ヴィタリ被覆補題

数学において、ヴィタリ被覆補題は、ユークリッド空間の測度論でよく用いられる組合せ論的かつ幾何学的な結果である。この補題は、ヴィタリ被覆定理の証明における、独立した関心事である中間ステップである。被覆定理は、イタリアの数学者ジュゼッペ・ヴィタリに帰せられる。^{[ 1 ]}この定理は、ルベーグ無視集合を除いて、 R ^dの与えられた部分集合E を、 Eのヴィタリ被覆から抽出された互いに素な族で被覆することが可能であることを述べている。

ヴィタリ被覆補題

における補題の視覚化。${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

上：ボールの集合。緑のボールは互いに素な部分集合。下：半径の3倍の部分集合がすべてのボールを覆っている。

この補題には、有限版と無限版という2つの基本的なバージョンがあります。どちらの補題も、距離空間の一般的な設定において証明することができ、典型的にはこれらの結果はユークリッド空間 の特殊なケースに適用されます。どちらの定理においても、次の記法を使用します。が球体で の場合、は球体 について と書きます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\textstyle B=B(x,r)}$ ${\displaystyle c\geq 0}$ ${\displaystyle cB}$ ${\textstyle B(x,cr)}$

限定版

有限被覆補題—任意の距離空間に含まれる球の有限集合を とする。 すると、これらの球の部分集合が存在し、それらは互いに素であり、${\displaystyle B_{1},\dots ,B_{n}}$ ${\displaystyle B_{j_{1}},B_{j_{2}},\dots ,B_{j_{m}}}$ $${\displaystyle B_{1}\cup B_{2}\cup \dots \cup B_{n}\subseteq 3B_{j_{1}}\cup 3B_{j_{2}}\cup \dots \cup 3B_{j_{m}}.}$$

与えられたボール（赤色）は、いくつかの選択されたボール（緑色）と交差するはずです。これらのボールのうち、最も小さい指数を持つ緑色のボールを選んでください。そのボールは、構成上、必ず半径を持ちます。${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle B_{j_{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r(B_{j_{k}})\geq r(B_{i})}$

証拠

一般性を損なうことなく、球の集合は空ではない、つまりn  > 0であると仮定する。最大半径の球を とする。帰納的に、 が選ばれたと仮定する。 に と素な球が存在する場合、そのような球を最大半径の球とする（同点の場合は任意に決定する）。そうでない場合は、 m  := kと設定し、帰納的定義を終了する。 ${\displaystyle B_{j_{1}}}$ ${\displaystyle B_{j_{1}},\dots ,B_{j_{k}}}$ ${\displaystyle B_{1},\dots ,B_{n}}$ ${\displaystyle B_{j_{1}}\cup B_{j_{2}}\cup \dots \cup B_{j_{k}}}$ ${\displaystyle B_{j_{k+1}}}$

ここで と設定します。残っているのは、任意の に対して が成り立つことを示すことです。 であればこれは明らかです。そうでない場合、 と交差するような が必ず存在します。可能な限り最小のものを選び、 の半径は の半径と少なくとも同じ大きさであることに注意してください。すると、三角不等式から、必要に応じて が成り立ちます。 ${\textstyle X:=\bigcup _{k=1}^{m}3\,B_{j_{k}}}$ ${\displaystyle B_{i}\subset X}$ ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$ ${\displaystyle i\in \{j_{1},\dots ,j_{m}\}}$ ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,m\}}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle B_{j_{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B_{j_{k}}}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}\subset 3\,B_{j_{k}}\subset X}$

