スティフェル・ホイットニー級

数学、特に代数位相幾何学と微分幾何学において、スティフェル・ホイットニー類は実ベクトル束の位相不変量の集合であり、ベクトル束の切断のあらゆる点で独立した集合を構成する際の障害を記述する。スティフェル・ホイットニー類には 0 からnまでの添字が付けられ、nはベクトル束の階数である。添字iのスティフェル・ホイットニー類がゼロでない場合、ベクトル束のあらゆる点で線型独立な切断は存在できない。 n番目のスティフェル・ホイットニー類がゼロでない場合は、その束のすべての切断がある点で消えなければならないことを示す。最初のスティフェル・ホイットニー類がゼロでない場合は、ベクトル束が向き付け可能でないことを示す。たとえば、円上の直線束としてのメビウスの帯の最初のスティフェル・ホイットニー類はゼロではないが、円上の自明な直線束の最初のスティフェル・ホイットニー類はゼロである。 （n−私+1）{\displaystyle (n-i+1)}S1×R{\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }

スティフェル・ホイットニー類は、エドゥアルト・スティフェルとハスラー・ホイットニーにちなんで名付けられ、実ベクトル束に関連付けられた -特性類の例です。Z/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }

代数幾何学においては、エタールコホモロジー群またはミルナーK理論の値をとる、非退化二次形式を持つベクトル束に対しても、同様のスティフェル・ホイットニー類を定義することができる。特殊なケースとして、体上の二次形式に対してスティフェル・ホイットニー類を定義することができ、最初の二つのケースは判別式とハッセ・ウィット不変量である（ミルナー 1970）。

導入

一般的なプレゼンテーション

実ベクトル束Eに対して、Eのスティフェル・ホイットニー類はw ( E )と表記される。これはコホモロジー環の元である。

H∗（X;Z/2Z）＝⨁私≥0H私（X;Z/2Z）{\displaystyle H^{\ast }(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i\geq 0}H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}

ここで、Xは束Eの基底空間であり、（しばしば と表記される）は 0 と 1 のみを元とする可換環である。におけるの成分は と表記され、 Eのi番目のスティフェル・ホイットニー類と呼ばれる。したがって、 Z/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}わ（E）{\displaystyle w(E)}H私（X;Z/2Z）{\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}わ私（E）{\displaystyle w_{i}(E)}

わ（E）＝わ0（E）+わ1（E）+わ2（E）+⋯{\displaystyle w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\cdots }、

ここで、各 はの要素です。 わ私（E）{\displaystyle w_{i}(E)}H私（X;Z/2Z）{\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}

スティフェル・ホイットニー類は実ベクトル束Eの不変量である。すなわち、FがEと同じ基底空間Xを持つ別の実ベクトル束であり、F がEに同型であれば、スティフェル・ホイットニー類とは等しい。（ここで同型とは、恒等式を覆うベクトル束同型が存在することを意味する。）2つの実ベクトル束EとFが同型かどうかを判断するのは一般に難しいが、スティフェル・ホイットニー類と は簡単に計算できることが多い。もしそれらが異なる場合、 EとFは同型ではないことがわかる。 わ（E）{\displaystyle w(E)}わ（E）{\displaystyle w(E)}わ（F）{\displaystyle w(F)}E→F{\displaystyle E\to F}私dX:X→X{\displaystyle \mathrm {id} _{X}\colon X\to X}わ（E）{\displaystyle w(E)}わ（F）{\displaystyle w(F)}

一例として、円上には、自明な束 と同型ではない直線束（階数1の実ベクトル束）がある。この直線束Lはメビウスの帯（ベクトル空間構造を繊維に持たせることでベクトル束になることができる繊維束）である。コホモロジー群は 0 以外に 1 つの元だけを持つ。この元はLの第一スティフェル・ホイットニー類である[ 1 ]。上の自明な直線束は第一スティフェル・ホイットニー類 0 を持つので、 Lと同型ではない。 S1{\displaystyle S^{1}}H1（S1;Z/2Z）{\displaystyle H^{1}(S^{1};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}わ1（L）{\displaystyle w_{1}(L)}S1{\displaystyle S^{1}}

