連続関数

数学において、連続関数とは、引数がわずかに変化すると関数の値もわずかに変化するような関数のことである。これは、不連続と呼ばれる値の急激な変化がないことを意味する。より正確には、引数の変化が十分に小さいものに制限することで関数の値が任意に小さくなることが保証できる場合、関数は連続である。不連続関数とは連続ではない関数のことである。19世紀まで、数学者は主に連続性の直感的な概念に依存し、連続関数のみを考えていた。極限のイプシロン-デルタ定義は、連続性の定義を形式化するために導入された。

連続性は、微積分学と数学解析学の中核概念の一つであり、関数の引数と値は実数と複素数である。この概念は、計量空間間および位相空間間の関数にも一般化されている。後者は最も一般的な連続関数であり、その定義は位相幾何学の基礎となっている。

連続性のより強い形態は一様連続性である。順序理論、特に領域理論において、連続性の関連概念としてスコット連続性がある。

例えば、時刻tにおける花の高さを表す関数H ( t )は連続関数とみなされます。一方、時刻tにおける銀行口座の残高を表す関数M ( t )は、預金または引き出しが行われるたびに「ジャンプ」するため、不連続関数とみなされます。

歴史

連続性のイプシロン・デルタ定義の形式は、 1817年にベルナルド・ボルザノによって初めて与えられた。オーギュスタン＝ルイ・コーシーは連続性を次のように定義した。独立変数xの無限小増分は常に従属変数yの無限小変化をもたらす（例えば、Cours d'Analyse、34ページを参照）。コーシーは無限小量を変数量の観点から定義し、彼の連続性の定義は、今日使用されている無限小定義とほぼ一致している（微小連続性を参照）。正式な定義と点単位の連続性と一様連続性の区別は、1830年代にボルザノによって初めて与えられたが、その研究が出版されたのは1930年代になってからであった。ボルツァーノ^{[ 1 ]}と同様に、カール・ヴァイエルシュトラス^{[ 2 ]}は関数が点cで、かつcの両側で定義されない限り連続性を否定しましたが、エドゥアール・グルサ^{[ 3 ]}は関数が点cと片側でのみ定義されることを許容し、カミーユ・ジョルダン^{[ 4 ]}は関数がcでのみ定義されている場合でも連続性を認めました。これら 3 つの点ごとの連続性の非同等な定義はすべて現在でも使用されています。^{[ 5 ]}エドゥアルト・ハイネは1872 年に一様連続性の最初の定義を提供しましたが、このアイデアは1854 年のペーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレの講義に基づいています。^{[ 6 ]}${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle f(x+\alpha)-f(x)}$

実関数

意味

関数はその定義域（）上で連続であるが、実数上で定義された区分関数として考えると、では不連続である。 ^{[ 7 ]}${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle x=0,}$

実数から実数への関数である実関数は、直交平面上のグラフで表すことができる。このような関数が連続であるとは、大まかに言えば、グラフが実数直線全体を定義域とする単一の途切れのない曲線である場合である。より数学的に厳密な定義は以下に示す。^{[ 8 ]}

実関数の連続性は通常、極限によって定義されます。変数xを持つ関数fが実数cで連続であるとは、 x がcに近づくときの極限が次の式に等しい場合です。${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f(c).}$

関数の（大域的）連続性にはいくつかの異なる定義があり、その定義域の性質に依存します。

関数が開区間上で連続であるとは、区間が関数の定義域に含まれ、かつ関数が区間のどの点においても連続であることを意味する。区間（実数直線全体）上で連続な関数は、単に連続関数と呼ばれることが多い。また、そのような関数はの全域において連続であるとも言われる。例えば、すべての多項式関数は、あらゆる区間において連続である。 ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

関数は半開区間または閉区間上で連続である。区間が関数の定義域に含まれる場合、関数は区間内のどの内部点においても連続であり、区間に属する各端点における関数の値は、変数が区間の内部から端点に向かう際の関数の値の極限となる。例えば、関数はその定義域全体、つまり半開区間において連続である。${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle [0,+\infty ).}$

よく見られる関数の多くは、一部の孤立点を除くすべての実数によって定義域が構成される部分関数です。例えば、逆関数や正接関数などが挙げられます。これらの関数が定義域上で連続である場合、文脈によっては、どこでも連続しているわけではないものの、連続であると言えます。また、例外点付近での挙動に関心がある場合など、他の文脈では、不連続であると言えます。 ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x\mapsto\tanx.}$

部分関数が不連続であるとは、ある点がその定義域の位相閉包に属し、かつその点が関数の定義域に属さないか、関数がその点で連続していないことのいずれかである。例えば、関数と は0で不連続であり、 0で定義する際にどの値を選択しても不連続のままである。関数が不連続となる点は不連続点と呼ばれる。 ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ ${\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}$

数学表記法を使用すると、上記の 3 つの意味で連続関数を定義する方法はいくつかあります。

を実数の定義 域に含まれる関数とします。${\textstyle f:D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

可能性としては、次のものがあります (ただしすべてではありません) 。 ${\displaystyle D}$

• ${\displaystyle D}$ は実数直線全体である。つまり、${\displaystyle D=\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle D}$ は、 aとbが実数である形の閉区間である。${\displaystyle D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\},}$
• ${\displaystyle D}$ は、 aとbが実数である 形の開区間である。${\displaystyle D=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},}$

