スティーンロッド代数

代数的位相幾何学において、スティーンロッド代数は、アンリ・カルタン ( 1955 )によって、モッドコホモロジーに対する安定コホモロジー演算の代数として定義されました。 ${\displaystyle p}$

与えられた素数 に対して、スティーンロッド代数はの位数の体上の次数付きホップ代数であり、コホモロジーを法とするすべての安定コホモロジー演算から構成される。これは、ノーマン・スティーンロッド ( 1947 )によって に対して導入されたスティーンロッド平方、およびスティーンロッド ( 1953a , 1953b )によって導入されたスティーンロッド縮約th 冪、および に対してボックスシュタイン準同型によって生成される。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p>2}$

「スティーンロッド代数」という用語は、一般化コホモロジー理論のコホモロジー演算の代数を指すために使用されることもあります。

コホモロジー演算

コホモロジー演算は、コホモロジー関数間の自然な変換です。例えば、環の係数を持つコホモロジー をとると、カップ積の二乗演算はコホモロジー演算の族をもたらします。 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle H^{n}(X;R)\to H^{2n}(X;R)}$

${\displaystyle x\mapsto x\smile x.}$

コホモロジー演算は、次数付き環の準同型である必要はありません。以下のカルタンの公式を参照してください。

これらの演算は、サスペンションとは可換ではない。つまり、不安定である。（これは、 が空間 のサスペンションである場合、 のコホモロジー上のカップ積が自明であるためである。）スティーンロッドは安定な演算を構築した。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Sq^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{n+i}(X;\mathbb {Z} /2)}$

0より大きいすべての場合。スティーンロッド方陣という表記法とその名称は、カップ方陣が次数のクラスに限定されるという事実に由来する。奇数の基本係数に対する同様の演算は、通常、約数乗演算と表記され、呼ばれる。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 平方}$ ${\displaystyle Sq^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P^{i}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle P^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /p)\to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb {Z} /p)}$

は上の連結な次数代数を生成する。ここで、乗算は演算の合成によって与えられる。これは mod 2 のスティーンロッド代数である。 の場合、 mod 2 のスティーンロッド代数はと、短完全数列に関連付けられたボックスタイン演算によって生成される。${\displaystyle Sq^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P^{i}}$ ${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\to \mathbb {Z} /p^{2}\to \mathbb {Z} /p\to 0}$ 。

の場合、ボックスタイン要素は であり、約分された乗は です。 ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle Sq^{1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P^{i}}$ ${\displaystyle Sq^{2i}}$

コホモロジー環として

スティーンロッド演算の性質は、アイレンベルグ・マクレーンスペクトルのコホモロジー環における生成子としてまとめられる。

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}=H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})}$ 、

同型性があるので

${\displaystyle {\begin{aligned}H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})&=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\underset {\leftarrow n}{\text{lim}}}\left(H^{n+k}(K(\mathbb {F} _{p},n);\mathbb {F} _{p})\right)\end{aligned}}}$

は、係数が であるすべての可能なコホモロジー演算の直和分解を与える。コホモロジー群の逆極限が現れるのは、アイレンバーグ・マクレーン空間のコホモロジー群の安定範囲における計算であるためである。この結果^{[ 1 ]}は、 Cartan (1954–1955 , p. 7) とSerre (1953 )によって最初に計算された^{[ 2 ]}。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

双対スティーンロッド代数に対するホモロジーを用いた双対的な特徴付け^{[ 3 ]}があることに注意されたい。

一般化コホモロジー理論への一般化に関するコメント

注意すべきことは、アイレンバーグ・マクレーン・スペクトルを任意のスペクトル に置き換えると、コホモロジー環 を調べるのに多くの課題が生じるということである。この場合は、一般化双対スティーンロッド代数を代わりに検討すべきである。なぜなら、一般化双対スティーンロッド代数ははるかに優れた特性を持ち、多くの場合（ など）扱いやすく調べることができるからである。^{[ 4 ]}実際、これらの環スペクトルは可換であり、双加群は平坦である。この場合は、任意の空間 に対して の標準的な共作用 となり、この作用は安定ホモトピー範疇に関して適切に振舞う、すなわち同型性が存在するため、環スペクトルの単位を使って上のの共作用を得ることができる。 ${\displaystyle H\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(E)}$ ${\displaystyle KO,KU,MO,MU,MSp,\mathbb {S} ,H\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \pi _{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(X)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle E_{*}(E)\otimes _{\pi _{*}(E)}E_{*}(X)\to [\mathbb {S} ,E\wedge E\wedge X]_{*}}$$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle \eta :\mathbb {S} \to E}$$ ${\displaystyle E_{*}(E)}$ ${\displaystyle E_{*}(X)}$

