豊富なラインバンドル

数学において、代数幾何学の特徴的な点は、射影多様体上の一部の直線束は「正」とみなせるのに対し、他の一部の直線束は「負」（あるいはその両方）とみなせるという点です。最も重要な正性概念は、豊富な直線束の概念ですが、関連する直線束のクラスはいくつか存在します。大まかに言えば、直線束の正性特性は、多くの大域切断を持つことと関連しています。与えられた多様体上の豊富な直線束を理解することは、射影空間への写像のさまざまな方法を理解することに等しいです。直線束と因子（余次元-1の部分多様体から構築）との対応関係を考慮すると、豊富な因子という同等の概念が存在します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

より詳細に言うと、直線束が基点なしであるとは、射影空間への射影を与えるのに十分な切断を持つ場合です。直線束が半豊富であるとは、その正の冪が基点なしであることを意味します。半豊富性は「非負性」の一種です。より厳密に言えば、完備多様体上の直線束が極めて豊富であるとは、その直線束が射影空間への閉じた浸漬（または「埋め込み」）を与えるのに十分な切断を持つ場合です。直線束が豊富であるとは、ある正の冪が非常に豊富であることを意味します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

射影多様体上の十分な直線束は、内のすべての曲線において正の次数を持つ。逆は完全には真ではないが、その修正版として、ナカイ・モイシェゾン基準とクライマン基準と呼ばれる十分性に関する基準が存在する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

導入

直線束の引き戻しと超平面因子

スキームの射影が与えられたとき、ベクトル束（またはより一般的には上の連接層）は への引き戻しを持ちます。ここで、射影は最初の座標への射影です（モジュールの層#演算 を参照）。ベクトル束の引き戻しは、同じ階数のベクトル束です。特に、直線束の引き戻しは直線束です。（簡単に言うと、ある点における のファイバーは、におけるのファイバーです。） ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle p\colon E\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{*}E=\{(x,e)\in X\times E,\;f(x)=p(e)\}}$ ${\displaystyle p'\colon f^{*}E\to X}$ ${\displaystyle f^{*}E}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f(x)\in Y}$

この記事で説明する概念は、射影空間への射影の場合のこの構成に関連している。

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n},}$

射影空間上の直線束は、その大域断面が変数 における 1 次同次多項式（つまり線形関数）である。直線束は、の超平面に関連付けられた直線束としても記述できる（ の切断の零点集合が超平面であるため）。例えば が閉じた浸漬である場合、プルバックは上の直線束であり、超平面切断（と の超平面の交差）に関連付けられている。 ${\displaystyle E={\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle x_{0},\ldots,x_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}O(1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

基点フリー線束

を体（例えば代数多様体）上の直線束 を持つスキームとする。（直線束は可逆層とも呼ばれる。）を の大域切断の-ベクトル空間の元とする。各切断の零点集合は の閉部分集合である。を の少なくとも1つが零でない点の開部分集合とする。すると、これらの切断は射を定義する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle a_{0},...,a_{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {P} _{k}^{n},\ x\mapsto [a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)].}$

より詳しく述べると、の各点に対して、上の のファイバーは留数体上の1次元ベクトル空間である。このファイバーの基底を選択すると、 は数列（すべてがゼロではない）となり、したがって射影空間の点となる。基底の選択を変えると、すべての数は同じ非ゼロの定数でスケーリングされるため、射影空間の点は基底の選択に依存しない。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k(x)}$ ${\displaystyle a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)}$ ${\displaystyle n+1}$

さらに、この射はへの制限が引き戻し と同型であるという性質を持つ。^{[ 1 ]}${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$

スキーム上の直線束の基底軌跡は、 のすべての大域切断の零点集合の交点である。直線束は、その基底軌跡が空である場合に基底点なしと呼ばれる。つまり、のすべての点に対して、 において零でない の大域切断が存在する。が体 上で適切である場合、大域切断のベクトル空間は有限次元を持ち、その次元は と呼ばれる。^{[ 2 ]}したがって、基底点なしの直線束は上の射を決定する。ここで、 は の基底を選択することによって与えられる。選択を行わない場合、これは射として記述できる。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} (H^{0}(X,L))}$

