仮想繊維仮説
3 次元多様体という数学の分野において、アメリカの数学者ウィリアム・サーストンによって定式化された仮想ファイバー予想は、無限基本群を持つすべての閉じた既約な3 次元多様体は、円上の曲面束である有限被覆を持つと述べている。
このような有限被覆を持つ3次元多様体は、事実上ファイバーであると言われる。Mがザイフェルトファイバー空間である場合、Mが事実上ファイバーであるための必要十分条件は、ザイフェルトファイバーの有理オイラー数、または基底空間の （オービフォールド）オイラー特性がゼロであることである。
この予想の仮定は、双曲型3次元多様体によって満たされる。実際、幾何化予想がすでに解決されていることを考えると、仮想ファイバー化予想を証明するために必要な唯一のケースは、双曲型3次元多様体の場合である。
仮想ファイバー予想（および、そのより弱い類似物である仮想ハーケン予想など）への当初の関心は、これらの予想のいずれもサーストンの双曲化定理と組み合わせれば、幾何化予想が導かれるという事実に端を発しています。しかしながら、実際には、「仮想」予想に対する既知の攻撃はすべて、幾何化を仮説として採用し、3次元双曲多様体の幾何学的性質と群論的性質に依存しています。
仮想繊維予想は、サーストンが実際に予想したものではありません。むしろ、彼はそれを疑問として提起し、「この疑わしい響きの疑問には、肯定的な答えが得られる確かな可能性があるように思われる」とだけ記しました。[ 1 ]
この予想は、2009年から2012年にかけての一連の論文で最終的に肯定的に決着しました。2009年8月25日のArXivへの投稿で、 [ 2 ] Daniel Wiseは、当時未発表の長い原稿を参照して、3次元多様体が閉じていて、双曲的で、ハーケンである場合の予想を証明したと暗黙のうちに示唆しました。これに続いて、Electronic Research Announcements in Mathematical Sciencesにサーベイ記事が掲載されました。[ 3 ] その後、Wiseによる前述の長い原稿を含め、いくつかの他の記事[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]が発表されました。 [ 7 ] 2012年3月、パリのアンリ・ポアンカレ研究所での会議中に、 Ian Agolは、閉じた双曲型3次元多様体に対するハーケン予想を事実上証明できると発表しました。 [ 8 ]ダニエル・ワイズの結果と合わせると、これはすべての閉じた双曲型3次元多様体に対して仮想ファイバー予想が成り立つことを意味する。
参照
注記
- ^サーストン 1982年、380ページ。
- ^ベルジェロン, ニコラス; ワイズ, ダニエル T. (2012). 「キュビュレーションの境界条件」.アメリカン・ジャーナル・オブ・マスマティクス. 134 (3): 843– 859. arXiv : 0908.3609 . doi : 10.1353/ajm.2012.0020 . MR 2931226 .
- ^ワイズ、ダニエル (2009). 「研究発表：準凸階層を持つ群の構造」 .電子数学研究発表. 16 : 44–55 . doi : 10.3934/era.2009.16.44 .
- ^ Haglund, Frédéric; Wise, Daniel (2012). 「特殊立方複体の組み合わせ定理」 Annals of Mathematics . 176 (3): 1427– 1482. doi : 10.4007/annals.2012.176.3.2 .
- ^ Christopher Hruska, GC; Wise, Daniel T. (2014). 「立方群の有限性特性」. Compositio Mathematica . 150 (3): 453– 506. arXiv : 1209.1074 . doi : 10.1112/S0010437X13007112 . S2CID 119341019 .
- ^スー、ティム;ワイズ、ダニエル T. (2015)。 「異常なアマルガムの培養」。数学の発明。199 (2): 293–331。ビブコード: 2015InMat.199..293H。土井：10.1007/s00222-014-0513-4。S2CID 122292998。
- ^ Wise, Daniel T.準凸階層を持つグループの構造(PDF)。
- ^ Agol, Ian (2013). 「仮想ハーケン予想」 . Documenta Mathematica . 18.イアン・アゴル、ダニエル・グローブス、ジェイソン・マニングによる付録付き: 1045–1087 . arXiv : 1204.2810 . MR 3104553 .
参考文献
- サーストン, ウィリアム・P. (1982). 「3次元多様体、クライン群、双曲幾何学」 .アメリカ数学会報. 6 (3): 357– 382. CiteSeerX 10.1.1.535.7618 . doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 .
- D. Gabai、「表面バンドルによって有限に覆われた 3 次元多様体について」、低次元トポロジーとクライン群 (編: DBA Epstein)、ロンドン数学会講義ノートシリーズ vol 112 (1986)、p. 145-155。
- Agol, Ian (2008). 「仮想ファイバー化の基準」. Journal of Topology . 1 (2): 269– 284. arXiv : 0707.4522 . doi : 10.1112/jtopol/jtn003 . S2CID 3028314 .
外部リンク
- クラライヒ、エリカ(2012年10月2日). 「図形を理解する：双曲幾何学から立方体複体へ、そしてまた双曲幾何学へ」 Quanta Magazine .