公理的な特徴づけ

ノーマン・スティーンロッドとデイビッド・BA・エプスタイン（1962年）は、スティーンロッド方形が次の5つの公理によって特徴付けられることを示しました。 ${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}\to H^{m+n}}$

1. 自然性:は加法準同型であり、任意の に関して自然なので、 です。${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{m+n}(X;\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}(Sq^{n}(x))=Sq^{n}(f^{*}(x))}$
2. ${\displaystyle Sq^{0}}$ は恒等準同型です。
3. ${\displaystyle Sq^{n}(x)=x\smile x}$ のために。${\displaystyle x\in H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)}$
4. もしそうなら${\displaystyle n>\deg(x)}$ ${\displaystyle Sq^{n}(x)=0}$
5. カルタン式:${\displaystyle Sq^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(Sq^{i}x)\smile (Sq^{j}y)}$

さらに、スティーンロッド方陣には次のような特性があります。

• ${\displaystyle Sq^{1}}$ は、正確なシーケンスのボックスタイン準同型である${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} /4\to \mathbb {Z} /2\to 0.}$
• ${\displaystyle Sq^{i}}$ はコホモロジーにおける長完全列の連結射と可換である。特に、これはサスペンションに関して可換である。${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} /2)\cong H^{k+1}(\Sigma X;\mathbb {Z} /2)}$
• これらは、以下に説明するAdem関係を満たす。

同様に、次の公理は の約数- 乗を特徴付けます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p>2}$

1. 自然性:加法準同型であり自然です。${\displaystyle P^{n}\colon H^{m}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\to H^{m+2n(p-1)}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$
2. ${\displaystyle P^{0}}$ は恒等準同型です。
3. ${\displaystyle P^{n}}$ は次数のクラスのcup 乗です。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2n}$
4. もしそうなら${\displaystyle 2n>\deg(x)}$ ${\displaystyle P^{n}(x)=0}$
5. カルタン式:${\displaystyle P^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(P^{i}x)\smile (P^{j}y)}$

前と同様に、簡約されたp乗も Adem 関係を満たし、停止演算子および境界演算子と交換可能です。

アデム関係

に対するアデム関係式は、ウェン・ツン・ウー （1952 ）によって予想され、ホセ・アデム （1952 ）によって確立された。これは次のように与えられる。 ${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle Sq^{i}Sq^{j}=\sum _{k=0}^{\lfloor i/2\rfloor }{j-k-1 \choose i-2k}Sq^{i+j-k}Sq^{k}}$

となるすべての場合において成り立ちます。(二項係数は 2 を法として解釈されます。) Adem 関係により、任意の Steenrod 平方の構成を Serre-Cartan 基底元の和として表すことができます。 ${\displaystyle i,j>0}$ ${\displaystyle i<2j}$

奇妙なことに、アデムの関係は ${\displaystyle p}$

${\displaystyle P^{a}P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi}P^{a+b-i}P^{i}}$

a < pbかつ​

${\displaystyle P^{a}\beta P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i) \choose a-pi}\beta P^{a+b-i}P^{i}+\sum _{i}(-1)^{a+i+1}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi-1}P^{a+b-i}\beta P^{i}}$

のために。 ${\displaystyle a\leq pb}$

バレット・マクドナルド恒等式

Shaun R. BullettとIan G. Macdonald  （1982）は、Adem関係を次の恒等式として再定式化しました。

置く ために${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{Sq}}^{i}}$

すると、Adem関係は次の式と等しくなります。

${\displaystyle P(s^{2}+st)\cdot P(t^{2})=P(t^{2}+st)\cdot P(s^{2})}$

置く ために${\displaystyle p>2}$

${\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{P}}^{i}}$

すると、Adem関係は次の命題と等価になる。

${\displaystyle (1+s\operatorname {Ad} \beta )P(t^{p}+t^{p-1}s+\cdots +ts^{p-1})P(s^{p})}$