同じスティフェル・ホイットニー類を持つ2つの実ベクトル束EとFは、必ずしも同型ではありません。これは、例えばEとF が同じ基底空間X上の異なる階数の自明実ベクトル束である場合に起こります。また、 EとF が同じ階数を持つ場合にも起こります。2次元球面の接束と X 上の階数2の自明実ベクトル束は同じスティフェル・ホイットニー類を持ちますが、同型ではありません。しかし、X上の2つの実直線束が同じスティフェル・ホイットニー類を持つ場合、それらは同型です。 S2{\displaystyle S^{2}}S2{\displaystyle S^{2}}

起源

スティフェル・ホイットニー類は、エドゥアルド・スティフェルとハスラー・ホイットニーが、ベクトル束Eのどこにおいても線型独立な切断をXのi -スケルトンに制限して構成する障害類のmod-2縮約として発見したことに由来する。ここでn はベクトル束のファイバーの次元を表す。 わ私（E）{\displaystyle w_{i}(E)}n−私+1{\displaystyle n-i+1}F→E→X{\displaystyle F\to E\to X}

正確には、XがCW 複体 であるとして、ホイットニーはXのi番目の細胞コホモロジー群にねじれ係数を持つ類を定義した。係数系は、Eのファイバー内の線型独立ベクトルの成すスティフェル多様体の- 次ホモトピー群である。ホイットニーは、 E がXのi -スケルトンに制限されたときに、線型独立切断を持つ場合と、その場合に限ってEが線型独立切断を持つことを証明した。 Wi(E){\displaystyle W_{i}(E)}(i−1){\displaystyle (i-1)}Vn−i+1(F){\displaystyle V_{n-i+1}(F)}n−i+1{\displaystyle n-i+1}Wi(E)=0{\displaystyle W_{i}(E)=0}n−i+1{\displaystyle n-i+1}

は無限巡回的であるか と同型であるため、の類はスティフェル・ホイットニー類である類に標準的縮約される。さらに、 のときはいつでも、2つの類は同一である。したがって、のとき、そしてそのときに限り、束は有向可能である。 πi−1Vn−i+1(F){\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)}Z/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }Wi(E){\displaystyle W_{i}(E)}wi(E)∈Hi(X;Z/2Z){\displaystyle w_{i}(E)\in H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}πi−1Vn−i+1(F)=Z/2Z{\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }w1(E)=0{\displaystyle w_{1}(E)=0}E→X{\displaystyle E\to X}

このクラスは定義上1に等しいため、情報を含んでいません。ホイットニーによるこのクラスの創造は創造的な記法によるもので、ホイットニーの和の公式が成り立つようにしました。[ 2 ] [ 3 ]w0(E){\displaystyle w_{0}(E)}w(E1⊕E2)=w(E1)w(E2){\displaystyle w(E_{1}\oplus E_{2})=w(E_{1})w(E_{2})}

定義

全体を通して、 は群Gに係数を持つ空間Xの特異コホモロジーを表す。 「写像」という言葉は常に位相空間間の連続関数を意味する。 Hi(X;G){\displaystyle H^{i}(X;G)}

公理的な定義

パラコンパクト基底空間X上の有限階数実ベクトル束Eのスティフェル・ホイットニー特性類は、次の公理が満たされる唯一の類として定義されます。 w(E)∈H∗(X;Z/2Z){\displaystyle w(E)\in H^{*}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}

  1. 正規化：実射影空間上の同語直線束のホイットニー類は非自明である。[ 1 ]P1(R){\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} )}w(γ11)=1+a∈H∗(P1(R);Z/2Z)=(Z/2Z)[a]/(a2){\displaystyle w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )[a]/(a^{2})}
  2. ランク： そしてEのランクより上のiについては、つまり、[ 4 ]w0(E)=1∈H0(X),{\displaystyle w_{0}(E)=1\in H^{0}(X),}wi=0∈Hi(X){\displaystyle w_{i}=0\in H^{i}(X)}w(E)∈H⩽rank(E)(X).{\displaystyle w(E)\in H^{\leqslant \mathrm {rank} (E)}(X).}
  3. ホイットニー積の公式: , [ 2 ] [ 3 ]つまり、直和のホイットニー類は加数の類のカップ積である。w(E⊕F)=w(E)⌣w(F){\displaystyle w(E\oplus F)=w(E)\smile w(F)}
  4. 自然性： 任意の実ベクトル束と写像に対して、 は引き戻しベクトル束を表す。[ 5 ]w(f∗E)=f∗w(E){\displaystyle w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}E→X{\displaystyle E\to X}f:X′→X{\displaystyle f\colon X'\to X}f∗E{\displaystyle f^{*}E}