から の超平面空間への射で、基底点自由直線束 に標準的に関連付けられている。この射は、引き戻しという性質を持つ。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$

逆に、スキームから上の射影空間への任意の射影に対して、引き戻し直線束は基底点フリーである。実際、は 上で基底点フリーである。なぜなら、内の任意の点に対してを含まない超平面が存在するからである。したがって、内の任意の点に対して、上で がゼロでない切断が存在し、 の引き戻しはが でゼロでないの大域切断である。つまり、基底点フリー直線束とは、 の引き戻しを射影空間への何らかの射影によって 表現できるものとまったく同じである。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Nef、グローバル生成、半豊富

k上の適切な曲線C上の直線束Lの次数は、 Lの任意の非零有理切断sの因子 ( s ) の次数として定義されます。この因子の係数は、s が消える点で正になり、sに極がある点で負になります。したがって、曲線C上の任意の直線束L は次数が非負になります (有理切断とは対照的に、 C上のLの切断には極がないため)。^{[ 3 ]}特に、曲線上のすべての基点フリーの直線束は次数が非負になります。結果として、体上の任意の適切なスキームX上の基点フリーの直線束L はnefであり、これは、L がXのすべての (既約) 曲線上で非負の次数を持つことを意味します。^{[ 4 ]}${\displaystyle H^{0}(C,L)\neq 0}$

より一般的には、スキームX上の-加群の層Fが大域的に生成されるとは、大域的切断の集合Iが存在し、それに対応する射が ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle s_{i}\in H^{0}(X,F)}$

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O_{X}\to F}$

層の射影は射影的である。^{[ 5 ]}線束が大域的に生成されるのは、それが基点を持たない 場合のみである。

例えば、アフィンスキーム上のすべての準コヒーレント層は大域的に生成される。^{[ 6 ]}同様に、複素幾何学では、カルタンの定理Aは、スタイン多様体上のすべてのコヒーレント層は大域的に生成されるということを述べている。

体上の適切なスキーム上の直線束L が半豊富であるとは、テンソル冪が基点フリーとなるような正の整数rが存在するときである。半豊富直線束は nef である（基点フリー直線束の対応する事実より）。^{[ 7 ]}${\displaystyle L^{\otimes r}}$

非常に豊富なラインバンドル

体上の適切なスキーム上の直線束は、それが基底点フリーで あり、関連する射が${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} _{k}^{n}}$

は浸漬である。ここで。同様に、を 上のある次元の射影空間にのように埋め込むことができ、が への直線束の制限となる場合、 は非常に豊富である。^{[ 8 ]}後者の定義は、任意の可換環上の適切なスキーム上の直線束の非常に豊富性を定義するために使用される。^{[ 9 ]}${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle X}$

「非常に十分な」という名称は1961年にアレクサンダー・グロタンディークによって導入された。 ^{[ 10 ]}線型因子システムの文脈ではそれ以前にも様々な名称が使われていた。

関連する射影を持つ体上の適切なスキーム上の非常に豊富な直線束に対して、 の曲線上のの次数はの曲線としての の次数である。したがって、のすべての曲線上で は正の次数を持つ（射影空間のすべての部分多様体は正の次数を持つため）。^{[ 11 ]}${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$

定義

準コンパクトスキーム上の十分な可逆層

十分な直線束は適切なスキームで最もよく使用されますが、より広い一般性で定義できます。

X をスキームとし、 をX上の可逆層とする。各 について、 をxのみでサポートされる被縮部分スキームのイデアル層とする。 について、 を定義する 。 同様に、をxにおける留数体（ xでサポートされるスカイスクレイパー層とみなす）とすると、 は テンソル積における sの像となる 。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$ $${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon s_{x}\not \in {\mathfrak {m}}_{x}{\mathcal {L}}_{x}\}.}$$ ${\displaystyle \kappa (x)}$ $${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon {\bar {s}}_{x}\neq 0\in \kappa (x)\otimes {\mathcal {L}}_{x}\},}$$ ${\displaystyle {\bar {s}}_{x}}$

