ヴォーンの正体

数学と解析的数論において、ヴォーンの恒等式はRCヴォーン （1977） によって発見された恒等式であり、ヴィノグラドフの三角関数の和に関する研究を簡略化するために使用できる。これは、以下の形式の総和関数を推定するために使用できる。

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)}$

ここで、fは自然整数nの算術関数であり、その応用上の値は多くの場合 1 の累乗根であり、 Λ はフォン・マンゴルト関数です。

方法の適用手順

ヴォーンが恒等式を構築した動機については、『ダベンポート』第24章の冒頭で簡潔に論じられている。ここでは、恒等式とその応用における使用の動機となる技術的な詳細の大部分を省略し、代わりに部分的な構成のセットアップに焦点を当てる。参考文献に従い、リーマンゼータ関数の対数微分を、それぞれと の上限で切断された部分ディリクレ級数である関数で展開することにより、4つの異なる和を構成する。より正確には、 と を定義し、それによって次の恒等式が導かれる 。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F(s)=\sum _{m\leq U}\Lambda (m)m^{-s}}$ ${\displaystyle G(s)=\sum _{d\leq V}\mu (d)d^{-s}}$

${\displaystyle -{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=F(s)-\zeta (s)F(s)G(s)-\zeta ^{\prime }(s)G(s)+\left(-{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}-F(s)\right)(1-\zeta (s)G(s)).}$

この最後の展開は、次のように書けることを意味する。

${\displaystyle \Lambda (n)=a_{1}(n)+a_{2}(n)+a_{3}(n)+a_{4}(n),}$

ここで、構成要素関数は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}(n)&:={\Biggl \{}{\begin{matrix}\Lambda (n),&{\text{ if }}n\leq U;\\0,&{\text{ if }}n>U\end{matrix}}\\a_{2}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mdr=n}{\stackrel {m\leq U}{d\leq V}}}\Lambda (m)\mu (d)\\a_{3}(n)&:=\sum _{\stackrel {hd=n}{d\leq V}}\mu (d)\log(h)\\a_{4}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mk=n}{\stackrel {m>U}{k>1}}}\Lambda (m)\left(\sum _{\stackrel {d|k}{d\leq V}}\mu (d)\right).\end{aligned}}}$

次に、対応する要約関数を次のよう に定義する。${\displaystyle 1\leq i\leq 4}$

${\displaystyle S_{i}(N):=\sum _{n\leq N}f(n)a_{i}(n),}$

書けるように

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)=S_{1}(N)+S_{2}(N)+S_{3}(N)+S_{4}(N)。}$

最後に、これらの合計についての技術的かつ時には繊細な推定に関する複数ページにわたる議論の結論として、^{[ 1 ]、、}およびを仮定すると、次の形式のヴォーンの恒等式が得られます。 ${\displaystyle |f(n)|\leq 1,\ \forall n}$ ${\displaystyle U,V\geq 2}$ ${\displaystyle UV\leq N}$

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)\ll U+(\log N)\times \sum _{t\leq UV}\left(\max _{w}\left|\sum _{w\leq r\leq {\frac {N}{t}}}f(rt)\right|\right)+{\sqrt {N}}(\log N)^{3}\times \max _{U\leq M\leq N/V}\max _{V\leq j\leq N/M}\left(\sum _{V<k\leq N/M}\left|\sum _{\stackrel {M<m\leq 2M}{\stackrel {m\leq N/k}{m\leq N/j}}}f(mj){\bar {f(mk)}}\right|\right)^{1/2}\mathbf {(V1)} .}$

ヴォーンの恒等式から、成分和をより注意深く扱い、次のように展開することで、より 正確な推定値が得られる場合があることに注意する必要がある。${\displaystyle S_{2}}$

${\displaystyle S_{2}=\sum _{t\leq UV}\longmapsto \sum _{t\leq U}+\sum _{U<t\leq UV}=:S_{2}^{\prime }+S_{2}^{\prime \prime }.}$

