コヒーレント層コホモロジー

数学、特に代数幾何学と複素多様体理論において、連接層コホモロジーは、特定の性質を持つ関数を生成するための手法である。多くの幾何学的問題は、直線束の切断、あるいはより一般的な連接層の切断の存在に関する問題として定式化することができる。このような切断は、一般化された関数と見なすことができる。コホモロジーは、切断を生成するための、あるいは切断が存在しない理由を説明するための計算可能なツールを提供する。また、ある代数多様体を他の代数多様体と区別するための不変量も提供する。

代数幾何学と複素解析幾何学の多くは、連接層とそのコホモロジーに基づいて定式化されます。

コヒーレント層

連接層はベクトル束の一般化と見ることができます。複素解析空間上には連接解析層の概念があり、スキーム上には類似の概念として連接代数層があります。どちらの場合も、与えられた空間には環の層、正則関数の層、または正則関数の層が伴い、連接層は-加群のカテゴリ（つまり - 加群の層）の完全なサブカテゴリとして定義されます。 $X$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{X}$

接線束などのベクトル束は幾何学において基本的な役割を果たします。より一般的には、を包含するの閉部分多様体に対して、上のベクトル束は上の連接層、すなわちの外部では零となる直像層を決定します。このように、の部分多様体に関する多くの疑問は、上の連接層を用いて表現することができます。 $Y$ $X$ $i:Y\to X$ $E$ $Y$ $X$ $i_{*}E$ $Y$ $X$ $X$

ベクトル束とは異なり、連接層（解析的または代数的の場合）はアーベル圏を形成するため、核、像、余核の取得などの操作に対して閉じている。あるスキームにおいて、準連接層は、無限階数の局所自由層を含む連接層の一般化である。

層コホモロジー

位相空間上のアーベル群の層に対して、整数の層コホモロジー群は、大域切断の関数の右導来関数として定義されます。結果として、に対してはゼロとなり、と同一視できます。任意の層の短完全列に対して、コホモロジー群の長完全列が存在する: ^[¹^] ${\mathcal {F}}$ $X$ $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ $i$ ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(X)$ $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ $i<0$ $H^{0}(X,{\mathcal {F}})$ ${\mathcal {F}}(X)$ $0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}\to 0$

0\to H^{0}(X,{\mathcal {A}})\to H^{0}(X,{\mathcal {B}})\to H^{0}(X,{\mathcal {C}})\to H^{1}(X,{\mathcal {A}})\to \cdots .

がスキーム上の - 加群の層である場合、（の基礎位相空間を用いて定義される）コホモロジー群は正則関数の環上の加群である。例えば、が体上のスキームである場合、コホモロジー群は-ベクトル空間である。が連接層または準連接層である場合、以下の一連の結果により、この理論は強力になる。 ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $X$ $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ $X$ ${\mathcal {O}}(X)$ $X$ $k$ $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ $k$ ${\mathcal {F}}$

アフィンの場合の消失定理

複素解析は、 1953 年にカルタンの定理 A と Bによって革命をきたしました。これらの結果によれば、がスタイン空間上の連接解析層である場合、はその大域セクションによって張られ、すべてのに対してとなります。(複素空間がスタインである場合と、それが何らかのに対しての閉解析部分空間に同型である場合に限ります。) これらの結果は、与えられた特異点やその他の特性を持つ複素解析関数の構築に関する多くの従来の研究を一般化したものです。 ${\mathcal {F}}$ $X$ ${\mathcal {F}}$ $H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0$ $i>0$ $X$ $\mathbb {C} ^{n}$ $n$

1955 年、セールは連接層を代数幾何学に導入した（最初は代数閉体上であったが、その制限はグロタンディークによって削除された）。カルタンの定理の類似物は非常に一般に成り立つ。がアフィンスキーム上の準連接層である場合、はその大域切断によって張られ、に対してが成り立つ。^[²^]これは、アフィンスキーム上の準連接層のカテゴリが -加群のカテゴリと同値であり、同値性により層が-加群に取られるという事実と関係している。実際、アフィンスキームは、すべての準コンパクトスキームの中で、準連接層の高次コホモロジーが消滅することによって特徴付けられる。^[³^] ${\mathcal {F}}$ $X$ ${\mathcal {F}}$ $H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0$ $i>0$ $X$ ${\mathcal {O}}(X)$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {O}}(X)$ $H^{0}(X,{\mathcal {F}})$