これらの類の一意性は、例えばHusemollerの17.2節から17.6節、またはMilnorとStasheffの8節で証明されています。これらの類の存在証明は複数存在し、様々な構成から様々なバリエーションで提示されていますが、それらの一貫性は単一性宣言によって保証されています。

無限グラスマン多様体による定義

無限グラスマン多様体とベクトル束

このセクションでは、分類空間の概念を使用した構築について説明します。

任意のベクトル空間Vに対して、Vのn次元線形部分空間のグラスマン多様体を で表し、無限グラスマン多様体を で表す。 Grn(V){\displaystyle Gr_{n}(V)}

Grn=Grn(R∞){\displaystyle Gr_{n}=Gr_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}。

これは、ある点におけるファイバーがWで表される部分空間であるファイバーVの自明なバンドルの部分バンドルとして定義できる、ランクnベクトルバンドルであるトートロジー バンドルを備えていることを思い出してください。 γn→Grn,{\displaystyle \gamma ^{n}\to Gr_{n},}W∈Grn(V){\displaystyle W\in Gr_{n}(V)}

を無限グラスマン多様体への連続写像とする。すると、同型性を除き、 X上の写像fによって誘導される束はf:X→Grn{\displaystyle f\colon X\to Gr_{n}}

f∗γn∈Vectn(X){\displaystyle f^{*}\gamma ^{n}\in \mathrm {Vect} _{n}(X)}

は写像[ f ]のホモトピー類のみに依存する。したがって、引き戻し操作は集合

[X;Grn]{\displaystyle [X;Gr_{n}]}

ホモトピー同値性を法とする写像の集合 X→Grn{\displaystyle X\to Gr_{n}}

Vectn(X){\displaystyle \mathrm {Vect} _{n}(X)}

X上の階数nのベクトル束の同型類。

(この構成における重要な事実は、X がパラコンパクト空間である場合、この写像は全単射であるということです。これが、無限グラスマン多様体をベクトル束の分類空間と呼ぶ理由です。)

さて、上記の自然性公理(4)により、 となる。したがって、原理的にはすべてのjに対しての値を知っていれば十分である 。しかし、コホモロジー環は標準セル分解から生じる特定の生成元に対して自由であり、これらの生成元は実際には によって与えられることが分かる。したがって、任意のランクnバンドルに対して となる。ここで、 fは適切な分類写像である。これは特に、スティフェル・ホイットニー類の存在の一つの証明となる。 wj(f∗γn)=f∗wj(γn){\displaystyle w_{j}(f^{*}\gamma ^{n})=f^{*}w_{j}(\gamma ^{n})}wj(γn){\displaystyle w_{j}(\gamma ^{n})}H∗(Grn,Z2){\displaystyle H^{*}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}xj∈Hj(Grn,Z2){\displaystyle x_{j}\in H^{j}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}xj=wj(γn){\displaystyle x_{j}=w_{j}(\gamma ^{n})}wj=f∗xj{\displaystyle w_{j}=f^{*}x_{j}}

線束の場合

ここで、上記の構成を直線束に限定し、X上の直線束の空間を考える。直線のグラスマン多様体は、無限射影空間である。Vect1(X){\displaystyle \mathrm {Vect} _{1}(X)}Gr1{\displaystyle Gr_{1}}

P∞(R)=R∞/R∗,{\displaystyle \mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )=\mathbf {R} ^{\infty }/\mathbf {R} ^{*},}

これは、対心点を繊維とする無限球面によって二重に覆われている。この球面は収縮可能であるため、 S∞{\displaystyle S^{\infty }}S∞{\displaystyle S^{\infty }}

π1(P∞(R))=Z/2Zπi(P∞(R))=πi(S∞)=0i>1{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{i}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\pi _{i}(S^{\infty })=0&&i>1\end{aligned}}}

