ゾロタレフ多項式

数学において、ゾロタレフ多項式は近似理論で用いられる多項式です。原点近傍の近似精度がそれほど重要でない場合に、チェビシェフ多項式の代替として用いられることがあります。ゾロタレフ多項式は、係数のうち2つが任意の値を取ることができず、あらかじめ固定されている点でチェビシェフ多項式と異なります。第一種チェビシェフ多項式は、ゾロタレフ多項式の特殊なケースです。これらの多項式は、1868年にロシアの数学者エゴール・イワノビッチ・ゾロタレフによって導入されました。

定義と特性

の次数のゾロタレフ多項式は次の形式をとる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle Z_{n}(x,\sigma )=x^{n}-\sigma x^{n-1}+\cdots +a_{k}x^{k}+\cdots +a_{0}\ ,}$

ここでは の規定値であり、 はのゼロからの偏差が区間 において最小となるように選択される。^{[ 1 ]}${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle a_{n-1}}$ ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Z_{n}(x)}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

ゾロタレフ多項式の部分集合は、第一種チェビシェフ多項式で表される。 ${\displaystyle T_{n}(x)}$

${\displaystyle 0\leq \sigma \leq {\dfrac {1}{n}}\tan ^{2}{\dfrac {\pi }{2n}}}$

それから

${\displaystyle Z_{n}(x,\sigma )=(1+\sigma )^{n}T_{n}\left({\frac {x-\sigma }{1+\sigma }}\right)\ .}$

の値がこの範囲の最大値より大きい場合、ゾロタレフ多項式は楕円関数で表すことができます。 の場合、ゾロタレフ多項式はそれと等価なチェビシェフ多項式と同一です。 が負の値の場合、多項式は正の値の多項式から求めることができます。^{[ 2 ]}${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle Z_{n}(x,-\sigma )=(-1)^{n}Z_{n}(-x,\sigma )\ .}$

ゾロタレフ多項式は、次の関係を用いてチェビシェフ多項式の和​​に展開することができる^{[ 3 ]。}

${\displaystyle Z_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}T_{k}(x)\ .}$

8次ゾロタレフ多項式（左）と9次ゾロタレフ多項式（右）。^{[ 4 ]} x軸はプロトタイプ周波数としてマークされており、これはフィルタ設計で多項式を使用する場合に行われるものです。

ヤコビの楕円関数の観点から

ゾロタレフによって与えられた近似問題の最初の解は、ヤコビの楕円関数を用いたものであった。ゾロタレフは、区間 におけるピーク値（ ）の左側の零点の数と、このピーク値の右側の零点の数（ ）が等しくない一般解を与えた。この多項式の次数は である。多くの応用ではが使用され、その場合 のみを考慮すればよい。一般的なゾロタレフ多項式は次のように定義される^{[ 5 ]}${\displaystyle q}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle p=q}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Z_{n}(x|\kappa )={\frac {(-1)^{p}}{2}}\left[\left({\dfrac {H(uv)}{H(u+v)}}\right)^{n}+\left({\dfrac {H(u+v)}{H(uv)}}\right)^{n}\right]}$

どこ

${\displaystyle u=F\left(\left.\operatorname {sn} \left(\left.v\right|\kappa \right){\sqrt {\dfrac {1+x}{x+2\operatorname {sn} ^{2}\left(\left.v\right|\kappa \right)-1}}}\right|\kappa \right)}$

${\displaystyle v={\dfrac {p}{n}}K(\kappa )}$

${\displaystyle H(\varphi )}$ ヤコビ・イータ関数

${\displaystyle F(\varphi |\kappa )}$ は第一種不完全楕円積分である

${\displaystyle K(\kappa )}$ は第一種1/4波完全楕円積分である。すなわち、^{[ 6 ]}${\displaystyle K(\kappa )=F\left(\left.{\frac {\pi }{2}}\right|\kappa \right)}$

${\displaystyle \kappa }$ ヤコビの楕円係数

${\displaystyle \operatorname {sn} (\varphi |\kappa )}$ はヤコビの楕円正弦です。

区間[−1,1]内での関数の変化は、他の部分よりも大きい1つのピークを除いて等リップルである。このピークの位置と幅は独立に設定できる。ピークの位置は^{[ 3 ]で与えられる。}

