トポロジの比較

位相幾何学および関連する数学の分野において、与えられた集合上のすべての可能な位相の集合は半順序集合を形成する。この順序関係は位相の比較に利用できる。

意味

集合上の位相は、「開」とみなされる部分集合の集合として定義することができる。（別の定義として、「閉」とみなされる部分集合の集合とすることもある。位相を定義するこの2つの方法は、開集合の補集合は閉集合であり、その逆もまた真であるため、本質的に同等である。以下では、どちらの定義を用いても構わない。）

明確にするために、読者は位相を位相空間の開集合の族として考えるべきです。なぜなら、それが「位相」という言葉の標準的な意味だからです。

τ ₁とτ ₂を集合X上の2つの位相とし、 τ _1はτ ₂に含まれるものとする。

\tau_{1}\subseteq \tau_{2}

。

つまり、τ _{1の全ての元は}τ ₂の元でもある。したがって、 τ ₁の位相はτ ₂よりも粗い（弱い、あるいは小さい）位相であり、 τ _2はτ ₁よりも細かい（強い、あるいは大きい）位相であると言われる。 ^[^{注 1}^]

さらに

\tau _{1}\neq \tau _{2}

τ ₁はτ ₂よりも 厳密に粗く、τ ₂はτ ₁よりも厳密に細かいと言えます。^[¹^]

二項関係⊆は、X上のすべての可能な位相の集合上の半順序関係を定義します。

例

X上の最も細かい位相は離散位相であり、この位相はすべての部分集合を開集合とする。X 上の最も粗い位相は自明位相であり、この位相は空集合と空間全体のみを開集合として許容する。

関数空間や測度空間には、しばしば複数の位相が存在する。複雑な関係については、ヒルベルト空間上の作用素の集合上の位相を参照のこと。

デュアルペア上のすべての可能な極性トポロジは、弱いトポロジよりも細かく、強いトポロジよりも粗いです。

複素ベクトル空間C ^{n は、}通常の（ユークリッド）位相、あるいはそのザリスキー位相のいずれかを備えることができる。後者において、C ⁿの部分集合Vが閉集合であるための必要十分条件は、それが何らかの多項式方程式系のすべての解から構成されることである。そのようなVは通常の意味で閉集合でもあるが、その逆は成り立たないため、ザリスキー位相は通常の位相よりも厳密に弱い。

プロパティ

τ ₁とτ ₂を集合X上の2つの位相とします。このとき、以下の文は同値です。

τ ₁ ⊆ τ ₂。
恒等写像id _X : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ ) は連続写像である。
恒等写像 id _X : ( X , τ ₁ ) → ( X , τ ₂ ) は強開写像である。
恒等写像 id _X : ( X , τ ₁ ) → ( X , τ ₂ ) は、相対的に開いた写像である。

(恒等写像 id _Xは射影的であるため、相対的に開いている場合のみ、強開いていることになります。)

上記の同値な記述から直ちに導かれる二つの帰結は、

連続写像f : X → Y は、 Y上の位相が粗くなるか、 X 上の位相が細かくなる場合でも連続のままです。
開いた（閉じた）写像f : X → Yは、 Y上の位相がより細かくなるか、 X 上の位相がより粗くなる場合、開いた（閉じた）写像のままです。

近傍基数を用いて位相を比較することもできます。集合X上の2つの位相をτ ₁とτ ₂とし、i = 1,2に対してx ∈ Xにおける位相τ _iの局所基数B _i ( x ) とします。このとき、 τ ₁ ⊆ τ _{2となるのは、すべての}x ∈ Xに対して、 B ₁ ( x )の各開集合U _1がB ₂ ( x )の開集合U ₂のいずれかを含む場合のみです。直感的に、これは理にかなっています。より細かい位相ほど近傍は小さくなるはずです。

位相格子

集合X上のすべての位相の集合は、半順序関係 ⊆ とともに、任意の交差に対して閉じた完全格子を形成する。 ^{[ 2 ]} つまり、X上の任意の位相の集合は、交わり（または下限）と結合（または上限）を持つ。位相の集合の交わりは、それらの位相の交差である。しかし、結合は一般にそれらの位相の和集合ではなく（2つの位相の和集合が位相である必要はない）、和集合によって生成される位相である。

あらゆる完全格子は有界格子でもあり、つまり最大元と最小元を持つ。位相の場合、最大元は離散位相であり、最小元は自明位相である。

集合上の位相格子は補格子である。つまり、上の位相が与えられたとき、その交差が自明位相であり、和によって生成される位相が離散位相であるような位相が存在する。 ^[³^]^[⁴^] $X$ $\tau$ $X$ $\tau'$ $X$ $\tau \cap \tau '$ $\tau \cup \tau '$