開区間の場合、およびは に属さず、値および は定義されません。また、定義されている場合でも、 上の連続性には影響しません。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle D}$

関数の極限による定義

関数fがその定義域の点cで連続であるとは、 x がfの定義域を通ってc に近づくときにの極限が存在し、それが^{[ 9 ]}に等しい場合である。数学的記法では、これは次のように書ける 。 詳しくは、これは3つの条件を意味する。まず、f はcで定義されなければならない（ cがfの定義域にあるという要件によって保証される）。次に、その方程式の極限が存在しなければならない。3つ目に、この極限の値は${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f(c).}$ $${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=f(c).}$$ ${\displaystyle f(c).}$

(ここでは、 fの定義域に孤立点が存在しないものと仮定しています。)

近隣地域における定義

点cの近傍とは、少なくともcから一定距離内にあるすべての点を含む集合である。直感的に、関数 f が点cにおいて連続であるとは、関数fのc近傍における値域が、cの周りの近傍の幅がゼロに縮小するにつれて1 点に縮小することである。より正確には、関数fがその定義域の点cにおいて連続であるとは、任意の近傍に対して、その定義域内に次の条件を満たす近傍が存在することである。${\displaystyle f(c)}$ ${\displaystyle N_{1}(f(c))}$ ${\displaystyle N_{2}(c)}$ ${\displaystyle f(x)\in N_{1}(f(c))}$ ${\displaystyle x\in N_{2}(c).}$

近傍は任意の位相空間で定義されるため、この連続関数の定義は実関数だけでなく、定義域と余定義域が位相空間である場合にも適用され、したがって最も一般的な定義となる。したがって、関数はその定義域のすべての孤立点において自動的に連続となる。例えば、整数上のすべての実数値関数は連続である。

シーケンスの限界による定義

数列exp(1/ n )はexp(0) = 1に収束する。

代わりに、 cに収束する領域内の任意の点の列 に対して、対応する列が収束することを要求することができる 。数学的記法では、${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$ ${\displaystyle \left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f(c).}$ $${\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.}$$

ワイエルシュトラスとジョルダンによる連続関数の定義（イプシロン-デルタ）

ε - δの定義の図: x = 2において、δ ≤ 0.5 の任意の値は、 ε = 0.5の定義の条件を満たします。

関数の極限の定義を明示的に含めることで、自己完結的な定義が得られます。上記の関数と定義域の要素が与えられた場合、次が成り立つ点で連続であると言えます。どんなに小さい正の実数に対しても、定義 域のすべての に対して の値が を満たすような正の実数が存在し、${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta ,}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .}$$

言い換えると、におけるの連続性は、任意の に対して が存在し、すべての に対して となることを意味します。 ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in D}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in D}$ $${\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta ~~{\text{ は }}~~|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon を意味します。}$$

もっと直感的に言えば、もしすべての値を周りの小さな近傍に留めたいなら、周りの値に対して十分小さい近傍を選ぶ必要があると言える。もしそれができるなら、近傍がどんなに小さくても連続である。${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

現代的な言葉で言えば、これは、位相 （ここでは計量位相 ）の基底に関する関数の連続性の定義によって一般化されます。

ワイエルシュトラスは区間が完全に定義域内にあることを要求したが、ジョルダンはその制限を削除した。 ${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta }$ ${\displaystyle D}$

残余財産の管理に関する定義

証明や数値解析においては、極限がどれだけ速く収束するか、言い換えれば剰余の制御を知る必要があることがよくあります。これは連続性の定義として形式化できます。関数が制御関数と呼ばれるのは、 ${\displaystyle C:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$

• Cは非減少である
• ${\displaystyle \inf _{\delta >0}C(\delta )=0}$

関数がにおいてC連続であるとは、次 のような近傍が存在するときである。${\displaystyle f:D\to R}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\textstyle N(x_{0})}$ $${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right){\text{ すべての }}x\in D\cap N(x_{0}) に対して}$$

関数が において連続であるとは、それが何らかの制御関数Cに対してC連続である場合を指します。 ${\displaystyle x_{0}}$

このアプローチは、許容される制御関数の集合を制限することで、連続性の概念を自然に洗練することにつながります。与えられた制御関数の集合に対して、関数が-連続であるとは、ある に対して-連続であることを意味します。例えば、指数αのリプシッツ連続関数、ヘルダー連続関数、および以下の一様連続関数は、それぞれ制御関数の集合によって定義されます 。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=\{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{uniform cont.}}=\{C:C(0)=0\}}$$

振動を用いた定義

ある点において関数が連続的でないかどうかは、その関数の振動によって定量化されます。

連続性は振動の観点からも定義できます。関数fはある点で連続であるためには、その点での振動がゼロである必要があります。^{[ 10 ]}記号では、この定義の利点は不連続性を定量化できることです。振動は関数がある点で どれだけ不連続であるかを示します。${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$

この定義は記述集合論において不連続点と連続点の集合を研究するのに役立ち、連続点とは振動が より小さい集合の交点（したがって集合）であり、ルベーグの積分可能性条件の一方向の迅速な証明を与える。^{[ 11 ]}${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle G_{\delta }}$

振動は、単純な並べ替えと、振動を定義するための限界 ( lim sup、lim inf ) を使用することによって、定義と等価です。つまり、(特定の時点で) 特定の に対して定義を満たす が存在しない場合、振動は少なくとも であり、逆に、任意のに対して が存在する場合、振動は 0 です。振動の定義は、位相空間から距離空間への写像に自然に一般化できます。 ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0},}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta ,}$