を固定する。任意のsに対して、制約はsの制約によって自明化された自由 - 加群である。つまり、 s による乗算射は同型である。集合は常に開集合であり、包含射はアフィン射である。しかし、 はアフィンスキームである必要はない。例えば、 の場合、 は自身に対して開であり、自身に対してアフィンであるが、一般にはアフィンではない。 ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{s}}\to {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle X_{s}\to X}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s=1\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle X_{s}=X}$

Xが準コンパクトであると仮定する。すると、任意の に対して、 と が存在し、かつがアフィンスキームとなるとき、は十分となる。 ^{[ 12 ]}例えば、自明な直線束が十分となるのは、 X が準アフィン である場合に限る。^{[ 13 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle x\in X_{s}}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

一般に、すべてのがアフィンであるということは真ではありません。例えば、ある点Oに対してが成り立ち、 がXへの制限であるとき、と は同じ大域切断を持ち、 の切断の非零軌跡がアフィンとなるのは、 の対応する切断がOを含む場合であり、かつその場合のみです。 ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus \{O\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$

定義ではのべき乗を許容する必要がある。実際、任意のNに対して、の任意の に対して が非アフィンとなる可能性がある。実際、Z が、、内の点の有限集合であるとする。 の切断の消失軌跡は、次数Nの平面曲線である。Z を一般位置にある十分に大きな点の集合とすることで、次数Nの平面曲線（したがって、より低い次数）がZのすべての点を含まないことを保証できる。特に、それらの非消失軌跡はすべて非アフィンである。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle n\leq N}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)|_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes N}}$

を定義する。構造射を で表す。次数環Sの-代数準同型と自己準同型の間には自然な同型性が存在する。S の恒等自己準同型は、準同型 に対応する。関手 を適用すると、 で示されるXの開部分スキームからへの射が得られる。 ${\displaystyle \textstyle S=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle p\colon X\to \operatorname {Spec} \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \textstyle p^{*}({\tilde {S}})\to \bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {L}}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} }$ ${\displaystyle G(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

十分な可逆層の基本的な特徴付けは、Xが準コンパクト準分離スキームであり、X上の可逆層である場合、次の主張は同値である、と述べている：^{[ 14 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 十分です。
2. 開集合（ただし、および）は、 Xの位相の基礎を形成します。${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle n\geq 0}$
3. アフィンの性質を持つ開集合（および）は、 Xの位相の基底を形成します。${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle n\geq 0}$
4. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$ そして、射影は支配的なオープン浸漬です。${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$
5. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$ そして、この射はXの基礎位相空間とその像の同相写像である。${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$
6. X上のすべての準コヒーレント層に対して、標準写像は射影的である。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {F}}}$
7. X上のすべての準コヒーレントなイデアル層に対して、標準写像は射影的である。${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$
8. X上のすべての準コヒーレントなイデアル層に対して、標準写像は射影的である。${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$
9. X上の有限型のあらゆる準コヒーレント層に対して、に対して がその大域セクションで生成されるような整数が存在する。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$
10. X上の有限型のあらゆる準コヒーレント層に対して、の商と同型となるような整数およびが存在する。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$
11. X上の有限型のイデアルのあらゆる準コヒーレント層に対して、の商と同型となるような整数およびが存在する。${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$

適切な計画について

X がアフィンスキーム上の分離有限型であるとき、可逆層が十分であるための必要十分条件は、テンソル冪が非常に十分となるような正の整数rが存在することである。^{[ 15 ] [ 16 ]}特に、R上の適切なスキームが十分な直線束を持つためには、それがR上に射影的である必要がある。この特徴付けは、しばしば十分性の定義として用いられる。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes r}}$

この記事の残りの部分では、体上の適切なスキーム上の豊富性に焦点を当てます。これは最も重要なケースだからです。体上の適切なスキームX上の豊富直線束は、 X内のすべての曲線において正の次数を持ちます。これは、非常に豊富な直線束に対する対応する命題によります。

体k上の適切なスキームX上のカルティエ因子Dは、対応する直線束O ( D ) が十分である場合に十分であると言われる。(例えば、X がk上で滑らかである場合、カルティエ因子は整数係数を持つ Xの閉余次元 1 部分多様体の有限線型結合と同一視できる。)

