減衰
ζ < 1の減衰不足バネ質量系

物理システムにおいて、減衰とは振動系のエネルギーが散逸によって失われることである。[ 1 ] [ 2 ]減衰は振動系の内部または振動系への影響であり、振動を低減または防止する効果を持つ。[ 3 ]減衰の例には、流体の粘性減衰（粘性抵抗を参照）、表面摩擦、放射、[ 1 ]電子振動子の抵抗、光振動子の光の吸収と散乱などがある。エネルギー損失に基づかない減衰は、生物系や自転車[ 4 ]（例：サスペンション（機械） ）で発生するような他の振動系で重要になることがある。減衰は、システムに作用する散逸力の一種である摩擦と混同してはならない。摩擦は減衰を引き起こしたり、減衰の要因になったりする。

多くのシステムは、静的平衡状態から乱されると振動的な挙動を示す。例えば、バネで吊り下げられた質量は、引っ張られて放されると上下に跳ねる。跳ねるたびに、システムは平衡状態に戻ろうとするが、行き過ぎてしまう。場合によっては、損失（例えば摩擦損失）によってシステムが減衰し、振動の振幅が徐々にゼロに近づくか、減衰することがある。

減衰比は、システムの減衰特性を表す無次元の指標の一つです。ζ （ゼータ）で表され、減衰なし（ζ = 0）、減衰不足（ζ < 1 ）、臨界減衰（ζ = 1）、過剰減衰（ζ > 1）の順に変化します。

振動系の挙動は、制御工学、化学工学、機械工学、構造工学、電気工学など、幅広い分野で関心を集めています。振動する物理量は大きく異なり、例えば風に揺れる高層ビルや電動モーターの速度などが挙げられますが、正規化、つまり無次元化されたアプローチは、挙動の一般的な側面を記述するのに便利です。

振動ケース

存在する減衰の量に応じて、システムは異なる振動動作と速度を示します。

  • バネ・質量系が完全に損失なしの場合、質量は無限に振動し、そのたびに同じ高さで跳ね返ります。この仮定的なケースは非減衰と呼ばれます。
  • 系に大きな損失がある場合、例えばバネと質量の実験を粘性流体中で行った場合、質量はオーバーシュートすることなくゆっくりと静止位置に戻る可能性があります。このようなケースは過減衰と呼ばれます。
  • 一般的に、質量は開始位置をオーバーシュートし、その後元に戻り、再びオーバーシュートする傾向があります。オーバーシュートするたびに、システム内のエネルギーの一部が消費され、振動はゼロに向かって減衰します。この状態は減衰不足と呼ばれます。
  • 過減衰と過減衰のケースの間には、システムがオーバーシュートを起こさず、振動を起こさない程度の減衰レベルが存在します。このケースは臨界減衰と呼ばれます。臨界減衰と過減衰の主な違いは、臨界減衰ではシステムが最短時間で平衡状態に戻ることです。[ 5 ]

減衰正弦波

減衰正弦波のグラフは関数y（t）＝e−tコス⁡（2πt）{\displaystyle y(t)=e^{-t}\cos(2\pi t)}

減衰正弦波または減衰正弦波は、時間の経過とともに振幅がゼロに近づく正弦関数です。これは、減衰2次システム、または減衰2次微分方程式の減衰不足の場合に対応します。 [ 6 ] 減衰正弦波は、科学技術において、調和振動子がエネルギーの供給よりも速くエネルギーを失っている場合によく見られます。時間 = 0 に始まる真の正弦波は、原点（振幅 = 0）から始まります。余弦波は、正弦波との位相差により、最大値から始まります。与えられた正弦波形は、正弦成分と余弦成分の両方を持つ中間位相の波形である場合があります。「減衰正弦波」という用語は、初期位相に関わらず、このような減衰波形すべてを表します。

最も一般的な減衰の形態は、通常想定される線形システムに見られる形態です。この形態は指数減衰であり、連続するピークの外包絡線が指数関数的な減衰曲線となります。つまり、連続する各曲線の最大点を結ぶと、結果は指数関数的な減衰関数に似たものとなります。指数減衰正弦波の一般的な方程式は、次のように表すことができます。 ここで、 y（t）＝あe−λtコス⁡（ωt−φ）{\displaystyle y(t)=Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t-\varphi )}

  • y（t）{\displaystyle y(t)}は時刻tにおける瞬間振幅である。
  • あ{\displaystyle A}エンベロープの初期振幅です。
  • λ{\displaystyle \lambda}は、独立変数tの時間単位の逆数で表される減衰率です。
  • φ{\displaystyle \varphi }t = 0における位相角です。
  • ω{\displaystyle \omega }は角周波数です。