無限版

無限被覆補題—可分距離空間における任意の非退化球体の集合 とし、 は球体B の半径を表すものとする。すると、の球体が互いに素であり、 を満たすような可算な部分集合が存在する。さらに、各 はと交差する。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$ $${\displaystyle R:=\sup \,\{\mathrm {rad} (B):B\in \mathbf {F} \\infty }$$ ${\displaystyle \mathrm {rad} (B)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} \subset \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ $${\displaystyle \bigcup _{B\in \mathbf {F} }B\subseteq \bigcup _{C\in \mathbf {G} }5\,C.}$$ ${\displaystyle B\in \mathbf {F} }$ ${\displaystyle C\in \mathbf {G} }$ ${\displaystyle B\subset 5C}$

以下の証明は（Evans & Gariepy 1992、セクション1.5.1）に基づいています。

証拠

Fを次のように定義される部分集合F _n , n  ≥ 0 に分割することを考えます。

${\displaystyle \mathbf {F} _{n}=\{B\in \mathbf {F} :2^{-n-1}R<{\text{rad}}(B)\leq 2^{-n}R\}。}$

つまり、半径が (2 ^{− n −1} R , 2 ^{− n} R ]にある球Bから成ります。 G _n  ⊂ F _nとなるシーケンスG _nは、次のように帰納的に定義されます。まず、H ₀  = F ₀とし、G _{0 を}H ₀の最大の分離部分集合とします（このような部分集合はゾルンの補題により存在します）。G 0 _, ..., G _{n が}選択されていると仮定して、 ${\textstyle \mathbf {F} _{n}}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{n+1}=\{B\in \mathbf {F} _{n+1}:\ B\cap C=\emptyset ,\ \ \forall C\in \mathbf {G} _{0}\cup \mathbf {G} _{1}\cup \dots \cup \mathbf {G} _{n}\},}$

G _{n +1を}H _{n +1}の極大分離部分集合 とする。部分集合

${\displaystyle \mathbf {G} :=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbf {G} _{n}}$

Fは定理の要件を満たしています。Gは互いに素なコレクションであり、与えられた距離空間が可分であるため可算です。さらに、すべてのボールB  ∈ F は、 B  ⊂ 5  CとなるボールC  ∈ Gと交差します。 確かに、いくつかが与えられれば、B がF _nに属するようなnが存在する必要があります。B はH _nに属さず、n  > 0 であり、B がG ₀、...、G _{n −1}の和集合からのボールと交差するか、B  ∈ H _nであり、 G _nの最大性により、B はG _n内のボールと交差する ことを意味します。いずれの場合でも、B は、 G ₀、...、G _nの和集合に属するボールCと交差します。このようなボールC の半径は、 2 ^{− n −1} Rよりも大きくなければなりません。Bの半径は2 ^{− n} R以下なので、三角不等式から、主張通りB  ⊂ 5  Cと結論付けられます。このことから直ちに次のことが分かります。 ${\displaystyle B\in \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \bigcup _{B\in \mathbf {F} }B\subseteq \bigcup _{C\in \mathbf {G} }5\,C}$

備考

• 無限版では、最初の球の集合は可算でも非可算でも構いません。可分距離空間では、球の任意の対素集合は可算でなければなりません。非可分空間では、同じ議論から、対素な部分族が存在することが示されますが、その族は必ずしも可算である必要はありません。
• 半径が制限されていない場合、結果は失敗する可能性があります。R d 内の 0 を中心とするすべてのボールのファミリーを検討してください。どの分離サブファミリーも 1 つのボールBのみで構成され、5  Bに^はこのファミリーのすべてのボールが含まれません。
• 定数5は最適ではありません。F _nを定義する際に、2 ^{− n} ではなく、c ^{− n}（c > 1）のスケールを用いると、最終的な値は5ではなく1 + 2 cになります。3より大きい定数であれば補題を正しく記述できますが、3はそうではありません。
• より詳細な分析を用いると、元の集合FがR ^dの部分集合Eのヴィタリ被覆である場合、上記の証明で定義された部分集合GはE をルベーグ無視集合まで被覆することが示される。^{[ 2 ]}