チェフコホモロジーと射影空間のコホモロジー

アフィンスキームのコホモロジーが消滅することの結果として、分離されたスキーム、のアフィン開被覆、および上の準コヒーレント層に対して、コホモロジー群は開被覆に関してチェフコホモロジー群と同型である。^[²^]言い換えれば、アフィン開部分スキームのすべての有限交差上のの切断がわかれば、に係数を持つのコホモロジーが決定される。 $X$ $\{U_{i}\}$ $X$ ${\mathcal {F}}$ $X$ $H^{*}(X,{\mathcal {F}})$ $\{U_{i}\}$ ${\mathcal {F}}$ $U_{i}$ $X$ ${\mathcal {F}}$

チェフ・コホモロジーを用いると、任意の直線束に係数を持つ射影空間のコホモロジーを計算することができる。すなわち、体、正の整数、任意の整数に対して、直線束に係数を持つ射影空間のコホモロジーは次のように与えられる。^[⁴^] $k$ $n$ $j$ $\mathbb {P} ^{n}$ $k$ ${\mathcal {O}}(j)$

H^{i}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(j))\cong {\begin{cases}\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=0\\[6pt]0&i\neq 0,n\\[6pt]\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}<0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=n\end{cases}}

特に、この計算は、任意の直線束に係数を持つ上の射影空間のコホモロジーが-ベクトル空間として有限次元を持つことを示しています。 $k$ $k$

次元を超えるコホモロジー群の消失は、グロタンディークの消失定理の非常に特殊なケースである。次元のネーター位相空間上の任意のアーベル群の層に対して、すべてのに対してが成り立つ。^[⁵^]これは、ネータースキーム（たとえば、体上の多様体）と準コヒーレント層の場合に特に有用である。 $n$ ${\mathcal {F}}$ $X$ $n<\infty$ $H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0$ $i>n$ $X$ ${\mathcal {F}}$

平面曲線の層コホモロジー

次数の滑らかな射影平面曲線が与えられれば、層コホモロジーはコホモロジーの長完全列を用いて容易に計算できる。まず、埋め込みに対してコホモロジー群の同型性が存在することに注意する。 $C$ $d$ $H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})$ $i:C\to \mathbb {P} ^{2}$

H^{*}(\mathbb {P} ^{2},i_{*}{\mathcal {O}}_{C})\cong H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})

は正確であるので、これは連接層の短完全列が $i_{*}$

0\to {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{C}\to 0

の理想列^[⁶^]と呼ばれる列は、コホモロジーの長完全列を介してコホモロジーを計算するために使用できる。この列は次のように表される。 $\mathbb {P} ^{2}$

{\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}

これは射影空間におけるこれまでの計算を用いて簡略化できる。簡単のため、基底環は（あるいは任意の代数閉体）であると仮定する。そして、同型写像が存在する。 $\mathbb {C}$

{\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\end{aligned}}

これは、曲線が階数の有限次元ベクトル空間であることを示す。 $H^{1}$

{d-1 \choose d-3}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}

。

キュネス定理

キュネス公式の類似は、多様体の積のコヒーレント層コホモロジーにも存在する。^{[ 7 ]}体上のアフィン対角線を持つ準コンパクトスキーム（例えば分離スキーム）が与えられ、ととすると、同型 $X,Y$ $k$ ${\mathcal {F}}\in {\text{Coh}}(X)$ ${\mathcal {G}}\in {\text{Coh}}(Y)$

$H^{k}(X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y,\pi _{1}^{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {G}})\cong \bigoplus _{i+j=k}H^{i}(X,{\mathcal {F}})\otimes _{k}H^{j}(Y,{\mathcal {G}})$

ここで、からへの標準射影はです。 $\pi _{1},\pi _{2}$ $X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y$ $X,Y$