はと で対称です。ここではボックスタイン演算と です。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle (\operatorname {Ad} \beta )P=\beta P-P\beta }$

幾何学的解釈

スティーンロッド方陣は、コホモロジー類を表す多様体を用いて、簡潔な幾何学的解釈が可能です。 を滑らかな多様体とし、滑らかな部分多様体 として幾何学的に表現されたコホモロジー類を考えます。コホモロジー的には、 を の基本類 とすると、プッシュフォワード写像は${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \in H^{*}(X)}$ ${\displaystyle f\colon Y\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle 1=[Y]\in H^{0}(Y)}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f_{*}(1)=\alpha }$

は の表現を与える。 をこの浸漬に付随する正規束とする。 のスティーンロッド平方はこれで理解できる。これらは正規束の スティフェル・ホイットニー類の押し出しである。${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \nu _{Y/X}\to Y}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle Sq^{i}(\alpha )=f_{*}(w_{i}(\nu _{Y/X})),}$

これは、スティーンロッド積が最終的に消滅する理由の幾何学的な理由を示している。スティーンロッド写像は群準同型なので、和として表せる 類があれば、${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},}$

が多様体として表現されている場合、クラスの平方はその基礎となる滑らかな多様体の正規バンドルのプッシュフォワードの和として解釈できます。つまり、 ${\displaystyle \alpha _{k}}$

${\displaystyle Sq^{i}(\beta )=\sum _{k=1}^{n}f_{*}(w_{i}(\nu _{Y_{k}/X})).}$

また、この同値性はWu の公式と深く関係しています。

計算

複素射影空間

複素射影平面 上では、次の非自明なコホモロジー群のみが存在する。 ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$

${\displaystyle H^{0}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{2}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{4}(\mathbf {CP} ^{2})\cong \mathbb {Z} }$ 、

はセル分解を用いて計算できる。これは、コホモロジー上のカップ積を与えるため、唯一可能な非自明なスティーンロッド積がであることを意味する。 上のカップ積構造が非自明であるため、この平方は非自明である。複素射影空間上でも同様の計算が可能であり、ここで非自明な平方はと、カップ積を表すコホモロジー群上の平方演算のみである。平方 において${\displaystyle Sq^{2}}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {CP} ^{2};\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle H^{\ast }(\mathbf {CP} ^{2};\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{6}}$ ${\displaystyle Sq^{0}}$ ${\displaystyle Sq^{2i}}$ ${\displaystyle H^{2i}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{8}}$

${\displaystyle Sq^{2}\colon H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)\to H^{6}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)}$

は、上で概説した幾何学的手法とチャーン類とスティフェル・ホイットニー類の関係を用いて計算できる。ただし、 は における非零類を表すことに注意すること。また、 と である ため、カルタンの公式を用いて直接計算することもできる。${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{4}\hookrightarrow \mathbf {CP} ^{8}}$ ${\displaystyle H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle x^{2}\in H^{4}(\mathbf {CP} ^{8})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Sq^{2}(x^{2})&=Sq^{0}(x)\smile Sq^{2}(x)+Sq^{1}(x)\smile Sq^{1}(x)+Sq^{2}(x)\smile Sq^{0}(x)\\&=0.\end{aligned}}}$

無限実射影空間

実射影空間に対するスティーンロッド演算は、スティーンロッド平方の形式的性質を用いて容易に計算できる。

${\displaystyle H^{*}(\mathbb {RP} ^{\infty };\mathbb {Z} /2)\cong \mathbb {Z} /2[x],}$

ここで、上の演算については、次のことが分かっています。 ${\displaystyle \deg(x)=1.}$ ${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Sq^{0}(x)&=x\\Sq^{1}(x)&=x^{2}\\Sq^{k}(x)&=0&&{\text{ for any }}k>1\end{aligned}}}$