用途と使用方法

ヴィタリの補題の応用として、ハーディ・リトルウッドの最大不等式 の証明が挙げられます。この証明のように、ヴィタリの補題は、例えば、ある球体の集合E  ⊂ R ^dのd次元ルベーグ測度, , を考えるときによく用いられます。この球体は、ある特定の球体の集合の和集合に含まれており、それぞれの球体は、より容易に計算できる測度を持つか、あるいは、利用したい特別な性質を持っています。したがって、この和集合の測度を計算すれば、 Eの測度の上限が得られます。しかし、これらの球体が重なり合っている場合、それらの和集合の測度を計算するのは困難です。ヴィタリの補題により、となるような互いに素な部分集合を選ぶことができます。したがって、 ${\displaystyle \lambda_{d}}$ ${\displaystyle \{B_{j}:j\in J\}}$ ${\displaystyle \left\{B_{j}:j\in J'\right\}}$ ${\textstyle \bigcup _{j\in J'}5B_{j}\supset \bigcup _{j\in J}B_{j}\supset E}$

${\displaystyle \lambda_{d}(E)\leq \lambda_{d}{\biggl (}\bigcup_{j\in J}B_{j}{\biggr )}\leq \lambda_{d}{\biggl (}\bigcup_{j\in J'}5B_{j}{\biggr )}\leq \sum_{j\in J'}\lambda_{d}(5B_{j}).}$

さて、 d次元の球の半径を5倍にすると体積は^5d倍に増加するので、

${\displaystyle \sum _{j\in J'}\lambda _{d}(5B_{j})=5^{d}\sum _{j\in J'}\lambda _{d}(B_{j})}$

そしてこうして

${\displaystyle \lambda _{d}(E)\leq 5^{d}\sum _{j\in J'}\lambda _{d}(B_{j}).}$

ヴィタリ被覆定理

被覆定理では、与えられた集合E  ⊆  R ^dを、 Eの Vitali 被覆から抽出された分離した部分集合で、「無視できる集合」まで被覆することを目的とします 。EのVitali クラスまたはVitali 被覆とは、すべてのx  ∈  Eおよびδ > 0 に対して、集合U が存在し、 x  ∈  Uであり、Uの直径がゼロ以外で δ未満であるような集合の集合です。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

ヴィタリの古典的な設定では、^{[ 1 ]}無視できる集合はルベーグ無視できる集合であるが、ルベーグ測度以外の測度やRd以外の空間も考慮されており、以下の関連セクションで示され^ている。

次の観察は有用である: がEの Vitali 被覆であり、E が開集合Ω ⊆  R ^dに含まれている場合、 Ω に含まれるの集合Uの部分集合もEの Vitali 被覆である。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

ルベーグ測度に対するヴィタリの被覆定理

ルベーグ測度λ _dの次の被覆定理は、ルベーグ（1910）によるものである。R ^dの可測部分集合の集まりが（ルベーグの意味で）正則族であるとは、定数Cが存在し、 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle \operatorname {diam} (V)^{d}\leq C\,\lambda _{d}(V)}$

集合 の任意の集合Vに対して、 が成り立つ。 立方体の族は正則族 の例であり、また、ある固定されたm ≥ 1 に対して辺の比がm ⁻¹とmの間に収まるようなR ²の長方形の族も正則族 の例である^{。R d}に 任意のノルムが与えられた場合、そのノルムに関連付けられた計量の球体の族は別の例である。これに対し、 R ^2のすべての長方形の族は正則 ではない。${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}(m)}$

定理— E  ⊆  R ^{d を}有限ルベーグ測度を持つ可測集合とし、Eのヴィタリ被覆となるR ^dの閉部分集合の正則族とする。すると、有限または可算無限の互いに素な部分集合が存在し、 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle \{U_{j}\}\subseteq {\mathcal {V}}}$ $${\displaystyle \lambda _{d}{\biggl (}E\setminus \bigcup _{j}U_{j}{\biggr )}=0.}$$