「非常に豊富」という概念を「豊富」に弱めると、多様な特徴付けが可能な柔軟な概念が得られる。第一に、豊富線束の高次冪を任意の連接層とテンソル化すると、多くの大域的切断を持つ層が得られる。より正確には、体上（あるいはより一般的にはネーター環上）の適切なスキームX上の線束Lが豊富であるための必要十分条件は、 X上の任意の連接層Fに対して、その層がすべての に対して大域的に生成されるような整数sが存在することである。ここでs はFに依存する場合がある。^{[ 17 ] [ 18 ]}${\displaystyle F\otimes L^{\otimes r}}$ ${\displaystyle r\geq s}$

カルタン・セール・グロタンディークの定理として知られる、豊富性のもう一つの特徴づけは、連接層コホモロジーによるものである。 すなわち、体上（あるいはより一般的にはネーター環上）の適切なスキームX上の直線束Lが豊富であるための必要十分条件は、 X上の任意の連接層Fに対して、

${\displaystyle H^{i}(X,F\otimes L^{\otimes r})=0}$

すべてとすべてに対して。^{[ 19 ] [ 18 ]}特に、十分な直線束の高次の冪は、正の次数でコホモロジーを消滅させる。この含意はセール消失定理と呼ばれ、ジャン＝ピエール・セールが1955年の論文Faisceaux algébriques cohérentsで証明した。 ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle r\geq s}$

例/非例

• 正次元の射影多様体X上の自明な直線束は基底点自由であるが、十分ではない。より一般に、射影多様体Xから体上のある射影空間への任意の射fに対して、引き戻し直線束は常に基底点自由であるが、Lが十分となるのは射fが有限である場合（つまり、fのすべてのファイバーが次元0であるか空である場合）かつその場合のみである。^{[ 20 ]}${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle L=f^{*}O(1)}$
• 整数dに対して、直線束O ( d )の切断空間は、変数x、yに関する次数dの斉次多項式の成す複素ベクトル空間である。特に、d < 0 の場合にはこの空間は 0 となる。 に対して、 O ( d )によって与えられる射影空間への射影写像は、${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$ ${\displaystyle d\geq 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{d}}$

による

${\displaystyle [x,y]\mapsto [x^{d},x^{d-1}y,\ldots ,y^{d}].}$

これは の閉じた浸漬であり、における次数dの有理正規曲線をイメージします。したがって、O ( d ) が基点フリーとなるのは のときのみであり、非常に豊富となるのは のときのみである。したがって、 O ( d ) が豊富となるのは のときのみである。${\displaystyle d\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$ ${\displaystyle d\geq 0}$ ${\displaystyle d\geq 1}$ ${\displaystyle d\geq 1}$

• 「十分」と「非常に十分」が異なる例として、X をC上の種数1の滑らかな射影曲線（楕円曲線）とし、p をXの複素点とします。O ( p ) をX上の次数 1 の付随直線束とします。すると、 O ( p )の大域切断の複素ベクトル空間は次元 1 となり、 pで消える切断によって張られます。^{[ 21 ]}したがって、 O ( p )の基底軌跡はpに等しくなります。一方、O ( 2 p ) は基底点がなく、O ( dp ) は に対して非常に十分です（における次数dの楕円曲線としてのXの埋め込みを与えます）。したがって、O ( p )は十分ですが、非常に十分ではありません。また、O (2 p ) は十分で基底点がありませんが、非常に十分ではありません。${\displaystyle d\geq 3}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d-1}}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{1}}$
• 高種数の曲線上には、すべての大域断面がゼロとなるような十分な直線束Lが存在する。（しかし、 Lの高倍数は定義により多くの断面を持つ。）例えば、X をC上の滑らかな平面四次曲線（ において次数4 ）とし、pとq をXの異なる複素点とする。このとき、直線束は十分であるが を有する。^{[ 22 ]}${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle L=O(2p-q)}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)=0}$