ヴォーン恒等式を適用して得られる上限の最適性は、最適な関数に関して応用に依存するようであり、式(V1)に入力する値を選択することができる。複数の著者がそれぞれ検討した異なる文脈で生じる具体的な例については、次の節で引用する応用例を参照のこと。 ${\displaystyle U=f_{U}(N)}$ ${\displaystyle V=f_{V}(N)}$

アプリケーション

• ヴォーンの恒等式は、ボンビエリ-ヴィノグラドフの定理の証明を簡素化し、クンマー和を研究するために使用されています(以下の参考文献と外部リンクを参照)。
• ダベンポートの第25章では、ヴォーンの恒等式の応用として、ヴィノグラドフの重要な素数関連の指数和を推定することが挙げられます。

${\displaystyle S(\alpha ):=\sum _{n\leq N}\Lambda (n)e\left(n\alpha \right).}$

特に、これらの和（典型的には無理数 で評価される）の漸近的上界が得られ、その有理近似は ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {a}{q}}\right|\leq {\frac {1}{q^{2}}},(a,q)=1,}$

フォームの

${\displaystyle S(\alpha )\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log N)^{4}.}$

この推定の根拠は、ヴォーンの同一性から、やや複雑な議論によって証明される。

${\displaystyle S(\alpha )\ll \left(UV+q+{\frac {N}{\sqrt {U}}}+{\frac {N}{\sqrt {V}}}+{\frac {N}{\sqrt {q}}}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log(qN))^{4},}$

そして、および の非自明なケースにおいて、上記の最初の式を導き出します。 ${\displaystyle q\leq N}$ ${\displaystyle U=V=N^{2/5}}$

• ヴォーンの等式の別の応用例は、ダベンポートの第 26 章に記載されており、この方法で3 つの素数の和 (指数和) の推定値を導き出しています。
• ヴォーンのアイデンティティの実践例は、この有益な投稿の以下の参考文献/引用として示されています。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

一般化

ヴォーンの恒等式はヒース・ブラウン（1982）によって一般化された。

注記

1. 注: Davenport を頻繁に読むと、Vaughan の身元を慎重に証明するための完全な詳細の難しさのレベルに関する明白な特性を結論づけることができます。
2. Tao, T. (2012). 「1より大きいすべての整数は、最大で5個の素数の和である」. arXiv : 1201.6656 [ math.NT ].
3. Conrey, JB (1989). 「リーマンゼータ関数の零点の5分の2以上が臨界線上にある」. J. Reine Angew. Math . 399 : 1–26 .
4. HL MontgomeryとRC Vaughan (1981). 「平方自由数の分布について」.解析的数論の最近の進歩, H. Halberstam (編), C. Hooley (編) . 1 : 247–256 .
5. DR Heath-BrownとSJ Patterson (1979). 「素引数におけるクンマー和の分布」. J. Reine Angew. Math . 310 : 110–130 .

参考文献

• ダヴェンポート、ハロルド（2000年10月31日）『乗法数論』（第3版）ニューヨーク：Springer Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-95097-4。
• グラハム、SW (2001) [1994]、「ヴォーンの恒等式」、数学百科事典、EMSプレス
• ヒース・ブラウン, DR (1982)、「短区間の素数と一般化されたヴォーン恒等式」、Can. J. Math.、34 (6): 1365– 1377、doi : 10.4153/CJM-1982-095-9、MR  0678676
• Vaughan、RC (1977)、「Sommes trigonométriques sur les nombres premiers」、科学アカデミー コンプト レンデュス、シリーズ A、285 : 981–983、MR  0498434

外部リンク

• ヴォーンの同一性に関する証明Wiki
• ジョニの数学ノート（非常に詳細な解説）
• 数学百科事典
• テリー・タオの「大きなふるい」とボンビエリ・ヴィノグラドフの定理に関するブログ