Vitali (1908)の元々の結果は、この定理の特殊なケースであり、d  = 1 であり、有限測度を持つ実数直線Eの測度可能な部分集合 E に対する Vitali 被覆となる区間の集合である。 上記の定理は、E が有限測度を持つと仮定しなくても成り立つ。これは、有限測度の場合の被覆結果を、任意の整数n ≥ 0 に対して、 n  < | x | < n +1となる点xの開環 Ω _nに含まれるE の部分に適用することで得られる。^{[ 3 ]}${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

多少関連のある被覆定理にベシコヴィッチの被覆定理がある。部分集合A  ⊆  R ^dの各点aに、中心a、正の半径r _aを持つユークリッド球体B ( a ,  r _a )が割り当てられる。そして、ヴィタリの被覆補題と同様に、これらの球体の部分集合が選択され、特定の方法でA が被覆される。ベシコヴィッチの被覆定理とヴィタリの被覆補題の主な違いは、一方では、ヴィタリの非連続性要件が、任意の点x  ∈  R ^dを含む選択された球体の個数N _xが次元dのみに依存する定数B _dで制限されるという事実に緩和される点である。他方では、選択された球体は与えられた中心すべてからなる集合Aを被覆する点である。 ^{[ 4 ]}

ハウスドルフ測度に対するヴィタリの被覆定理

ルベーグ測度の代わりにハウスドルフ測度を考える場合にも同様の目的が達成できる。その場合、以下の定理が成立する。^{[ 5 ]}

定理— H ^{s を}s次元ハウスドルフ測度とし、E  ⊆  R ^dをH ^s可測集合とし、Eの閉集合のヴィタリ類とする。すると、（有限または可算無限）互いに素な部分集合が存在し、以下のいずれか を満たす。${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle \{U_{j}\}\subseteq {\mathcal {V}}}$ $${\displaystyle H^{s}\left(E\setminus \bigcup _{j}U_{j}\right)=0}$$ $${\displaystyle \sum _{j}\operatorname {diam} (U_{j})^{s}=\infty .}$$

さらに、Eが有限のs次元ハウスドルフ測度を持つ場合、任意のε > 0に対して、この部分集合{ U _j }  を選択して、

${\displaystyle H^{s}(E)\leq \sum _{j}\mathrm {diam} (U_{j})^{s}+\varepsilon .}$

この定理は、上記で示したルベーグの定理の結果を示唆する。実際、s  = dのとき、 R ^d上のハウスドルフ測度H ^{s は}d次元ルベーグ測度の倍数と一致する。もし素集合が正則であり、有限ルベーグ測度を持つ 可測領域Bに含まれるならば、${\displaystyle \{U_{j}\}}$

${\displaystyle \sum _{j}\operatorname {diam} (U_{j})^{d}\leq C\sum _{j}\lambda _{d}(U_{j})\leq C\,\lambda _{d}(B)<+\infty }$

これにより、前の定理の最初の主張における2番目の可能性は排除されます。したがって、Eはルベーグ無視集合を除いて、選択された分離部分集合によって覆われます。

被覆補題から被覆定理へ

被覆補題は、ヴィタリ被覆定理の次の基本形式を証明する際の中間ステップとして使用できます。

定理- R ^dのすべての部分集合 Eと、閉球のコレクションFによる E のすべてのヴィタリ被覆に対して、 E をルベーグ無視集合まで被覆する 分離した部分集合Gが存在する。

証明:一般性を失うことなく、Fのすべての球は非退化であり、半径が 1 以下であると仮定できます。被覆補題の無限形式により、 Fの可算な互いに素な部分集合が存在し、すべての球B  ∈ Fは、 B  ⊂ 5  Cとなる球C  ∈ Gと交差します。r  > 0 が指定されているとし、Z が、 Gのどの球にも含まれず、0 を中心とする半径rの開球B ( r )に属する点z  ∈ Eの集合を表すものとします。任意のrに対して、 Zがルベーグ無視可能であることを示せば十分です。 ${\displaystyle \mathbf {G} }$