線束の豊富さの基準

交差理論

射影多様体X上の与えられた直線束が十分かどうかを判断するには、次の数値基準（交点数の観点から）が最も有用であることが多い。これは、 X上のカルティエ因子Dが十分である場合を問うことと同値であり、関連する直線束O ( D ) が十分であることを意味する。交点数は、直線束O ( D )のCへの制限次数として定義できる。逆に、射影多様体上の直線束Lの場合、最初のチャーン類は、関連するカルティエ因子（線型同値性まで定義される）、つまりLの任意の非ゼロ有理切断の因子を意味する。 ${\displaystyle D\cdot C}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$

代数閉体k上の滑らかな射影曲線X上で、直線束Lが非常に豊富であるための必要十分条件は、X内のすべてのk -有理点x , yに対してである。^{[ 23 ]} g をXの種数とする。リーマン・ロッホの定理により、次数が少なくとも 2 g  + 1 であるすべての直線束はこの条件を満たし、したがって非常に豊富である。結果として、曲線上の直線束が豊富であるための必要十分条件は、それが正の次数を持つ場合である。^{[ 24 ]}${\displaystyle h^{0}(X,L\otimes O(-x-y))=h^{0}(X,L)-2}$

例えば、曲線Xの正準バンドル は次数2 g  − 2であるため、 のときのみ十分である。十分な正準バンドルを持つ曲線は重要なクラスを形成する。例えば、複素数上においては、負の曲率計量 を持つ曲線がこれに該当する。正準バンドルが非常に十分であるための必要条件は、 であり、かつ曲線が超楕円 でない場合である。^{[ 25 ]}${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

Nakai –Moishezon 基準(中井義一 (1963) とBoris Moishezon (1964) にちなんで名付けられた) は、体上の適切なスキームX上の直線束Lが十分である場合、かつその場合、 Xのすべての (既約) 閉部分多様体Y ( Yは点は許されない) に対して十分であると述べている。^{[ 26 ]}因子に関して、カルティエ因子Dが十分である場合、かつその場合、Xのすべての (非ゼロ次元) 部分多様体Yに対して十分であると述べている。曲線Xに対して、これは、因子が十分である場合、かつその場合、それが正の次数を持つことを意味する。曲面Xに対して、この基準は、因子Dが十分である場合、かつその場合、その自己交差数が正であり、X上のすべての曲線C がを持つことを意味する。 ${\displaystyle \int _{Y}c_{1}(L)^{{\text{dim}}(Y)}>0}$ ${\displaystyle D^{{\text{dim}}(Y)}\cdot Y>0}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle D\cdot C>0}$

クライマンの基準

クライマンの基準(1966)を述べると、体上の射影スキームXとする。を 1-サイクル ( X内の曲線の実線型結合) の実ベクトル空間 (数値同値性を除く)とする。つまり、2 つの 1-サイクルAとB がで等しいことと、すべての直線束がA上とB上で同じ次数を持つことが同値である。ネロン・セベリの定理により、実ベクトル空間は有限次元を持つ。クライマンの基準によれば、 X上の直線束Lが十分であるための必要十分条件は、 L が内の曲線錐NE ( X )の閉包のすべての非ゼロ元C上で正の次数を持つことである。 (これは、 L がすべての曲線で正の次数を持つと言うことより少し強い。) 同様に、直線束が十分であるための必要十分条件は、双対ベクトル空間におけるその類がネフ錐の内部にあることである。^{[ 27 ]}${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

クライマンの基準は、体上の適切な（射影的ではない）スキームXに対しては一般には成り立たないが、 Xが滑らかであるか、より一般的にはQ-階乗である場合には成り立つ。^{[ 28 ]}

射影多様体上の直線束は、すべての曲線で正の次数を持つとき、厳密に nef であると呼ばれる。Nagata (1959)とDavid Mumford は、滑らかな射影面上に、厳密に nef だが十分ではない直線束を構成した。これは、Nakai–Moishezon の基準では条件を省略できないこと、および Kleiman の基準では NE( X )ではなく NE( X )の閉包を使用する必要があることを示している。^{[ 29 ]}曲面上のすべての nef 直線束は を持ち、Nagata と Mumford の例では である。 ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}>0}$ ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=0}$