超実数を用いた定義

コーシーは関数の連続性を、次のような直感的な言葉で定義しました。独立変数の微小変化は従属変数の微小変化に対応する（ 『Cours d'analyse』34ページ参照）。非標準解析は、これを数学的に厳密にする方法です。実数直線に無限数と微小数を加えて超実数を形成します。非標準解析において、連続性は次のように定義できます。

実数値関数fがxで連続であるとは、その超実数への自然拡張が、任意の無限小dxに対して無限小であるという性質を持つときである^{[ 12 ]}${\displaystyle f(x+dx)-f(x)}$

（ミクロ連続性を参照）。言い換えれば、独立変数の微小な増加は常に従属変数の微小な変化を生じ、オーギュスタン＝ルイ・コーシーの連続性の定義を現代風に表現したものである。

継続性のルール

3次関数のグラフにはジャンプや穴はありません。関数は連続です。

定義を直接適用して関数の連続性を証明するのは、一般的に容易ではありません。幸いなことに、実際にはほとんどの関数はより単純な関数から構築されており、以下の規則を適用することで、定義方法からその連続性を直ちに推論できます。

• すべての定数関数は連続である
• 恒等関数は連続${\displaystyle f(x)=x}$ である
• 加算と乗算:関数⁠ ⁠${\displaystyle f}$ と⁠ ⁠ が${\displaystyle g}$ それぞれの定義域⁠ ⁠${\displaystyle D_{f}}$ と⁠ ⁠${\displaystyle D_{g}}$ で連続である場合、それらの和⁠ ⁠${\displaystyle f+g}$ と積⁠ ⁠は${\displaystyle f\cdot g}$ 共通部分⁠ ⁠${\displaystyle D_{f}\cap D_{g}}$ で連続です。ここで⁠ ⁠${\displaystyle f+g}$ と⁠ ⁠は${\displaystyle fg}$ ⁠ ⁠${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ と⁠ ⁠${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)}$ によって定義されます。
• 逆数:関数⁠ ⁠${\displaystyle f}$ が定義域⁠ ⁠上で連続である場合、 ${\displaystyle D_{f}}$ ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{f}}}$ で定義されるその逆数は定義域⁠ ⁠ 、つまり⁠ ⁠となる点⁠ ⁠が除去された定義${\displaystyle ({\tfrac {1}{f}})(x)={\tfrac {1}{f(x)}}}$ 域⁠ ⁠上で連続です。${\displaystyle D_{f}\setminus f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=0}$
• 関数の合成:関数⁠ ⁠${\displaystyle f}$ と⁠ ⁠ が${\displaystyle g}$ それぞれの定義域⁠ ⁠${\displaystyle D_{f}}$ と⁠ ⁠上で連続である場合、 ${\displaystyle D_{g}}$ ⁠ ⁠によって定義される合成⁠ ⁠は${\displaystyle g\circ f}$ ⁠ ⁠上で連続であり、 ⁠ ⁠の一部が⁠ ⁠ ⁠内で⁠ ⁠によってマッピングされます。${\displaystyle {1}}$ ${\displaystyle D_{f}\cap f^{-1}(D_{g})}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{g}}$
• 正弦関数と余弦関数 ( ⁠ ⁠${\displaystyle \sin x}$ と⁠ ⁠${\displaystyle \cos x}$ ) はどこでも連続です。
• 指数関数は${\displaystyle e^{x}}$ どこでも連続です。
• 自然対数は、すべての正の実数によって${\displaystyle \ln x}$ 形成される領域上で連続です。${\displaystyle \{x\mid x>0\}}$

連続有理関数のグラフ。関数は に対して定義されていません。垂直線と水平線は漸近線です。${\displaystyle x=-2.}$

これらの規則は、分子と分母に共通の零点がない場合、すべての多項式関数はどこでも連続であり、有理関数はそれが定義されているすべての場所で連続であることを意味します。より一般的には、2つの連続関数の商は、分母の零点以外では連続です。

sinc関数とcos関数

上記の規則が十分でない関数の例としては、 ⁠ ⁠に対して⁠ ⁠および⁠ ⁠で定義されるsinc 関数があります。上記の規則から、この関数が ⁠ ⁠ に対して連続であることがすぐにわかりますが、⁠ ⁠ における連続性を証明するには、を証明する必要があります 。これが真であるため、sinc 関数はすべての実数に対して連続関数であることがわかります 。${\displaystyle \operatorname {sinc} (0)=1}$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\tfrac {\sin x}{x}}}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$$

不連続関数の例

符号関数のプロット。これは を示している。したがって、符号関数は 0 で不連続である（セクション 2.1.3 を参照）。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {sgn} \left({\tfrac {1}{n}}\right)\neq \operatorname {sgn} \left(\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}\right)}$

不連続関数の例としては、ヘヴィサイドステップ関数 があり、これは次のように定義される。 ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\geq 0\\0&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$$

例えば ​​を取ります。するとの周囲には-近傍は存在しません。つまり、のすべての値が の -近傍内、つまりの範囲内に収まるような開区間は存在しません。直感的には、この種の不連続性は関数値の 突然のジャンプと考えることができます。${\displaystyle \varepsilon =1/2}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle (-\delta ,\;\delta )}$ ${\displaystyle \delta >0,}$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle H(0)}$ ${\displaystyle (1/2,\;3/2)}$