したがってP∞ ( R )はアイレンバーグ・マクレーン空間である。 K(Z/2Z,1){\displaystyle K(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,1)}

アイレンバーグ・マクレーン空間の性質として、

[X;P∞(R)]=H1(X;Z/2Z){\displaystyle \left[X;\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )\right]=H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}

任意のXに対して、同型性はf → f* ηで与えられ、ηは

H1(P∞(R);Z/2Z)=Z/2Z{\displaystyle H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }。

α : [ X , Gr 1 ] → Vect 1 ( X ) も単射であるという前述の注釈を適用すると、単射が得られる。

w1:Vect1(X)→H1(X;Z/2Z){\displaystyle w_{1}\colon {\text{Vect}}_{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}

これは線束の Stiefel-Whitney類w 1を定義します。

線束のグループ

Vect 1 ( X ) をテンソル積の作用素による群とみなすと、Stiefel–Whitney類w 1  : Vect 1 ( X ) → H 1 ( X ; Z /2 Z ) は同型となる。すなわち、すべての直線束 λ, μ → Xに対して、 w 1 (λ ⊗ μ) = w 1 (λ) + w 1 (μ) が成立する。

たとえば、H 1 ( S 1 ; Z /2 Z ) = Z /2 Zであるため、束同型まで円上の直線束は 2 つしかありません。つまり、自明な線束と開いたメビウスの帯 (つまり、境界が削除されたメビウスの帯) です。

複素ベクトル束に対する同様の構成は、チャーン類がX上の複素直線束とH 2 ( X ; Z ) 間の一対一性を定義することを示す。これは、対応する分類空間がP ∞ ( C )、K( Z , 2 ) であることによる。この同型性は位相直線束に対しても成り立つが、代数的ベクトル束に対するチャーン類の単射性に対する障害はヤコビ多様体である。

プロパティ

消失の位相的解釈

  1. i > rank( E ) のときは常にw i ( E ) = 0 となる。
  2. E kにどこでも線形独立なセクションがある場合、最高次ホイットニー類は消えます。s1,…,sℓ{\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{\ell }}ℓ{\displaystyle \ell }wk−ℓ+1=⋯=wk=0{\displaystyle w_{k-\ell +1}=\cdots =w_{k}=0}
  3. 第一スティフェル・ホイットニー類がゼロとなるのは、束が向き付け可能である場合と同値である。特に、多様体Mが向き付け可能であるのは、 w 1 ( M × R ) = 0の場合と同値である。
  4. バンドルは、第 1 および第 2 の Stiefel–Whitney クラスが両方とも 0 である場合にのみ、スピン構造を許容します。
  5. 向き付け可能なバンドルの場合、バンドルがスピン c 構造を許容する場合に限り、2 番目の Stiefel–Whitney クラスは自然マップ H 2 ( M , Z ) → H 2 ( M , Z /2 Z ) のイメージになります(つまり、いわゆる3番目の積分Stiefel – Whitneyクラスはゼロです) 。
  6. 滑らかなコンパクト多様体Xのすべての Stiefel-Whitney数(下記参照)がゼロになるのは、その多様体がある滑らかなコンパクト (無向) 多様体の境界である場合のみです (すべての Stiefel-Whitney数がゼロになっても、一部の Stiefel-Whitneyクラスが0 以外になる可能性があることに注意してください)。

スティフェル・ホイットニー類の一意性

直線束に対する上記の一対一公理は、上記の4つの公理を満たす任意の関数 θ がwに等しいことを意味している。[ 6 ]は、以下の議論によって示される。2番目の公理は θ(γ 1 ) = 1 + θ 1 (γ 1 ) を与える。包含写像i  : P 1 ( R ) → P ∞ ( R ) に対して、引き戻し束は に等しい。したがって、1番目と3番目の公理は次を意味する。 i∗γ1{\displaystyle i^{*}\gamma ^{1}}γ11{\displaystyle \gamma _{1}^{1}}

i∗θ1(γ1)=θ1(i∗γ1)=θ1(γ11)=w1(γ11)=w1(i∗γ1)=i∗w1(γ1).{\displaystyle i^{*}\theta _{1}\left(\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=i^{*}w_{1}\left(\gamma ^{1}\right).}