曲線の層コホモロジーの計算

において、の一般的なセクションは曲線を定義し、理想的なシーケンスを与える。 $X=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ ${\mathcal {O}}_{X}(a,b)=\pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(a)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(b)$ $C$

$0\to {\mathcal {O}}_{X}(-a,-b)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{C}\to 0$

そして、長精度列は次のようになる。

${\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{0}(X,{\mathcal {O}})\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}})\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{2}(X,{\mathcal {O}})\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}$

与える

${\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\end{aligned}}$

は曲線の種数なので、キュネスの公式を用いてベッティ数を計算することができる。これは $H^{1}$

$H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-a,-b))\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-a))\otimes _{k}H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-b))$

ランクの

${\binom {a-1}{a-2}}{\binom {b-1}{b-2}}=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1$ ^{[ 8 ]}

についてである。特に、がの属断面の消失軌跡によって定義されるとき、はの属 $-a,-b\leq -2$ $C$ ${\mathcal {O}}(2,k)$

$2k-2-k+1=k-1$

したがって、任意の種数の曲線はの内部に存在します。 $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$

有限次元性

体上の適切なスキームと上の任意の連接層に対して、コホモロジー群は-ベクトル空間として有限次元を持つ。^[⁹^]が上に射影的な特殊なケースでは、これは上で議論した射影空間上の線束の場合に還元することで証明される。体上の適切なスキームの一般的な場合では、グロタンディークはチャウの補題を用いて、射影的なケースに還元することでコホモロジーの有限性を証明した。 $X$ $k$ ${\mathcal {F}}$ $X$ $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ $k$ $X$ $k$

コホモロジーの有限次元性は、任意のコンパクト複素空間上の連接解析層の類似の状況でも、非常に異なる議論によって成り立ちます。カルタンとセールは、フレシェ空間のコンパクト作用素に関するシュワルツの定理を使用して、この解析的な状況での有限次元性を証明しました。適切な射に対するこの結果の相対バージョンは、グロタンディーク (局所ノイザンスキームの場合) とグラウエルト(複素解析空間の場合)によって証明されました。つまり、適切な射(代数的または解析的設定で) と上の連接層に対して、高次の直接像層は連接します。^[¹⁰^]が点のとき、この定理はコホモロジーの有限次元性を与えます。 $f:X\to Y$ ${\mathcal {F}}$ $X$ $R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}$ $Y$

コホモロジーの有限次元性は、射影多様体に対する多くの数値的不変量につながる。例えば、が代数的に閉体上の滑らかな射影曲線である場合、の種数は-ベクトル空間の次元と定義される。が複素数体である場合、これはその古典的（ユークリッド）位相における複素点空間の種数と一致する。（その場合、は有向閉曲面となる。）多くの高次元の一般化が可能であるが、次元の滑らかな射影多様体の幾何学的種数はの次元であり、算術的種数は（ある慣例^[¹¹^]によれば）交代和である。 $X$ $k$ $X$ $k$ $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ $k$ $X(\mathbb {C} )$ $X(\mathbb {C} )=X^{an}$ $X$ $n$ $H^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})$

\chi (X,{\mathcal {O}}_{X})=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})).

セール双対性

セール双対性は、連接層コホモロジーにおけるポアンカレ双対性の類似である。この類似性において、正準束は向き層の役割を果たす。すなわち、体上の次元の滑らかな適切なスキームに対して、自然なトレース写像が存在する。これは、が幾何学的に連結である場合に同型であり、つまりの基底変換からの代数的閉包への変換は連結であることを意味する。上のベクトル束に対するセール双対性は、積 $K_{X}$ $X$ $n$ $k$ $H^{n}(X,K_{X})\to k$ $X$ $X$ $k$ $E$ $X$

H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})\to H^{n}(X,K_{X})\to k

は任意の整数に対して完全なペアリングである。^[¹²^]特に、ベクトル空間とは同じ（有限）次元を持つ。（セールは任意のコンパクト複素多様体上の正則ベクトル束に対してセール双対性を証明した。）グロタンディークの双対性理論は任意の連接層と任意のスキームの固有射への一般化を含むが、記述はそれほど初歩的ではない。 $i$ $k$ $H^{i}(X,E)$ $H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})$