同様に、signum関数またはsign関数は では不連続ですが、それ以外の場所では連続です。さらに別の例として、関数は を除くすべての場所で連続です。 $${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ if }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ if }}x=0\\-1&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=0}$

区間(0,1)におけるトーマエ関数の点プロット。中央の一番上の点はf(1/2) = 1/2を示している。

上記のような妥当な連続性と不連続性に加えて、しばしば病的と呼ばれる挙動を示す関数も存在します。例えば、トーマ関数は すべての無理数で連続ですが、すべての有理数で不連続です。同様に、有理数の集合の指示関数であるディリクレ関数は、 どこでも連続 ではありません。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ if }}x={\frac {p}{q}}{\text{(in lowest terms) is a rational number}}\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}}$$ $${\displaystyle D(x)={\begin{cases}0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational }}(\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\\1&{\text{ if }}x{\text{ is rational }}(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}}$$

プロパティ

便利な補題

を一点で連続な関数とし、をそのような値とすると、[ ^{13 ]の}ある近傍にわたって${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)\neq y_{0}.}$ ${\displaystyle f(x)\neq y_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

証明:連続性の定義により、 をとると、 が存在する。 近傍に が存在するとすると、に対して 矛盾が成り立つ。 ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ $${\displaystyle \left|f(x)-f(x_{0})\right|<{\frac {\left|y_{0}-f(x_{0})\right|}{2}}\quad {\text{ whenever }}\quad |x-x_{0}|<\delta }$$ ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$ ${\displaystyle f(x)=y_{0};}$ $${\displaystyle \left|f(x_{0})-y_{0}\right|<{\frac {\left|f(x_{0})-y_{0}\right|}{2}}.}$$

中間値定理

中間値定理は、実数の完全性に基づく存在定理であり、次のように述べています。

実数値関数fが閉区間 上で連続であり、kがとの間のある数であるとき、${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b),}$ ${\displaystyle c\in [a,b],}$ ${\displaystyle f(c)=k.}$

たとえば、子どもが 2 歳から 6 歳の間に身長が 1 メートルから 1.5 メートルに成長した場合、2 歳から 6 歳までの間のある時点で、子どもの身長は 1.25 メートルになっているはずです。

結果として、fが およびで連続であり、符号が異なる場合、ある点において は必ず0に等しくなります。 ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle c\in [a,b],}$ ${\displaystyle f(c)}$

極値定理

極値定理は、関数fが閉区間（または任意の閉有界集合）上で定義され、そこで連続である場合、関数は最大値、すなわち任意の に対して が存在することを述べています。fの最小値についても同様です。これらの記述は、関数が開区間（または閉有界ではない任意の集合）上で定義されている場合には一般には当てはまりません。例えば、開区間 (0,1) 上で定義された連続関数は、それ以上は有界ではないため、最大値には達しません。 ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle c\in [a,b]}$ ${\displaystyle f(c)\geq f(x)}$ ${\displaystyle x\in [a,b].}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},}$

微分可能性と積分可能性との関係

示せばわかるように、すべての微分可能関数は連続である。逆は 成り立たない。例えば、絶対値関数は $${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$$

${\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}\;\;\ x&{\text{ if }}x\geq 0\\-x&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$

はどこでも連続である。しかし、 では微分可能ではない（ただし、他のどこでも微分可能である）。ワイエルシュトラスの関数もどこでも連続であるが、どこでも微分可能ではない。 ${\displaystyle x=0}$

微分可能関数f ( x ) の導関数f′ ( x ) は連続である必要はありません。f′ ( x ) が連続する場合、f ( x ) は連続的に微分可能であるといいます。このような関数の集合は と表されます。より一般的には、 ( の開区間または開部分集合)から実数への関数 で、 fが回微分可能であり、fの - 次導関数が連続するような関数の集合は と表されます。微分可能性クラスを参照してください。コンピュータグラフィックスの分野では、 に関連する（ただし同一ではない）特性は、 (位置の連続性)、 (接線の連続性)、 (曲率の連続性)と呼ばれることがあります。曲線と曲面の滑らかさを参照してください。 ${\displaystyle C^{1}((a,b)).}$ $${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{n}(\Omega ).}$ ${\displaystyle C^{0},C^{1},C^{2}}$ ${\displaystyle G^{0}}$ ${\displaystyle G^{1}}$ ${\displaystyle G^{2}}$

すべての連続関数 は積分可能で ある（例えばリーマン積分の意味で）。逆は成り立たないことが、（積分可能だが不連続な）符号関数が示す通りである。 $${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$$

点ごとの極限と一様極限

連続関数の列のうち、（点ごとの）極限関数が不連続であるもの。収束は一様ではない。${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

すべての に対して 極限が存在するような関数 列 が与えられた場合、結果として得られる関数は関数列の 点ごとの極限と呼ばれます。右のアニメーションが示すように、すべての関数が連続であっても、点ごとの極限関数は連続である必要はありません。ただし、すべての関数が連続で、一様収束定理により、列が一様 に収束する場合、 fは連続です。この定理は、指数関数、対数関数、平方根関数、および三角関数が連続であることを示すために使用できます。 $${\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc :I\to \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$$ ${\displaystyle x\in D,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n\in N}.}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$