地図は

i∗:H1(P∞(R);Z/2Z)→H1(P1(R);Z/2Z){\displaystyle i^{*}:H^{1}\left(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} \right);\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{1}\left(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \right)}

は同型であり、θ(γ 1 ) = w (γ 1 ) が成り立つ。Eを空間X上の階数nの実ベクトル束とする。するとE は分解写像、すなわちf  : X′ → Xの写像が、ある空間X′に対して、かつある直線束に対して存在する。X 上の任意の直線束は、ある写像gに対して、かつ θ1(γ1)=w1(γ1){\displaystyle \theta _{1}(\gamma ^{1})=w_{1}(\gamma ^{1})}f∗:H∗(X;Z/2Z))→H∗(X′;Z/2Z){\displaystyle f^{*}:H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\to H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}f∗E=λ1⊕⋯⊕λn{\displaystyle f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}}λi→X′{\displaystyle \lambda _{i}\to X'}g∗γ1{\displaystyle g^{*}\gamma ^{1}}

θ(g∗γ1)=g∗θ(γ1)=g∗w(γ1)=w(g∗γ1),{\displaystyle \theta \left(g^{*}\gamma ^{1}\right)=g^{*}\theta \left(\gamma ^{1}\right)=g^{*}w\left(\gamma ^{1}\right)=w\left(g^{*}\gamma ^{1}\right),}

当然である。したがって、θ = w on となる。上記の第4公理から、 Vect1(X){\displaystyle {\text{Vect}}_{1}(X)}

f∗θ(E)=θ(f∗E)=θ(λ1⊕⋯⊕λn)=θ(λ1)⋯θ(λn)=w(λ1)⋯w(λn)=w(f∗E)=f∗w(E).{\displaystyle f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E)=f^{*}w(E).}

は単射なので、 θ = wとなる。したがって、スティフェル・ホイットニー類は上記の4つの公理を満たす唯一の関手である。 f∗{\displaystyle f^{*}}

同じスティフェル・ホイットニー類を持つ非同型バンドル

写像は一対一であるが、対応する写像は高次元では必ずしも単射ではない。例えば、接束 を考えてみよう。への の標準埋め込みにより、への法束は直線束になる。は向き付け可能であるため、は自明である。和はを に制限したものにすぎず、 は縮約可能であるため自明である。したがって、w ( TS n ) = w ( TS n ) w (ν) = w ( TS n ⊕ ν) = 1 となる。しかし、nが偶数であれば、 TS n → S n は自明ではない。そのオイラー類であり、[ S n ] はS nの基本類、χ はオイラー特性を表す。 w1:Vect1(X)→H1(X;Z/2Z){\displaystyle w_{1}\colon \mathrm {Vect} _{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}TSn{\displaystyle TS^{n}}Sn{\displaystyle S^{n}}Rn+1{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}ν{\displaystyle \nu }Sn{\displaystyle S^{n}}Sn{\displaystyle S^{n}}ν{\displaystyle \nu }TSn⊕ν{\displaystyle TS^{n}\oplus \nu }TRn+1{\displaystyle T\mathbb {R} ^{n+1}}Sn{\displaystyle S^{n}}Rn+1{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}e(TSn)=χ(TSn)[Sn]=2[Sn]≠0{\displaystyle e(TS^{n})=\chi (TS^{n})[S^{n}]=2[S^{n}]\neq 0}

スティフェル・ホイットニー数

n次元の多様体を扱う場合、全次数nのスティフェル・ホイットニー類の任意の積は、 多様体のZ /2 Z基本類と対にしてZ /2 Zの元、つまりベクトル束のスティフェル・ホイットニー数を与えることができる。例えば、多様体の次元が 3 の場合、 で与えられる 3 つの線型独立なスティフェル・ホイットニー数が存在する。一般に、多様体の次元がnの場合、独立なスティフェル・ホイットニー数の可能な数は、 nの 分割数である。 w13,w1w2,w3{\displaystyle w_{1}^{3},w_{1}w_{2},w_{3}}

