半空間（幾何学）

幾何学において、半空間は、平面が三次元ユークリッド空間を分割する二つの部分のうちのいずれかである。^{[ 1 ]}空間が二次元の場合、半空間は半平面（開平面または閉平面）と呼ばれる。^{[ 2 ] [ 3 ]}一次元空間の半空間は半直線^{[ 4 ]}または半光線と呼ばれる。

より一般的には、半空間とは、超平面がn次元空間を分割する2つの部分のいずれかである。つまり、超平面に接しない点は2つの凸集合（すなわち半空間）に分割され、一方の集合の点ともう一方の集合の点を結ぶ部分空間は必ず超平面と交差する。^{[ 5 ]}

半空間は開半空間と閉半空間のいずれかである。開半空間は、アフィン空間から超平面を減算することによって生成される2つの開集合のいずれかである。閉半空間は、開半空間とそれを定義する超平面との和である。

開いた（閉じた）上半空間は、となるすべての の半空間です。開いた（閉じた）下半空間も同様に定義されますが、 は負（非正）である必要があります。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}\geq 0}$ ${\displaystyle x_{n}}$

半空間は、定義超平面を規定する線型方程式から導かれる線型不等式によって規定される。厳密な線型不等式は開半空間を規定する。 厳密でない線型不等式は閉半空間を規定する。 ここで、実数a ₁、a ₂、 ... 、a _nのすべてがゼロではないと仮定する。 $${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b.}$$ $${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\geq b.}$$

半空間は凸集合です。

参照

• 半球（幾何学）
• 象限（立体幾何学）
• 線（幾何学）
• ポアンカレ半平面モデル
• シーゲルの上部ハーフスペース
• Nef 多角形、半空間を使用した多面体の構築。

参考文献

1. 「ハーフスペース」。Merriam -Webster.com辞書。Merriam-Webster。
2. Weisstein, Eric W. 「Half-Space」 . Wolfram MathWorld . 2024年12月4日閲覧。
3. Weisstein, Eric W. 「Half-Plane」 . Wolfram MathWorld . 2024年12月4日閲覧。
4. 「ハーフライン」。Merriam -Webster.com辞書。Merriam-Webster。
5. マトウセク、ジリ;ゲルトナー、ベルント（2007 年 7 月 4 日）。線形計画法の理解と使用。スプリンガー。 p. 51.ISBN​ 978-3-540-30717-4。

外部リンク

• 「半平面」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック W. 「半空間」。MathWorld 。