方向の連続性

• 
  右連続関数
• 
  左連続関数

不連続関数は、限定された方法で不連続となる場合があり、方向連続性（または右連続関数と左連続関数）と半連続性の概念が生じる。大まかに言えば、関数が右連続とは、極限点に右から近づいたときにジャンプが発生しないことを意味する。正式には、fが点cにおいて右連続であるとは、次が成り立つことを意味する。どんなに小さな数に対しても、定義域内のすべてのxに対して が成り立つような数が存在する。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle c<x<c+\delta ,}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$$

これは連続関数の条件と同じですが、x がcより確実に大きい場合にのみ成立することが求められます。代わりに、 となるすべてのxに対して成立することが求められるため、左連続関数の概念が得られます。関数が連続であるためには、右連続かつ左連続である必要があります。 ${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle c-\delta <x<c}$

半連続性

関数f が点cにおいて下半連続であるとは、おおよそ、起こり得るジャンプが下向きのみで上向きではない場合を言う。つまり、任意の に対して、の 値を持つ定義域内のすべてのxに対してを満たす数が存在する。 逆の条件は上半連続である。 ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |x-c|<\delta ,}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f(x)\geq f(c)-\epsilon .}$$

距離空間間の連続関数

連続実数値関数の概念は、距離空間間の関数に一般化できます。距離空間とは、X内の任意の 2 つの要素の距離の測定値として考えることができる関数 (距離と呼ばれる)を備えたセットです。正式には、距離 は、 いくつかの要件、特に三角不等式 を 満たす関数です。2 つの距離空間とおよび関数が 与えられている 場合、 が点(指定された距離に関して) で連続である場合、任意の正の実数に対して、を満たすすべての がも満たすような正の実数 が存在することになります。上記の実関数の場合と同様に、これは、 の極限を持つすべてのシーケンスに対してが成り立つという条件に相当します。後者の条件は、次のように弱めることができます。が点 で連続である場合、かつその場合に限り、の極限を持つすべての収束シーケンスに対して、シーケンス がコーシーシーケンスであり、が のドメイン内にあります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{X},}$ $${\displaystyle d_{X}:X\times X\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ ${\displaystyle \left(Y,d_{Y}\right)}$ $${\displaystyle f:X\to Y}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c\in X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle d_{X}(x,c)<\delta }$ ${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(c))<\varepsilon .}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim x_{n}=c,}$ ${\displaystyle \lim f\left(x_{n}\right)=f(c).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$

距離空間間の関数が連続する点の集合は集合です。これは連続性の定義  から導かれます。${\displaystyle G_{\delta }}$ ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$

この連続性の概念は、例えば関数解析に応用されている。この分野における重要な主張は、ノルムベクトル空間と（両立するノルムを持つベクトル空間で、 と表記される） 間の線型作用素 が連続である必要十分条件は、それが有界である場合、すなわち、 すべての $${\displaystyle T:V\to W}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \|x\|}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \|T(x)\|\leq K\|x\|}$$ ${\displaystyle x\in V.}$

均一連続性、ヘルダー連続性、リプシッツ連続性

リプシッツ連続関数の場合、グラフが常に完全に円錐の外側に残るように、頂点をグラフに沿って移動できる二重円錐 (白で表示) が存在します。

距離空間間の関数の連続性の概念は、上記の定義において がおよびcに依存する方法を限定することで、さまざまな方法で強化できます。直感的には、上記の関数fが一様連続とは、 が点cに依存しない場合です。より正確には、任意の実数に対して が存在し、任意のに対して が成り立つことが要求されます。したがって、任意の一様連続関数は連続です。その逆は一般には成り立ちませんが、定義域空間Xがコンパクト である場合に成り立ちます。一様連続写像は、より一般的な一様空間の状況で定義できます。^{[ 14 ]}${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle c,b\in X}$ ${\displaystyle d_{X}(b,c)<\delta ,}$ ${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))<\varepsilon .}$

関数が指数 α（実数）でヘルダー連続であるとは、定数Kが存在し、すべての に対して不等式 が成り立つことです。任意のヘルダー連続関数は一様連続です。この特殊な場合はリプシッツ連続と呼ばれます。つまり、関数がリプシッツ連続であるとは、定数Kが存在し、任意の に対して不等式 が成り立つことです^{[ 15 ]}リプシッツ条件は、例えば常微分方程式の解に関するピカール-リンデレフの定理で発生します。 ${\displaystyle b,c\in X,}$ $${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }}$$ ${\displaystyle \alpha =1}$ $${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)}$$ ${\displaystyle b,c\in X.}$

位相空間間の連続関数

連続性のもう一つの、より抽象的な概念は、距離の形式的な概念が一般に存在しない位相空間間の関数の連続性である（距離空間の場合のように）。位相空間とは、集合XとX上の位相の集合であり、位相とは、和集合と積集合に関していくつかの要件を満たす X の部分集合の集合である。これらの要件は、距離空間における開球の性質を一般化するものであり、同時に与えられた点の近傍について論じることも可能にする。位相の元は、（位相に関して） Xの開部分集合と呼ばれる。

二つの位相空間XとYの間の関数 が連続であるとは、任意の開集合に対してその逆像がX の開部分集合となることである。つまり、fは（位相空間の元ではなく）集合XとYの間の関数であるが、 fの連続性はXとYで用いられる位相に依存する。 $${\displaystyle f:X\to Y}$$ ${\displaystyle V\subseteq Y,}$ $${\displaystyle f^{-1}(V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}}$$ ${\displaystyle T_{X}}$