CS Seshadriは、代数閉体上の適切なスキーム上の線束Lが十分であるための必要十分条件は、 X内のすべての（既約）曲線Cに対してdeg( L | _C )≥εm ( C )を満たす正の実数εが存在することであり、ここでm ( C )はCの点における重複度の最大値である。^{[ 30 ]}

体k上の真代数空間上の直線束に対して、より一般的には、豊富さのいくつかの特徴付けが成り立つ。特に、ナカイ・モイシェゾンの基準はその一般性において有効である。^{[ 31 ]}カルタン・セール・グロタンディークの基準はさらに一般的に、ノイザン環R上の真代数空間に対して成立する。^{[ 32 ]} （ R上の真代数空間に豊富な直線束がある場合、それは実際にはR上の射影スキームである。）クライマンの基準は、体上の真代数空間Xに対しては、たとえXが滑らかであっても成立しない。^{[ 33 ]}

豊かさの開放性

体上の射影スキームXにおいて、クライマンの基準は、十分性が におけるR因子 (カルティエ因子のR線型結合) のクラスにおける開条件であり、その位相は実数の位相に基づく、ということを意味している。( R因子は、十分なカルティエ因子の正の線型結合として表すことができる場合、十分であると定義される。^{[ 34 ]} ) 基本的な特殊なケースは次の通りである。十分な因子Hと任意の因子Eに対して、絶対値がbより小さいすべての実数aに対して十分となるような正の実数bが存在する。整数係数 (または直線束) を持つ因子に関しては、これはnH + E が十分に大きいすべての正の整数nに対して十分であることを意味する。 ${\displaystyle N^{1}(X)}$ ${\displaystyle H+aE}$

豊富性は、代数族において多様体または直線束が可変である場合、全く異なる意味でも開条件となる。すなわち、 をスキームの真射とし、L をX上の直線束とする。すると、 Y内の点yの集合であって、 L がファイバー上で豊富となるものは開集合となる（ザリスキ位相において）。より強い言い方をすれば、L が1つのファイバー上で豊富であれば、 yのアフィン開近傍Uが存在し、LがU上上で豊富となる。^{[ 35 ]}${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X_{y}}$ ${\displaystyle X_{y}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$

クライマンによる豊かさの他の特徴づけ

クライマンはまた、豊かさの定義と数値的基準の中間段階として捉えられる、豊かさに関する以下の特徴付けを証明した。すなわち、体上の適切なスキームX上の直線束Lに対して、以下の式は同値である：^{[ 36 ]}

• Lサイズで十分です。
• 正の次元のすべての（既約な）部分多様体に対して、正の整数rと、 Yのある点でゼロではないが消えるセクションが存在します。${\displaystyle Y\subset X}$ ${\displaystyle s\in H^{0}(Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})}$
• 正の次元を持つあらゆる（既約な）部分多様体に対して、LのYに対するべき乗の正則オイラー特性は無限大になる。${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle \chi (Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})\to \infty }$ として。${\displaystyle r\to \infty }$

一般化

豊富なベクトル束

ロビン・ハーツホーンは、体上の射影スキームX上のベクトル束Fが十分であるとは、 F内の超平面空間上の線束が十分であると定義した。^{[ 37 ]}${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (F)}$

十分な直線束のいくつかの性質は、十分なベクトル束にも拡張される。例えば、ベクトル束Fが十分なベクトル束となるための必要十分条件は、 Fの高対称冪がすべての に対して連接層のコホモロジーを破ることである。^{[ 38 ]}また、十分なベクトル束のチャーン類は、に対して、Xのすべてのr次元部分多様体上で正の次数を持つ。^{[ 39 ]}${\displaystyle H^{i}}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle c_{r}(F)}$ ${\displaystyle 1\leq r\leq {\text{rank}}(F)}$

ビッグラインバンドル

十分性の有用な弱化、特に双有理幾何学における弱化は、大直線束の概念である。体上のn次元の射影多様体X上の直線束Lは、正の実数aと、すべてのj > 0に対してとなる正の整数bが存在するとき、大直線束と呼ばれる。これは、 Lの冪切断空間の最大可能成長率であり、 X上のすべての直線束Lに対して、すべてのj > 0に対してとなる正の数bが存在するという意味である。^{[ 40 ]}${\displaystyle j_{0}}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\geq aj^{n}}$ ${\displaystyle j\geq j_{0}}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\leq bj^{n}}$