カルタンの関係は、合計平方

${\displaystyle Sq:=Sq^{0}+Sq^{1}+Sq^{2}+\cdots }$

環準同型である

${\displaystyle Sq\colon H^{*}(X)\to H^{*}(X).}$

したがって

${\displaystyle Sq(x^{n})=(Sq(x))^{n}=(x+x^{2})^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}x^{n+i}}$

前の和には 1つの度数成分しかないので、${\displaystyle n+i}$

${\displaystyle Sq^{i}(x^{n})={n \choose i}x^{n+i}.}$

工事

が点上の対称群の任意次数部分群、 におけるコホモロジー類、 によって作用されるアーベル群、 におけるコホモロジー類であるとする。Steenrod ( 1953a 、 1953b )は、における簡約冪を次のように構築する方法を示した。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle H^{q}(X,B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle H_{i}(\pi ,A)}$ ${\displaystyle u^{n}/c}$ ${\displaystyle H^{nq-i}(X,(A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)/\pi )}$

1. を と 自身との外積で乗じると、に係数を持つ上の同変コサイクルが得られます。${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}$
2. が自由に作用する収縮可能な空間と、 からへの同変写像を選択することで、この写像によって引き戻すと、 上の同変コサイクルが得られ、したがって に係数を持つのコサイクルが得られます。${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E\times X}$ ${\displaystyle X^{n}.}$ ${\displaystyle u^{n}}$ ${\displaystyle E\times X}$ ${\displaystyle E/\pi \times X}$ ${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}$
3. の斜積をとると、に係数があるのコサイクルが得られます。${\displaystyle c}$ ${\displaystyle H_{i}(E/\pi ,A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$

スティーンロッド平方と簡約累乗はこの構成の特殊なケースです。ここで、は素数位数の巡回群で、元の巡回順列として機能します。また、グループと は位数 の巡回であるため、も位数 の巡回になります。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle p=n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$ ${\displaystyle p}$

スティーンロッド代数の性質

スティーンロッド代数は、公理的な構造に加えて、いくつかの追加の有用な特性を備えています。

スティーンロッド代数の基礎

ジャン＝ピエール・セール（1953年）（について）とアンリ・カルタン（1954年、1955年）（について）は、安定なmodコホモロジー演算のスティーンロッド代数の構造を記述し、それがボクシュタイン準同型とスティーンロッド被約冪によって生成され、アデム関係がこれらの生成元間の関係のイデアルを生成することを示した。特に、彼らはスティーンロッド代数の明確な基底を見出した。この基底は、整数列の許容性という概念に基づいている。ある列を ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}$

は、各 に対して が成り立つ場合に許容される。すると、要素 ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i_{j}\geq 2i_{j+1}}$

${\displaystyle Sq^{I}=Sq^{i_{1}}\cdots Sq^{i_{n}},}$

は許容列であり、2を法とするスティーンロッド代数の基底（セル・カルタン基底）を形成し、これは許容基底と呼ばれる。要素からなる 場合にも同様の基底が存在する。${\displaystyle I}$ ${\displaystyle p>2}$

${\displaystyle Sq_{p}^{I}=Sq_{p}^{i_{1}}\cdots Sq_{p}^{i_{n}}}$ 、

そういう

${\displaystyle i_{j}\geq pi_{j+1}}$

${\displaystyle i_{j}\equiv 0,1{\bmod {2}}(p-1)}$

${\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)}=P^{k}}$

${\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)+1}=\beta P^{k}}$

ホップ代数構造とミルナー基底

スティーンロッド代数は、次数付き代数よりも構造が複雑である。またホップ代数でもあるため、特に対角写像や余乗写像 が存在する。${\displaystyle \mathbf {F} _{p}}$