これは、 Yの閉集合（開集合の補集合）の逆像がXで閉じているという条件に相当します。

極端な例を挙げると、集合Xに離散位相（すべての部分集合が開集合である位相） が与えられている場合、任意の 位相空間Tへのすべての関数は連続である。一方、Xに非離散位相（開集合が空集合とXのみである位相）が与えられ、空間T の集合が少なくともT ₀である場合、連続関数は定数関数のみとなる。逆に、余域が非離散である任意の関数は連続である。 $${\displaystyle f:X\to T}$$

一点における連続性

ある点における連続性： の任意の近傍Vに対して、 xの近傍Uが存在し、${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq V}$

連続性の -定義を近傍の言語に翻訳すると、ある点における連続性の次の定義が得られます。 ${\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}$

関数が点において連続であるためには、Yにおける任意の近傍Vに対して、次を満たす近傍U が存在する必要がある。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq V.}$

この定義は、近傍を開近傍に限定した場合の同じ記述と等価であり、像ではなく前像を用いることでいくつかの方法で言い換えることができます。その方法の一つは次のとおりです。近傍を含むすべての集合は近傍であり、かつ最大の部分集合であるため、上記の定義は次のように簡略化できます。 ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq V,}$

関数が点で連続である場合、かつY におけるの任意の近傍Vに対してが の近傍である場合に限ります。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

開集合はすべての点の近傍である集合であるため、関数がXのすべての点で連続するのは、連続関数である場合のみです。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

XとY が距離空間である場合、すべての近傍を考えるのではなく、xとf ( x )を中心とする開球の近傍系を考えるのと同値です。これは、距離空間における連続性の定義を再び示します。一般的な位相空間には、近さや距離の概念はありません。しかし、対象空間がハウスドルフ空間である場合でも、 x がa に近づくときのfの極限がf ( a )である場合に限り、 fがaで連続であることは変わりません。孤立点では、すべての関数は連続です。 ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$

写像がで連続である場合、かつその場合のみ、 が上のフィルタでに収束するもので、 が と書ける場合、必ず で となる。が の近傍フィルタを表す 場合、 がで連続である場合、かつその場合のみ、となる。 ^{[ 16 ]}さらに、これは、プレフィルタが の近傍フィルタのフィルタ基底である場合に限り成立する^{[ 16 ]}${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x,}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$

代替定義

位相構造には同等の定義が複数存在するため、連続関数を定義する同等の方法も複数存在します。

シーケンスとネット

いくつかの文脈では、空間の位相は、極限点によって便宜的に指定される。これは、点がシーケンス の極限である場合を指定することによってよく行われる。それでも、ある意味で大きすぎる空間の場合は、点が、ネットと呼ばれる、有向集合でインデックス付けされた、より一般的な点の集合の極限である場合も指定する。関数が (ハイネ) 連続となるのは、シーケンスの極限をシーケンスの極限に取る場合のみである。前者の場合、極限の保存も十分である。後者の場合、関数はシーケンスのすべての極限を保存するが、それでも連続ではない可能性があり、ネットの保存は必要十分な条件である。

詳細には、関数が順次連続であるとは、内のシーケンスが極限に収束するときはいつでも、そのシーケンスが に収束することです 。したがって、順次連続関数は「順次極限を保存する」ことになります。すべての連続関数は順次連続です。 が第一可算空間であり、可算な選択が成り立つ場合、逆も成り立ちます。つまり、順次極限を保存する任意の関数は連続です。特に、 が距離空間である場合、順次連続性と連続性は同値です。第一可算でない空間の場合、順次連続性は連続性よりも厳密に弱い可能性があります。（2つの性質が同値である空間は、順次空間と呼ばれます。）これが、一般の位相空間ではシーケンスではなくネットを考慮する理由です。連続関数はネットの極限を保存し、この性質が連続関数を特徴付けます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

例えば、実数値関数の場合を考えてみましょう。^{[ 17 ]}

定理—関数が連続するのは、その点で 関数が順次連続している場合のみです。${\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$

証拠

証明。がで連続していると仮定します（連続の意味で）。が で収束する数列とします（このような数列は常に存在します。たとえば、 です）。は で連続しているので、 このような任意の に対して、が で収束する ので、すべて に対して となる自然数を見つけることができます。これを と組み合わせると、が得られます 。 逆に が逐次連続であると仮定すると、背理により続行します。が で連続していないと仮定すると、対応する点 を 取って と呼ぶことができます。このようにして、という 数列を定義しましたが、 という 構築により、逐次連続の仮説に矛盾する数列が定義されました。${\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \epsilon -\delta }$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{n}=x,{\text{ for all }}n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists \delta _{\epsilon }>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{\epsilon }\implies |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon .\quad (*)}$$ ${\displaystyle \delta _{\epsilon }}$ ${\displaystyle \nu _{\epsilon }>0}$ ${\displaystyle n>\nu _{\epsilon },}$ $${\displaystyle |x_{n}-x_{0}|<\delta _{\epsilon },}$$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (*)}$ $${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists \nu _{\epsilon }>0:\forall n>\nu _{\epsilon }\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|<\epsilon .}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \exists \epsilon >0:\forall \delta _{\epsilon }>0,\,\exists x_{\delta _{\epsilon }}:0<|x_{\delta _{\epsilon }}-x_{0}|<\delta _{\epsilon }\implies |f(x_{\delta _{\epsilon }})-f(x_{0})|>\epsilon }$$ ${\displaystyle \delta _{\epsilon }=1/n,\,\forall n>0}$ ${\displaystyle x_{\delta _{\epsilon }}=:x_{n}}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$ $${\displaystyle \forall n>0\quad |x_{n}-x_{0}|<{\frac {1}{n}},\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|>\epsilon }$$ ${\displaystyle x_{n}\to x_{0}}$ ${\displaystyle f(x_{n})\not \to f(x_{0})}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