大直線束の特徴付けは他にもいくつかある。まず、直線束が大きい場合と、その像への有理写像Xからrの切断によって与えられるものが双有理となるような正の整数rが存在する場合、かつその場合に限る。 ^{[ 41 ]}また、直線束Lが大きい場合と、その正のテンソル冪、つまり十分な直線束Aと有効直線束Bのテンソル積（つまり）がある場合、かつその場合に限る。^{[ 42 ]}最後に、直線束が大きい場合と、その における類が有効因子錐の内部にある場合、かつその場合に限る。^{[ 43 ]}${\displaystyle \mathbb {P} (H^{0}(X,L^{\otimes r}))}$ ${\displaystyle L^{\otimes r}}$ ${\displaystyle H^{0}(X,B)\neq 0}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

巨大性は、豊かさの双有理不変な類似物と見ることができる。例えば、 が同次元の滑らかな射影多様体間の支配有理写像である場合、Y上の大きな直線束の引き戻しはX上でも大きい。（一見すると、引き戻しはfが射であるXの開部分集合上の直線束にのみ当てはまるように見えるが、これはX全体の上の直線束にも一意に拡張される。）豊かさ直線束については、有限射による豊かさ直線束の引き戻しが豊かさであるとしか言えない。^{[ 20 ]}${\displaystyle f\colon X\to Y}$

例：Xを複素数上の点における射影平面の引き伸ばしとする。HをX上の直線の引き戻しとし、EをX上の引き伸ばしの例外曲線とする。すると、X上ではH + Eの約数は大きいが十分ではない（あるいはnefでもない）。なぜなら、 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle (H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.}$

この負性は、 H + E （または任意の正の倍数）の基底軌跡が曲線Eを含むことも意味します。実際、この基底軌跡はEに等しくなります。

相対的な豊かさ

スキームの準コンパクト射が与えられたとき、 X上の可逆層Lがfに対して十分であるかf-十分であるとは、次の同値な条件が満たされるとき言われる： ^{[ 44 ] [ 45 ]}${\displaystyle f:X\to S}$

1. 各開アフィン部分集合 に対して、 Lのへの制限は十分である(通常の意味で)。${\displaystyle U\subset S}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$
2. fは準分離的であり、付加写像によって誘導されるオープン浸漬が存在する。 ${\displaystyle X\hookrightarrow \operatorname {Proj} _{S}({\mathcal {R}}),\,{\mathcal {R}}:=f_{*}\left(\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}\right)}$

   ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {R}}\to \bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}}$ 。

3. 条件2.「open」なし。

条件 2 は (大まかに言えば)、X は(適切なスキームだけでなく) を持つ射影スキームにオープンにコンパクト化できることを示しています。${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=L}$

参照

一般代数幾何学

• 射影空間の代数幾何学
• ファノ多様体：標準束が反十分である多様体
• 松坂の大定理
• 除数スキーム：十分な線束族を許容するスキーム

複雑な幾何学における豊かさ

• 正則ベクトル束
• 小平埋め込み定理: コンパクト複素多様体上では、豊かさと正値が一致する。
• 小平消失定理
• レフシェッツ超平面定理: 複素射影多様体Xの十分な因子は、 Xと位相的に類似しています。