その他の重要なパラメータは次のとおりです。

  • 周波数：単位時間あたりのサイクル数。時間の逆数、つまりヘルツで表されます。f＝ω/（2π）{\displaystyle f=\omega /(2\pi )}t−1{\displaystyle t^{-1}}
  • 時定数:振幅がe倍に減少するのにかかる時間。τ＝1/λ{\displaystyle \tau =1/\lambda }
  • 半減期とは、指数関数的な振幅エンベロープが係数 2 で減少するのにかかる時間です。これは に等しく、およそ です。ln⁡（2）/λ{\displaystyle \ln(2)/\lambda }0.693/λ{\displaystyle 0.693/\lambda }
  • 減衰比:は、周波数に対する減衰率の無次元特性であり、およそ、または正確にです。ζ{\displaystyle \zeta }ζ＝λ/ω{\displaystyle \zeta =\lambda /\omega }ζ＝λ/λ2+ω2<1{\displaystyle \zeta =\lambda /{\sqrt {\lambda ^{2}+\omega ^{2}}}<1}
  • Q 係数:減衰量を表す別の無次元特性です。Q値が高いほど、振動に対する減衰が遅いことを示します。質問＝1/（2ζ）{\displaystyle Q=1/(2\zeta )}

減衰比

減衰比の変化が 2 次システムに与える影響。

減衰比は無次元パラメータであり、通常ζ（ギリシャ文字のゼータ）[ 7 ]で表され、 2階常微分方程式における減衰の程度を特徴づける。特に制御理論の研究において重要である。また、調和振動子においても重要である。減衰比が大きいほど、システムの減衰が大きい。

  • 減衰のないシステムの減衰率は 0 です。
  • 減衰不足のシステムでは値は 1 未満になります。
  • 臨界減衰システムの減衰比は 1 です。
  • 過剰減衰システムの減衰率は 1 より大きくなります。

減衰比は、臨界減衰に対するシステム内の減衰レベルを表し、減衰係数を使用して定義できます。

ζ＝ccc＝実際の減衰臨界減衰、{\displaystyle \zeta ={\frac {c}{c_{c}}}={\frac {\text{実際の減衰}}{\text{臨界減衰}}},}

減衰比は無次元であり、同一単位の 2 つの係数の比です。

質量m、減衰係数c、バネ定数kを持つ質量バネダンパーモデルの簡単な例（ は自由度）をとると、システムの運動方程式は次のように表されます。 ×{\displaystyle x}

メートルר+c×˙+け×＝0{\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0}. [ 8 ]

対応する臨界減衰係数は次のとおりです。cc＝2けメートル{\displaystyle c_{c}=2{\sqrt {km}}}

システムの固有振動数は次のようになります。ωn＝けメートル{\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}

これらの定義を使用すると、運動方程式は次のように表すことができます。

ר+2ζωn×˙+ωn2×＝0。{\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=0.}

この方程式は、単なる質量・バネ・ダンパー系よりも一般化されており、電気回路やその他の領域にも適用できます。この方程式は、以下のアプローチで解くことができます。

×（t）＝Cest、{\displaystyle x(t)=Ce^{st},}

ここでCとsはともに複素定数であり、sは

s=−ωn(ζ±i1−ζ2).{\displaystyle s=-\omega _{n}\left(\zeta \pm i{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right).}

方程式を満たす sの 2 つの値に対する 2 つの解を組み合わせると、いくつかの領域で振動および減衰特性を持つ一般的な実数解を作成できます。

減衰振動子の位相図。減衰強度が増加していく様子を示す。減衰なしの状態から始まり、減衰不足、臨界減衰、そして過減衰へと進む。
減衰なし
は減衰のない単振動子に対応する場合であり、その場合、解は予想通り のようになります。このようなケースは自然界では非常に稀であり、最も近い例としては、摩擦が意図的に最小値にまで低減された場合が挙げられます。ζ=0{\displaystyle \zeta =0}exp⁡(iωnt){\displaystyle \exp(i\omega _{n}t)}
減衰不足
sが複素数値のペアである場合、各複素解項は減衰指数関数と のような振動部分を組み合わせたものになります。これは の場合に発生し、減衰不足（例えばバンジーケーブル）と呼ばれます。exp⁡(iωn1−ζ2t){\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)} 0≤ζ<1{\displaystyle \ 0\leq \zeta <1}
過剰減衰
sが実数値のペアである場合、解は振動のない2つの減衰指数関数の和に過ぎません。これは の場合に発生し、過減衰と呼ばれます。過減衰が実用的な状況では、オーバーシュート（通常は機械的なものではなく電気的な）が発生すると悲惨な結果を招く傾向があります。例えば、自動操縦による飛行機の着陸では、システムがオーバーシュートし、着陸装置が遅れてリリースされると、結果は悲惨なものになります。ζ>1{\displaystyle \zeta >1}
臨界減衰
が過剰減衰と不足減衰の境界にある場合、臨界減衰と呼ばれます。これは、減衰振動子の工学設計が求められる多くのケース（例えば、ドアの閉鎖機構）において望ましい結果となります。ζ=1{\displaystyle \zeta =1}