たとえば、代数的に閉じた体上の滑らかな射影曲線の場合、セール双対性は、上の 1-形式の空間の次元がの種数( の次元)に等しいことを意味します。 $X$ $k$ $H^{0}(X,\Omega ^{1})=H^{0}(X,K_{X})$ $X$ $X$ $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$

GAGA定理

GAGA定理は、複素数上の代数多様体とそれに対応する解析空間を関連付ける。C上の有限型のスキームXに対して、 X上の連接代数層から、それに対応する解析空間X ^an上の連接解析層への関数が存在する。重要なGAGA定理（グロタンディークによる、射影的ケースにおけるセールの定理の一般化）は、XがC上に適切であれば、この関数は圏の同値性を持つというものである。さらに、 C上の適切なスキームX上の任意の連接代数層Eに対して、自然写像

H^{i}(X,E)\to H^{i}(X^{\text{an}},E^{\text{an}})

（有限次元）複素ベクトル空間の i はすべてのiに対して同型である。^{[ 13 ]}（ここで最初のグループはザリスキー位相を使用して定義され、2番目のグループは古典的（ユークリッド）位相を使用して定義される。）たとえば、射影空間上の代数的連接層と解析的連接層が同値であることは、CP ⁿのすべての閉解析的部分空間が代数的であるというチャウの定理を意味する。

消失定理

セールの消失定理によれば、ネーター環上の適切なスキーム上の任意の豊富な直線束と、上の任意の連接層に対して、すべてのに対して、その層がその大域切断によって張られ、正の次数でコホモロジーを持たないような整数が存在する。^[¹⁴^]^[¹⁵^] $L$ $X$ ${\mathcal {F}}$ $X$ $m_{0}$ $m\geq m_{0}$ ${\mathcal {F}}\otimes L^{\otimes m}$

セールの消失定理は有用であるが、数の明示性が問題となることがある。小平の消失定理は重要な明示的な結果である。すなわち、が0 の体上の滑らかな射影多様体であり、が上の十分な直線束であり、がの標準束であるとき、 $m_{0}$ $X$ $L$ $X$ $K_{X}$

H^{j}(X,K_{X}\otimes L)=0

すべてのに対して成立する。セールの定理はの大きなべき乗に対しても同様の消失を保証することに注意されたい。小平消失とその一般化は代数多様体の分類と極小モデルプログラムの基礎となる。小平消失は正特性体上では成立しない。^[¹⁶^] $j>0$ $L$

ホッジ理論

ホッジ定理は、連接層コホモロジーと特異コホモロジー（またはド・ラームコホモロジー）を関連付ける。すなわち、が滑らかな複素射影多様体である場合、複素ベクトル空間の標準的な直和分解が存在する。 $X$

H^{a}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{b=0}^{a}H^{a-b}(X,\Omega ^{b}),

任意のに対して成り立つ。左側の群はの古典的（ユークリッド的）位相における特異コホモロジーを意味し、右側の群は連接層のコホモロジー群であり、（GAGAにより）ザリスキ位相にも古典的位相にもとることができる。上の任意の滑らかな固有スキーム、あるいは任意のコンパクトケーラー多様体に対しても同じ結論が成り立つ。 $a$ $X(\mathbf {C} )$ $X$ $\mathbf {C}$

例えば、ホッジ定理は、任意の体上で意味を持つの次元としての滑らかな射影曲線の種数の定義が、が複素数であるときの位相的定義（第一ベッチ数の半分として）と一致することを示唆する。ホッジ理論は、複素代数多様体の位相的性質に関する多くの研究に影響を与えてきた。 $X$ $H^{1}(X,{\mathcal {O}})$ $k$ $k$

リーマン・ロッホの定理

体k上の適切なスキームXに対して、X上の連接層Eのオイラー標数は整数

\chi (X,E)=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,E)).