${\displaystyle \psi \colon A\to A\otimes A}$

スティーンロッド代数のカップ積への作用に対するカルタン公式によって誘導される。この写像は積写像よりも記述が容易であり、次のように与えられる。

${\displaystyle \psi (Sq^{k})=\sum _{i+j=k}Sq^{i}\otimes Sq^{j}}$

${\displaystyle \psi (P^{k})=\sum _{i+j=k}P^{i}\otimes P^{j}}$

${\displaystyle \psi (\beta )=\beta \otimes 1+1\otimes \beta }$ 。

これらの式は、スティーンロッド代数が可換であることを意味します。

の線型双対は、Aの（次数付き）線型双対を代数にする。ジョン・ミルナー （1958）は、 に対して、任意のkに対して、次 の生成元を 1 つ持つ多項式代数であることを証明し、双対スティーンロッド代数に対して、 は次 の生成元における多項式代数と 次 の生成元 τ _kにおける外積代数のテンソル積である。 の単項式基底は、ミルナー基底と呼ばれるAの別の基底の選択肢を与える。スティーンロッド代数の双対は、乗法が（超）可換であるため、扱いが便利な場合が多い。 の共乗法は、A上の積の双対であり、次数で与えられる 。${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle \xi _{k}}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle \xi _{k}}$ ${\displaystyle 2p^{k}-2}$ ${\displaystyle (k\geq 1)}$ ${\displaystyle 2p^{k}-1}$ ${\displaystyle (k\geq 0)}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle A_{*}}$

${\displaystyle \psi (\xi _{n})=\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \xi _{i}.}$ ここで、および${\displaystyle \xi _{0}=1}$

${\displaystyle \psi (\tau _{n})=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \tau _{i}}$ もし。${\displaystyle p>2}$

の唯一の基本要素は形式の要素であり、これらは（ Aの唯一の分解不可能な要素）と双対です。 ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle \xi _{1}^{2^{i}}}$ ${\displaystyle Sq^{2^{i}}}$

正式なグループとの関係

双対スティーンロッド代数は超可換ホップ代数であるため、そのスペクトルは代数超群スキームである。これらの群スキームは、1次元加法形式群の自己同型と密接に関連している。例えば、 とすれば、双対スティーンロッド代数は、1次元加法形式群スキームの自己同型のうち、一階まで恒等であるものの群スキームである。これらの自己同型は、以下の形式をとる。 ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle x+y}$

${\displaystyle x\rightarrow x+\xi _{1}x^{2}+\xi _{2}x^{4}+\xi _{3}x^{8}+\cdots }$

有限部分ホップ代数

スティーンロッド代数は有限部分ホップ代数によるフィルタリングを許容する。^{[ 5 ]}${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$

${\displaystyle Sq^{2^{i}}}$ 、

スティーンロッド平方によって生成される 部分代数を形成できる${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}(n)}$

${\displaystyle Sq^{1},Sq^{2},\ldots ,Sq^{2^{n}}}$ 、

濾過を行う

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}(1)\subset {\mathcal {A}}_{2}(2)\subset \cdots \subset {\mathcal {A}}_{2}.}$

これらの代数は、、、などの多くのアダムススペクトル列計算を簡略化するために使用できるため重要です。^{[ 6 ]}${\displaystyle \pi _{*}(ko)}$ ${\displaystyle \pi _{*}(tmf)}$

代数的構成

ラリー・スミス（2007 ）は、位数qの有限体 上のスティーンロッド代数の次の代数的構成を与えた。Vがベクトル空間である場合、 Vの対称代数をSVと書く。代数準同型が存在する。${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle {\begin{cases}P(x)\colon SV[[x]]\to SV[[x]]\\P(x)(v)=v+F(v)x=v+v^{q}x&v\in V\end{cases}}}$

ここで、 FはSVのフロベニウス準同型である。

${\displaystyle P(x)(f)=\sum P^{i}(f)x^{i}\qquad p>2}$

または

${\displaystyle P(x)(f)=\sum Sq^{2i}(f)x^{i}\qquad p=2}$

というのは、 Vが無限次元の場合、要素はp が奇数の場合にはp′乗の約分によって生成されるスティーンロッド代数の部分代数、 p が偶数の場合にはスティーンロッド平方によって生成されるスティーンロッド代数の部分代数と同型な代数を生成するからである。 ${\displaystyle f\in SV}$ ${\displaystyle P^{I}}$ ${\displaystyle Sq^{2i}}$ ${\displaystyle p=2}$