Q係数と減衰率

Q値、減衰比ζ、指数関数的減衰率αは次のように関係している[ 9 ]。

ζ=12Q=αωn.{\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{n}}.}

2次系が を持つ場合（つまり、システムが減衰不足の場合）、その系には の実部を持つ2つの複素共役極があります。つまり、減衰率パラメータは振動の指数関数的減衰率を表します。減衰率が低いということは減衰率も低いことを意味し、そのため、非常に減衰不足のシステムは長時間振動します。[ 10 ] 例えば、高品質の音叉は減衰率が非常に低いため、ハンマーで叩かれた後、非常にゆっくりと減衰し、長時間振動します。 ζ<1{\displaystyle \zeta <1}−α{\displaystyle -\alpha }

対数減少

減衰不足の振動の場合、減衰比は対数減衰率 とも関連している。2つのピークが隣接していなくても、減衰比を求めることができる。[ 11 ] 隣接するピークの場合：[ 12 ]δ{\displaystyle \delta }

ζ=δδ2+(2π)2{\displaystyle \zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}} どこδ=ln⁡x0x1{\displaystyle \delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}}

ここで、x 0とx 1は、連続する任意の 2 つのピークの振幅です。

右の図に示すように:

δ=ln⁡x1x3=ln⁡x2x4=ln⁡x1−x2x3−x4{\displaystyle \delta =\ln {\frac {x_{1}}{x_{3}}}=\ln {\frac {x_{2}}{x_{4}}}=\ln {\frac {x_{1}-x_{2}}{x_{3}-x_{4}}}}

ここで、、は 2 つの連続する正のピークの振幅であり、、は 2 つの連続する負のピークの振幅です。 x1{\displaystyle x_{1}}x3{\displaystyle x_{3}}x2{\displaystyle x_{2}}x4{\displaystyle x_{4}}

パーセンテージオーバーシュート

制御理論において、オーバーシュートとは、出力が最終的な定常値を超えることを指します。[ 13 ]ステップ入力 の場合、パーセンテージオーバーシュート（PO）は、最大値からステップ値を引いた値からステップ値で割った値です。単位ステップの場合、オーバーシュートはステップ応答の最大値から1を引いた値です。

オーバーシュート率（PO）は減衰比（ζ）と次の関係があります。

PO=100exp⁡(−ζπ1−ζ2){\displaystyle \mathrm {PO} =100\exp \left({-{\frac {\zeta \pi }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\right)}

逆に、与えられたパーセンテージのオーバーシュートを生み出す 減衰比（ζ ）は次のように表されます。

ζ=−ln⁡(PO100)π2+ln2⁡(PO100){\displaystyle \zeta ={\frac {-\ln \left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}\left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}}}}

例と応用

粘性抵抗

物体が空中を落下する場合、自由落下に抵抗する唯一の力は空気抵抗です。水や油の中を落下する物体は、より大きな速度で減速し、最終的には抗力が重力と釣り合うことで定常速度に達します。これが粘性抵抗の概念であり、例えば自動ドアやドアのバタンと閉まらないようにする装置に応用されています。[ 14 ]

電気システムの減衰

交流（AC）で動作する電気システムでは、LC共振回路を減衰させるために抵抗器が使用されます。[ 14 ]

磁気減衰

振動を引き起こす運動エネルギーは、コイルまたはアルミニウム板によって磁石の極を通過することで誘導される渦電流によって熱として放散されます。渦電流は電磁誘導の重要な要素であり、振動運動に直接反対する磁束を発生させ、抵抗力を生み出します。 [ 15 ]つまり、磁力によって生じる抵抗はシステムを減速させます。この概念の応用例として、ジェットコースターのブレーキが挙げられます。 [ 16 ]

磁気粘性減衰

磁気粘性ダンパー（MRダンパー）は、磁場を受けると粘度が変化する磁気粘性流体を使用します。この場合、磁気粘性減衰は、粘性減衰機構と磁気減衰機構の両方を備えた学際的な減衰機構と考えることができます。[ 17 ] [ 18 ]

材料の減衰

材料は、その内部の微細構造メカニズムにより、様々な程度の内部減衰特性を持っています。この特性は減衰能と呼ばれることもあります。金属では、転位の運動によって減衰能が生じます。この動画[ 19 ]で分かりやすく示されています。金属は、セラミックやガラスと同様に、非常に弱い材料減衰を持つことが知られています。対照的に、ポリマーは、ポリマー鎖間のファンデルワールス力を絶えず破壊・再形成するために必要なエネルギー損失から生じる、はるかに高い材料減衰能を持っています。熱硬化性プラスチックの架橋によりポリマー鎖の動きが少なくなり、減衰能も小さくなります。

材料の減衰は損失係数によって最もよく特徴付けられます。金属やセラミックなどの減衰が非常に小さい場合は、次の式で表されます。 η{\displaystyle \eta }

η=2ζωωn{\displaystyle \eta =2\zeta {\frac {\omega }{\omega _{n}}}}

これは、材料の減衰に寄与する多くの微細構造プロセスが粘性減衰では適切にモデル化されていないため、減衰比が周波数によって変化するためです。周波数比を係数として加えると、通常、広い周波数範囲にわたって損失係数は一定になります。

参考文献

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