連接層Eのオイラー標数は、リーマン・ロッホ定理とその一般化であるヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホ定理、グロタンディーク・リーマン・ロッホ定理に従って、Eのチャーン類から計算できる。例えば、体k上の滑らかな真幾何学的に連結な曲線X上の直線束Lのとき、

\chi (X,L)={\text{deg}}(L)-{\text{genus}}(X)+1,

ここで、deg( L )はLの次数を表します。

リーマン・ロッホの定理は、消失定理と組み合わせることで、直線束の切断のベクトル空間の次元を決定するためにしばしば用いられる。X上の直線束が十分な切断を持つという知見は、Xから射影空間への写像、おそらくは閉浸漬を定義するために用いられる。このアプローチは代数多様体の分類に不可欠である。

リーマン・ロッホの定理は、アティヤ・シンガーの指数定理によって、コンパクト複素多様体上の正則ベクトル束に対しても成り立ちます。

成長

n次元スキーム上のコホモロジー群の次元は、最大でn次多項式のように大きくなります。

X をn次元の射影スキームとし、DをX上の因子とする。X上の任意の連接層が D であるとき、 ${\mathcal {F}}$

$h^{i}(X,{\mathcal {F}}(mD))=O(m^{n})$ すべてのiについて。

X上のネフ因子Dの高次コホモロジーの場合;

$h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD))=O(m^{n-1})$

アプリケーション

体k上のスキームXが与えられたとき、変形理論はXの無限小近傍への変形を研究する。最も単純なケースは、双対数環上の変形に関するもので、Spec R上のスキームX _Rが存在し、特殊ファイバー $R:=k[\epsilon ]/\epsilon ^{2}$

X_{R}\times _{\operatorname {Spec} R}\operatorname {Spec} k

は与えられたXと同型である。Xが滑らかな場合、接層に係数を持つ連接層コホモロジーは、 X のこの変形のクラスを制御する。すなわち、 $T_{X}$

上記のタイプの変形の同型類は、第一のコヒーレントコホモロジーによってパラメータ化される。 $H^{1}(X,T_{X})$
上に述べたようにSpec R上のXの変形が存在する場合にのみ、が消える要素 (障害類と呼ばれる)が存在します。 $H^{2}(X,T_{X})$

注記

^ ( Hartshorne 1977、(III.1.1A)およびセクションIII.2。)
^ ^a ^bスタックスプロジェクト、タグ01X8。
^スタックスプロジェクト、タグ01XE。
^ (ハーツホーン 1977、定理 III.5.1.)
^ (ハーツホーン 1977、定理 III.2.7.)
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参考文献

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外部リンク

スタックス・プロジェクトの著者、スタックス・プロジェクト

[1] ( Hartshorne 1977、(III.1.1A)およびセクションIII.2。)

[St01X8-2] スタックスプロジェクト、タグ01X8。

[St01XE-3] スタックスプロジェクト、タグ01XE。

[4] (ハーツホーン 1977、定理 III.5.1.)

[5] (ハーツホーン 1977、定理 III.2.7.)

[6] ホッヘネッガー、アンドレアス (2019). 「コヒーレント層の派生カテゴリーの紹介」。アンドレアス・ホッヘネッガーの場合。マンフレッド・レーン。パオロ・ステラリ（編）。超曲面の双有理幾何学。 Unione Matematica Italiana の講義ノート。 Vol. 26. pp. 267–295 . arXiv : 1901.07305。ビブコード: 2019arXiv190107305H。土井: 10.1007/978-3-030-18638-8_7。ISBN 978-3-030-18637-1. S2CID 119721183 .

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[10] ( Grothendieck & Dieudonné 1961、(EGA 3) 3.2.1)、( Grauert & Remmert 1984、定理 10.4.6.)

[11] ( Serre 1955、第80条)

[12] (ハーツホーン 1977、定理 III.7.6.)

[13] ( Grothendieck & Raynaud 2003、(SGA 1) Exposé XII.)

[14] ( Hartshorne 1977、定理 II.5.17 および命題 III.5.3.)

[15] ( Grothendieck & Dieudonné 1961、(EGA 3) 定理 2.2.1)

[16] ミシェル・レイノー。特性 p > 0 の消失定理の例。 CP ラマヌジャム - トリビュート、タタ研究所で基金。解像度数学の勉強。 8、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、(1978)、273-278 ページ。

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