G内の球のうちB ( r )と交わる部分集合をとします。は有限か可算無限であることに注意してください。z  ∈ Zを固定とします。各 N について、z はZの定義により閉集合には属しません。しかし、ヴィタリ被覆の性質により、 z を含み、 B ( r )に含まれ、Kと交わらない球B  ∈ Fが見つかります。G の性質により、球B は何らかの球と交差し、 に含まれます。しかし、 KとB は交わるので、i > Nでなければなりません。したがって、あるi > N に対して、したがって ${\displaystyle \mathbf {G} _{r}=\{C_{n}\}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{r}}$ ${\displaystyle K=\bigcup _{n\leq N}C_{n}}$ ${\displaystyle C_{i}\in \mathbf {G} }$ ${\displaystyle 5C_{i}}$ ${\displaystyle z\in 5C_{i}}$

${\displaystyle Z\subset \bigcup _{n>N}5C_{n}.}$

これにより、すべてのNに対して不等式 が成立する。

${\displaystyle \lambda _{d}(Z)\leq \sum _{n>N}\lambda _{d}(5C_{n})=5^{d}\sum _{n>N}\lambda _{d}(C_{n}).}$

しかし、の球はB(r+2)に含まれており、これらの球は互いに素なので、 ${\displaystyle \mathbf {G} _{r}}$

${\displaystyle \sum _{n}\lambda _{d}(C_{n})<\infty .}$

したがって、上記の不等式の右側の項はNが無限大に近づくにつれて0に収束し、 Zは必要に応じて無視できることがわかります。^{[ 6 ]}

無限次元空間

ヴィタリ被覆定理は無限次元の設定では成り立たない。この方向における最初の結果は、1979年にデイヴィッド・プライスによって与えられた： ^{[ 7 ]}（無限次元）可分ヒルベルト空間H上にガウス測度γが存在するので、ヴィタリ被覆定理は ( H , Borel( H ),  γ ) に対しては成り立たない。この結果は2003年にヤロスラフ・ティシェルによって強化された：ヴィタリ被覆定理は、任意の（無限次元）可分ヒルベルト空間上の任意の無限次元ガウス測度に対して実際に成り立たない。 ^{[ 8 ]}

参照

• ベシコヴィッチ被覆定理

注記

1. （Vitali 1908）。
2. このエントリの「被覆補題から被覆定理へ」のセクションを参照してください
3. ( Evans & Gariepy 1992 ) を参照。
4. Vitali (1908) は、無視できる誤差を許容した。
5. (ファルコナー 1986 )。
6. この証明は ( Natanson 1955 ) に基づいており、一部の表記は ( Evans & Gariepy 1992 ) から引用しています。
7. (プライス 1979 )。
8. (ティシェル 2003 )。

参考文献

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• ファルコナー、ケネス・J.（1986）「フラクタル集合の幾何学」、ケンブリッジ数学論集、第85巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、pp. xiv+162、ISBN 0-521-25694-1、MR  0867284、Zbl  0587.28004
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• スタイン、エリアス・M.；シャカルチ、ラミ（2005）『実解析学 測度論、積分、ヒルベルト空間』、プリンストン解析講義III、プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局、pp. xx+402、ISBN 0-691-11386-6、MR  2129625、Zbl  1081.28001
• ティシェル、ヤロスラフ（2003）、「ヒルベルト空間におけるヴィタリ被覆定理」、アメリカ数学会誌、355（8）：3277–3289（電子版）、doi：10.1090/S0002-9947-03-03296-3、MR  1974687、Zbl  1042.28014
• Vitali、Giuseppe (1908) [1907 年 12 月 17 日]、「Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali」、Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (イタリア語)、43 : 75–92、JFM  39.0101.05(タイトルの翻訳) 「実変数の点の群と関数について」は、ヴィタリ被覆定理の最初の証明を含む論文です。