下の観察を用いて構成できる。 ならば、モジュラー形式を逆に包含する。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\mid N}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{1}(M)}$ ${\displaystyle M_{k}(\Gamma _{1}(M))\subseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N))}$

カスプフォーム

カスプ形式とは、フーリエ級数において定数係数がゼロとなるモジュラー形式である。この形式はすべてのカスプにおいて零となるため、カスプ形式と呼ばれる。

一般化

この古典的な用法以外にも、「モジュラー関数」という用語にはさまざまな用法があります。たとえば、ハール測度の理論では、これは共役作用によって決定される 関数Δ( g )です。

マース形式はラプラシアンの実解析的固有関数であるが、必ずしも正則である必要はない。ある種の弱マース波形の正則部分は、本質的にラマヌジャンの模擬シータ関数となる。SL (2, Z )の部分群ではない群も考慮することができる。

ヒルベルトモジュラー形式は、上半平面上の複素数であるn変数の関数であり、完全に実数体の要素を持つ2×2行列のモジュラー関係を満たします。

ジーゲルモジュラー形式は、古典モジュラー形式がSL(2, R )に関連付けられているのと同じ方法で、より大きなシンプレクティック群に関連付けられます。言い換えると、古典モジュラー形式 (この点を強調するために楕円モジュラー形式と呼ばれることもあります) が楕円曲線に関連付けられているのと同じ意味で、ジーゲルモジュラー形式はアーベル多様体に関連付けられます。

ヤコビ形式は、モジュラー形式と楕円関数の混合です。そのような関数の例としては、ヤコビのシータ関数や種数2のジーゲル・モジュラー形式のフーリエ係数など、非常に古典的なものがありますが、ヤコビ形式がモジュラー形式の通常の理論に非常に類似した算術理論を持つことが比較的最近になって発見されました。

保型形式はモジュラー形式の概念を一般リー群に拡張します。

重みkのモジュラー積分は、有理関数によって 重みkのモジュラーになることができない、無限遠で中程度に成長する上半平面上の有理型関数です。

保型因子は、モジュラー形式を定義するモジュラー性関係を一般化するために使われる 形式の関数であり、${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}}$

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).}$

この関数はモジュラー形式のネベンティプスと呼ばれる。重み1/2のモジュラー形式であるデデキントのエータ関数のような関数は、保型因子を許容することで理論に包含される可能性がある。 ${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)}$

歴史

モジュラー形式の理論は 4 つの期間にわたって発展しました。

• 楕円関数の理論に関連して、19世紀初頭に
• 19世紀末にフェリックス・クラインらによって保型形式の概念が理解されるようになると（1変数の場合）
• エーリッヒ・ヘッケ著1925年頃
• 1960 年代には、特に数論の必要性とモジュラリティ定理の定式化により、モジュラー形式が深く関わっていることが明らかになりました。

谷山と志村は、特定のモジュラー形式と楕円曲線の間に1対1の対応関係があることを発見しました。ロバート・ラングランズはこの考えを基に、数学における最も広範囲かつ影響力のある研究プログラムの一つである 拡張ラングランズ・プログラムを構築しました。

1994年、アンドリュー・ワイルズはモジュラー形式を用いてフェルマーの最終定理を証明した。2001年には、すべての楕円曲線が有理数体上でモジュラーであることが証明された。2013年には、楕円曲線が実二次体上でモジュラーであることが証明された。2023年には、楕円曲線が虚二次体の約半分上でモジュラーであることが証明された。これには、有理数と-5までの整数の平方根を組み合わせた体も含まれる。 ^{[ 1 ]}

参照

• ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明

注記

1. 一部の著者は異なる規則を使用しており、 のみに依存する追加の定数を許可しています。例えば、「DLMF: §23.15 定義 ‣ モジュラー関数 ‣ 第23章 ワイエルシュトラスの楕円関数とモジュラー関数」を参照してください。dlmf.nist.gov。2023年7月7日閲覧。${\displaystyle \gamma }$
2. 有理型関数は、そのローラン級数、すなわちq展開において、負の指数項を有限個しか持ちません。また、 q = 0において極を最大1つしか持ちませんが、 exp(1/ q )のような本質的な特異点を持つことはありません。
3. ここで、行列は∞をa / cに送ります。${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

引用

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2. Cepelewicz, Jordana (2023年9月21日). 「モジュラー形式を見よ、数学の『第五の基本演算』」 Quanta Magazine . 2025年2月25日閲覧。
3. Lan, Kai-Wen. 「保型バンドルのコホモロジー」（PDF） . 2020年8月1日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。
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参考文献

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• 数学の「第5の基本演算」であるモジュラー形式を見よ