閉包演算子と内部演算子の定義

内部演算子と閉包演算子の観点から、次の同値性がある。

定理—を位相空間間の写像とする。このとき、以下の写像は同値である 。${\displaystyle f:X\to Y}$

1. ${\displaystyle f}$ 連続している。
2. すべてのサブセットについて${\displaystyle B\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {int} _{Y}B\right)\subseteq \operatorname {int} _{X}\left(f^{-1}(B)\right);}$
3. すべてのサブセットについて${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}\left(f(A)\right).}$

証拠

証明i ⇒ ii。の 部分集合を固定する。 は開集合であり、は連続なので、は において開集合である。 内部の定義により、 はに含まれる最大の開集合である。したがって、${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{Y}B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} _{Y}B)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{Y}B\subseteq B,}$ ${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} _{Y}B)\subseteq f^{-1}(B).}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\left(f^{-1}(B)\right)}$ ${\displaystyle f^{-1}(B).}$ ${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} _{Y}B)\subseteq \operatorname {int} _{X}\left(f^{-1}(B)\right).}$ ii ⇒ iii。 固定してとします。逆に、の開近傍で と交わらない ものを見つけることができると仮定します。ii より、は開近傍です。すると と交わらないの開近傍が見つかりますが、 これはという事実と矛盾します。したがって、${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A.}$ ${\displaystyle f(x)\notin \operatorname {cl} _{Y}\left(f(A)\right),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}\left(f(A)\right)}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)=f^{-1}(\operatorname {int} _{Y}V)\subseteq \operatorname {int} _{X}\left(f^{-1}(V)\right),}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A.}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}\left(f(A)\right).}$ iii ⇒ i。 が閉じているとする。が の逆像であるとする。iii により、 が得られる。 従って、 が得 られる。 したがって、は閉じており、 これで完了である。 ${\displaystyle N\subseteq Y}$ ${\displaystyle M=f^{-1}(N)}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}M\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}\left(f(M)\right).}$ ${\displaystyle f(M)=f(f^{-1}(N))\subseteq N,}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}M\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}N=N.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}M\subseteq f^{-1}\left(f(\operatorname {cl} _{X}M)\right)\subseteq f^{-1}(N)=M.}$ ${\displaystyle M}$

ある点が部分集合に近いと宣言すると、この用語は連続性の平易な英語による記述を可能にする。つまり、すべての部分集合に対して、に近い点をに近い点に写像する場合に限り連続である。同様に、固定された特定の点で連続である場合に限り、が部分集合に近いときはいつでも、が近い。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A).}$

位相空間をその開部分集合で指定する代わりに、 上の任意の位相を閉包演算子または内部演算子によって決定することもできます。具体的には、位相空間の部分集合をその位相閉包に写像する場合、クラトフスキーの閉包公理を満たします。逆に、任意の閉包演算子に対して、上の一意の位相（具体的には）が存在し、任意の部分集合に対して が の位相閉包 に等しい場合を考えます。集合とがそれぞれ閉包演算子（どちらも で表記）に関連付けられている場合、写像が連続であるための必要十分条件は、任意の部分集合に対してが成り立つことです。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {cl} A}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau :=\{X\setminus \operatorname {cl} A:A\subseteq X\}}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}$ ${\displaystyle A\subseteq X.}$

同様に、 の部分集合をその位相的内部に写像することは、内部演算子を定義する。逆に、任意の内部演算子 は（具体的には）上に一意の位相を誘導し、任意の に対して はにおけるの位相的内部に等しい。集合と がそれぞれ内部演算子（両方とも で表記）に関連付けられている場合、写像が連続であるための必要十分条件は、任意の部分集合 に対して となることである^{[ 18 ]}${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {int} A}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau :=\{\operatorname {int} A:A\subseteq X\}}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{(X,\tau )}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {int} }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} B)\subseteq \operatorname {int} \left(f^{-1}(B)\right)}$ ${\displaystyle B\subseteq Y.}$

フィルターとプレフィルター

連続性はフィルタの観点からも特徴付けることができる。関数が連続的であるためには、フィルタが点に収束するたびに、プレフィルタが点に収束する必要がある。この特徴付けは、「フィルタ」という単語を「プレフィルタ」に置き換えても成り立つ。^{[ 16 ]}${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(x).}$

プロパティ

とが連続であれば、合成も連続である。が連続で、 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

• Xがコンパクトであれば、f ( X ) はコンパクトです。
• Xが連結されている場合、f ( X ) は連結されています。
• Xがパス接続されている場合は、f ( X ) もパス接続されています。
• Xがリンデロフであれば、f ( X ) はリンデロフになります。
• Xが分離可能であれば、f ( X ) も分離可能です。