注記

1. Hartshorne（1977）、定理II.7.1。
2. Hartshorne (1977)、定理III.5.2; (タグ02O6 )。
3. Hartshorne（1977）、補題IV.1.2。
4. Lazarsfeld（2004）、例1.4.5。
5. タグ 01AM。
6. Hartshorne（1977）、例II.5.16.2。
7. Lazarsfeld (2004)、定義2.1.26。
8. Hartshorne（1977）、セクションII.5。
9. タグ 02NP。
10. Grothendieck, EGA II、定義4.2.2。
11. Hartshorne（1977）、命題I.7.6と例IV.3.3.2。
12. タグ 01PS。
13. タグ 01QE。
14. EGA II、テオレーム 4.5.2 および命題 4.5.5。
15. EGA II、命題4.5.10。
16. タグ 01VU。
17. ハーツホーン（1977）、定理II.7.6
18. Lazarsfeld (2004)、定理1.2.6。
19. ハーツホーン（1977）、命題III.5.3
20. Lazarsfeld（2004）、定理1.2.13。
21. Hartshorne（1977）、例II.7.6.3。
22. Hartshorne（1977）、演習IV.3.2（b）。
23. Hartshorne（1977）、命題IV.3.1。
24. Hartshorne（1977）、系IV.3.3。
25. Hartshorne（1977）、命題IV.5.2。
26. Lazarsfeld (2004)、定理1.2.23、注釈1.2.29; Kleiman (1966)、定理III.1。
27. Lazarsfeld (2004)、定理1.4.23および1.4.29; Kleiman (1966)、定理IV.1。
28. 藤野（2005）、系3.3；ラザースフェルド（2004）、備考1.4.24。
29. Lazarsfeld (2004)、例1.5.2。
30. Lazarsfeld (2004)、定理1.4.13; Hartshorne (1970)、定理I.7.1。
31. Kollár (1990)、定理 3.11。
32. タグ 0D38。
33. Kollár (1996)、第 VI 章、付録、演習 2.19.3。
34. Lazarsfeld（2004）、定義1.3.11。
35. Lazarsfeld (2004)、定理1.2.17とその証明。
36. Lazarsfeld (2004)、例1.2.32; Kleiman (1966)、定理III.1。
37. Lazarsfeld (2004)、定義6.1.1。
38. Lazarsfeld（2004）、定理6.1.10。
39. Lazarsfeld (2004)、定理8.2.2。
40. Lazarsfeld (2004)、系2.1.38。
41. Lazarsfeld (2004)、セクション2.2.A。
42. Lazarsfeld (2004)、系2.2.7。
43. Lazarsfeld (2004)、定理2.2.26。
44. タグ 01VG。
45. Grothendieck & Dieudonné 1961、命題 4.6.3。

出典

• 藤野 修 (2005) 「クライマン・モリ円錐について」日本学士院紀要 A集 数理科学81 (5): 80– 84 , arXiv : math/0501055 , Bibcode : 2005math......1055F , doi : 10.3792/pjaa.81.80 , MR  2143547
• アレクサンドル・グロタンディーク; Dieudonné、Jean (1961)、「Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques class de morphismes」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、8、doi : 10.1007/bf02699291、MR  0217084
• ハーツホーン、ロビン（1970）、代数多様体の豊富な部分多様体、数学講義ノート、第156巻、ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/BFb0067839、ISBN 978-3-540-05184-8、MR  0282977
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• クライマン、スティーブン・L.（1966）「豊かさの数値理論に向けて」、数学年報、第2集、84（3）：293–344、doi：10.2307/1970447、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970447、MR  0206009
• Kollár、János (1990)、「完全弾性率の射影性」、Journal of Differential Geometry、32、doi : 10.4310/jdg/1214445046、MR  1064874
• Kollár、János (1996)、代数多様体に関する有理曲線、ベルリン、ハイデルベルク: Springer-Verlag、doi : 10.1007/978-3-662-03276-3、ISBN 978-3-642-08219-1、MR  1440180
• ラザースフェルド、ロバート（2004）、代数幾何学における正値性（全2巻）、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007 / 978-3-642-18808-4、ISBN 3-540-22533-1、MR  2095471
• 永田正義(1959)、「ヒルベルトの第14問題について」、アメリカ数学誌、81 (3): 766– 772、doi : 10.2307/2372927、JSTOR  2372927、MR  0154867
• 「セクション29.37（01VG）：比較的十分な層 - スタックスプロジェクト」
• スタックスプロジェクト、タグ 01AM
• スタックスプロジェクト、タグ01PS
• スタックスプロジェクト、タグ01QE
• スタックスプロジェクト、タグ01VU
• スタックスプロジェクト、タグ02NP
• スタックスプロジェクト、タグ02O6
• スタックス プロジェクト、タグ 0D38

外部リンク

• スタックスプロジェクト