滑らかな多様体の接束のスティフェル・ホイットニー数は、その多様体のスティフェル・ホイットニー数と呼ばれる。これらはコボルディズム不変量として知られている。レフ・ポンチャギンは、 Bが ( n +1) 次元の滑らかなコンパクト多様体で境界がMに等しい場合、 Mのスティフェル・ホイットニー数はすべて 0 になることを証明した。 [ 7 ]さらに、ルネ・トムは、 Mのスティフェル・ホイットニー数がすべて0 になる場合、M はある滑らかなコンパクト多様体の境界として実現できることを証明した。[ 8 ]

外科手術理論において重要なスティフェル・ホイットニー数の一つは、 (4k + 1)次元多様体のド・ラーム不変量である。w2w4k−1.{\displaystyle w_{2}w_{4k-1}.}

ウークラス

スティフェル・ホイットニー類は、 1947年に呉文俊によって定義された呉類のスティーンロッド平方である。 [ 9 ]最も単純に言えば、全スティフェル・ホイットニー類は全呉類のスティーンロッド平方である：。呉類は、スティーンロッド平方、すなわちスティーンロッド平方を表すコホモロジー類を用いて暗黙的に定義されることが多い。多様体Xをn次元とする。すると、次数 の任意のコホモロジー類xに対して、 wk{\displaystyle w_{k}}vk{\displaystyle v_{k}}Sq⁡(v)=w{\displaystyle \operatorname {Sq} (v)=w}n−k{\displaystyle n-k}

vk∪x=Sqk⁡(x){\displaystyle v_{k}\cup x=\operatorname {Sq} ^{k}(x)}。

あるいはより狭義には、次数 のコホモロジー類xに対してを求めることもできる。[ 10 ]⟨vk∪x,μ⟩=⟨Sqk⁡(x),μ⟩{\displaystyle \langle v_{k}\cup x,\mu \rangle =\langle \operatorname {Sq} ^{k}(x),\mu \rangle }n−k{\displaystyle n-k}

積分スティフェル・ホイットニー類

この元はi + 1積分スティフェル・ホイットニー類と呼ばれ、βはボックシュタイン準同型で、2を法とする縮約Z → Z /2 Zに対応する。 βwi∈Hi+1(X;Z){\displaystyle \beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\mathbf {Z} )}

β:Hi(X;Z/2Z)→Hi+1(X;Z).{\displaystyle \beta \colon H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{i+1}(X;\mathbf {Z} ).}

たとえば、第 3 の積分 Stiefel–Whitney クラスは、Spin c構造に対する障害です。

スティーンロッド代数上の関係

スティーンロッド代数上では、滑らかな多様体のスティフェル・ホイットニー類（接束のスティフェル・ホイットニー類として定義される）は、 の形のスティフェル・ホイットニー類によって生成される。特に、スティフェル・ホイットニー類は、w2i{\displaystyle w_{2^{i}}}呉式、呉文君： [ 11 ]

Sqi(wj)=∑t=0i(j+t−i−1t)wi−twj+t.{\displaystyle Sq^{i}(w_{j})=\sum _{t=0}^{i}{j+t-i-1 \choose t}w_{i-t}w_{j+t}.}

参照

参考文献

  1. ^ a bミルナー＆スタシェフ 74; 第4章、公理4と例2
  2. ^ a b Milnor & Stasheff 74、p. 40のLemma 4.1の前
  3. ^ a bローソン＆マイケルソン 90、式（B.8）
  4. ^ミルナー＆スタシェフ 74; 第4章、公理1
  5. ^ミルナー＆スタシェフ 74; 第4章、公理2
  6. ^ミルナー＆スタシェフ 74、定理7.3
  7. ^ポンチャギン, レフ・S. (1947). 「微分可能多様体上の特性サイクル」.マタイ・スボルニク. 新シリーズ（ロシア語）. 21 (63): 233– 284.
  8. ^ミルナー, ジョン・W. ;スタシェフ, ジェームズ・D. (1974).特性クラス. プリンストン大学出版局. pp.  50–53 . ISBN 0-691-08122-0。
  9. ^ウー、ウェンツン(1947)。 「製品の本質的な対称性と空間のトポロジーに注意してください。」Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences。224 : 1139–1141 . MR 0019914。 
  10. ^ミルナー, ジョン・W. ;スタシェフ, ジェームズ・D. (1974). 『特性クラス』プリンストン大学出版局. pp.  131-133 . ISBN 0-691-08122-0。
  11. ^ ( 1999年5月、197ページ)

文学

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