固定集合X上の可能な位相は半順序である。ある位相が別の位相（表記： ）よりも粗いとは、 に関するすべての開部分集合がに関しても開であることを意味する。このとき、恒等写像が 連続であることと、 が等しいこととは同値である（位相の比較も参照）。より一般的には、連続関数は、 位相がより粗い位相に置き換えられる場合、および／またはより細かい位相に置き換えられる場合、連続のままである。 ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}.}$ $${\displaystyle \operatorname {id} _{X}:\left(X,\tau _{2}\right)\to \left(X,\tau _{1}\right)}$$ ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$ $${\displaystyle \left(X,\tau _{X}\right)\to \left(Y,\tau _{Y}\right)}$$ ${\displaystyle \tau _{Y}}$ ${\displaystyle \tau _{X}}$

同相写像

連続写像の概念と対称なのは開写像であり、開集合の像は開写像となる。開写像fに逆写像が存在する場合、その逆写像は連続であり、連続写像gに逆写像 が存在する場合、その逆写像は開写像となる。2つの位相空間間の全単射写像fが与えられた場合、逆写像は連続である必要はない。連続逆写像を持つ全単射連続写像は同相写像と呼ばれる。 ${\displaystyle f^{-1}}$

連続一対一の定義域がコンパクト空間であり、その余域がハウスドルフである場合、それは同相写像である。

連続関数によるトポロジの定義

Xが位相空間で Sが集合（位相が指定されていない）である関数が与えられたとき 、 S上の最終的な位相は、 Sの開集合を、Xにおいて開となるSの部分集合Aとすることで定義される。Sに既存の位相がある場合、f がこの位相に関して連続であるためには、既存の位相がS上の最終的な位相よりも粗い必要がある。したがって、最終的な位相は、 f を連続にするS上の最も細かい位相である。 fが射影的である場合、この位相は、fによって定義された同値関係の下で、商位相と標準的に同一視される。 $${\displaystyle f:X\to S,}$$ ${\displaystyle f^{-1}(A)}$

双対的に、集合Sから位相空間Xへの関数fについて、S上の初期位相は、Xの何らかの開部分集合Uに対してSのすべての部分集合Aを開集合として指定することによって定義される。S に既存の位相がある場合、 fがこの位相に関して連続であるためには、既存の位相がS上の初期位相よりも細かい必要がある。したがって、初期位相は、 f を連続にするS上の最も粗い位相である。fが単射である場合、この位相は、 Xのサブセットとして見たSの部分空間位相と標準的に同一視される。 ${\displaystyle A=f^{-1}(U)}$

集合S上の位相は、すべての位相空間Xへの連続関数全体の類によって一意に決定される。同様に、同様の考え方は写像にも適用できる。${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle X\to S.}$

関連する概念

が位相空間のある部分集合からの連続関数である場合、${\displaystyle f\colon S\to Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ から への連続拡張とは、任意の に対してとなる連続関数であり、これは とよく書かれる条件です。つまり、上でに制限するの。この概念は、例えば、ティーツェ拡張定理やハーン・バナッハの定理。が連続でない場合、連続拡張を持つことはできません。 がハウスドルフ空間で の稠密部分集合である、への連続拡張は、もし存在するなら、一意になります。ブルームバーグの定理は、 が任意の関数である場合制限がの稠密部分集合が存在する、つまりすべての関数は、それが連続するような何らかの稠密部分集合に制限できる、ということを述べています。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ ${\displaystyle F(s)=f(s)}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f=F{\big \vert }_{S}}$ ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f\colon S\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon S\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{D}\colon D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

連続性の概念は、他の様々な数学分野でも、異なるが関連性のある意味で用いられている。例えば、順序理論においては、特定の種類の半順序集合と間の順序保存関数が連続であるとは、の各有向部分集合に対して が成り立つことを意味する。ここで は、 とにおける順序付けに関してそれぞれ上限となる。この連続性の概念は、半順序集合にスコット位相が与えられている場合の位相連続性と同じである。^{[ 19 ] [ 20 ]}${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sup f(A)=f(\sup A).}$ ${\displaystyle \,\sup \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

圏論において、 2つの圏の間の関手が 小さな極限で可換であるとき、それは連続的であると呼ばれます。つまり、 任意の小さな（つまり、クラスではなく集合でインデックス付けされた）オブジェクトの図に対して、連続的であるということです。 $${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$$ $${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}F(C_{i})\cong F\left(\varprojlim _{i\in I}C_{i}\right)}$$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

連続空間は距離空間と半順序集合の一般化であり^{[ 21 ] [ 22 ]} 、量子の概念を使用しており、距離空間と領域の概念を統一するために使用できます。^{[ 23 ]}

測度論において、ルベーグ可測集合上で定義された関数が、における近似極限が存在し、 と等しいとき、その関数は において近似連続であると呼ばれる。これは、通常の極限を近似極限に置き換えることで、連続性の概念を一般化したものである。ステパノフ＝デンジョイの定理として知られる基本的な結果は、関数が可測であるためには、それがほぼあらゆる点で近似連続である必要があることを述べている。^{[ 24 ]}${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{0}\in E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$

参照

• 連続性（数学）
• 絶対的な継続性
• おおよその連続性
• ディニの連続性
• 等連続性
• 幾何学的連続性
• パラメトリック連続性
• 不連続性の分類
• 粗い関数
• 連続関数（集合論）
• 連続確率過程
• 通常の関数
• オープンマップとクローズドマップ
• 区分的に
• スクイーズマッピング
• 対称的に連続した関数

• 方向保存関数- 離散空間における連続関数の類似物。

参考文献

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