アプリケーション

スティーンロッド代数の初期の応用としては、ジャン＝ピエール・セールによる球面のホモトピー群の計算（セール スペクトル列の超越微分とスティーンロッド演算の両立性を利用したもの）や、ルネ・トムによるコボルディズムまでの滑らかな多様体の分類（ボルディズム類の次数環とトム複体のホモトピー群の安定範囲での同一視によるもの）などがある。後者はCTC Wallによって有向多様体の場合にまで洗練させた。スティーンロッド演算の有名な応用として、適切なアデム関係に関連付けられた二次コホモロジー演算による因数分解を伴うものが、 J・フランク・アダムスによるホップ不変量問題の解決である。mod 2 スティーンロッド代数のかなり初歩的な応用の 1 つは、次の定理である。

定理。ホップ不変量の写像が 1 であれば、nは 2 のべき乗である。 ${\displaystyle S^{2n-1}\to S^{n}}$

証明では、それぞれが 2 のべき乗ではないkに対して分解可能であるという事実を使用します。つまり、そのような要素は厳密に小さい次数の平方の積です。 ${\displaystyle Sq^{k}}$

マイケル・A・マンデルは、スティーンロッド代数（ の代数閉包に係数を持つ）を研究して、次の定理の証明を与えた。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

定理。の代数的閉包に係数を持つ特異コチェーン関数は、有限-型の連結された -完全冪零空間のホモトピー圏から、の代数的閉包に係数を持つ[[ -代数]]のホモトピー圏の完全なサブカテゴリへの反変同値を誘導します。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

アダムススペクトル列と球面のホモトピー群との関連

スティーンロッド代数のコホモロジーは、球面の安定ホモトピー群のp成分に接する（p局所）アダムススペクトル列の項である。より具体的には、このスペクトル列の項は次のように同定できる。 ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{s,t}(\mathbb {F} _{p},\mathbb {F} _{p}).}$

これは、「スティーンロッド代数のコホモロジーとは、球面の安定ホモトピー群の近似である」という格言が意味するものです。

参照

• ポンチャギンコホモロジー演算
• 双対スティーンロッド代数
• コホモロジー演算

参考文献

1. 「at.algebraic topology – (Co)homology of the Eilenberg–MacLane spaces K(G,n)」 . MathOverflow . 2021年1月15日閲覧。
2. アダムス（1974）、277ページ。
3. アダムス（1974）、279ページ。
4. アダムス（1974）、280ページ。
5. モッシャーとタンゴラ (2008)、p. 47.
6. レイヴネル（1986）、63-67頁。

教育的

• Malkiewich, Cary, The Steenrod Algebra (PDF)、2017年8月15日にオリジナルからアーカイブ(PDF)
• 特性クラス– Wu多様体などのより多くの計算が含まれます
• アダムススペクトル列のスティーンロッド方陣- Ext項とスティーンロッド方陣の解釈を含む

モチーフ設定

• モチーフコホモロジーにおける簡約べき乗演算
• Z/2係数を持つモティヴィックコホモロジー
• モチーフのアイレンベルグ・マクレーン空間
• ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -モティヴィックモジュラー形式のホモトピーはモティヴィックTMFと関連している${\displaystyle {\mathcal {A}}//{\mathcal {A}}(2)}$

参考文献

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• バレット、ショーン・R.;マクドナルド、イアン・G. (1982)、「アデム関係について」、トポロジー、21 (3): 329– 332、doi : 10.1016/0040-9383(82)90015-5、ISSN  0040-9383、MR  0649764
• カルタン、アンリ(1954)、「アイレンバーグ・マックレーン群について II」、米国科学アカデミー紀要、40 (8): 704– 707、Bibcode : 1954PNAS...40..704C、doi : 10.1073/pnas.40.8.704、ISSN  0027-8424、JSTOR  88981、MR  0065161、PMC  534145、PMID  16589542
• Cartan、Henri (1955)、「Sur l'itération des opérations de Steenrod」、Commentarii Mathematici Helvetici、29 (1): 40–58、doi : 10.1007/BF02564270、ISSN  0010-2571、MR  0068219、S2CID  124558011
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• アレン・ハッチャー『代数的位相幾何学』ケンブリッジ大学出版局、2002年。著者のホームページから無料でオンラインで入手可能。
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