${\displaystyle x_{\text{max}}=1-2\operatorname {sn} ^{2}(v|\kappa )+2{\dfrac {\operatorname {sn} (v|\kappa )\operatorname {cn} (v|\kappa )}{\operatorname {dn} (v|\kappa )}}Z(v|\kappa )}$

どこ

${\displaystyle \operatorname {cn} (\varphi |\kappa )}$ ヤコビの楕円余弦である

${\displaystyle \operatorname {dn} (\varphi |\kappa )}$ ヤコビデルタ振幅

${\displaystyle Z(\varphi |\kappa )}$ ヤコビゼータ関数

${\displaystyle v}$ 上記の定義の通りです。

ピークの高さは^{[ 3 ]で与えられる。}

${\displaystyle Z_{n}(x_{\text{max}}|\kappa )=\cosh 2n{\bigl (}\sigma _{\text{max}}Z(v|\kappa )-\varPi (\sigma _{\text{max}},v|\kappa ){\bigr )}}$

どこ

${\displaystyle \varPi (\phi _{1},\phi _{2}|\kappa )}$ は第三種不完全楕円積分である

${\displaystyle \sigma _{\text{max}}=F\left(\left.\sin ^{-1}\left({\dfrac {1}{\kappa \operatorname {sn} (v|\kappa )}}{\sqrt {\dfrac {x_{\text{max}}-x_{\mathrm {L} }}{x_{\text{max}}+1}}}\right)\right|\kappa \right)}$

${\displaystyle x_{\mathrm {L} }}$ 等波ピークと同じ高さのピークの左端の位置です。

ヤコビ・イータ関数

ヤコビのエータ関数はヤコビの補助シータ関数によって定義することができる。^{[ 7 ]}

${\displaystyle H(\varphi |\kappa )=\theta _{1}(a|b)}$

どこ、

${\displaystyle a={\frac {\pi \varphi }{2K'(\kappa )}}}$

${\displaystyle b=\exp \left(-{\frac {\pi K'(\kappa )}{K(\kappa )}}\right)}$

${\displaystyle K'(\kappa )=K({\sqrt {1-\kappa ^{2}}})\ .}$ ^{[ 8 ]}

アプリケーション

多項式は、区間[−1,1]上の 次数 の多項式を一様に近似する手段として、1868年にエゴール・イワノビッチ・ゾロタレフによって導入された。パフヌティ・チェビシェフは1858年に、この区間において が最大次数 の多項式で の誤差で近似できることを示した。1868年、ゾロタレフは が最大次数 の多項式で近似できることを示した。これは2次低い。ゾロタレフの方法の誤差は、次式で表される^{[ 9 ]。}${\displaystyle x^{n+1}}$ ${\displaystyle x^{n+1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ ${\displaystyle x^{n+1}-\sigma x^{n}}$ ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle 2^{-n}\left({\dfrac {1+\sigma }{1+n}}\right)^{n+1}\ .}$

この手順は1956年にナウム・アチーザーによってさらに開発されました。 ^{[ 10 ]}

ゾロタレフ多項式は、アチーザー・ゾロタレフフィルタの設計に用いられます。ゾロタレフ多項式は、1970年にラルフ・レヴィによってマイクロ波導波管フィルタの設計において初めてこの用途に用いられました。^{[ 11 ]}アチーザー・ゾロタレフフィルタは、通過帯域全体にわたってリップル減衰量が等しいという点でチェビシェフフィルタ に似ていますが、原点に最も近いピークにおいて減衰量が設定リップルを超えます。^{[ 12 ]}

ゾロタレフ多項式は、線形アンテナアレイの放射パターンを合成するために用いることができ、1985年にDAマクナマラによって初めて提案された。この研究は、周波数ではなくビーム角度を変数とするフィルタ適用に基づいている。ゾロタレフのビームパターンは、等レベルのサイドローブを持つ。^{[ 11 ]}

参考文献

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2. ピンカス 2001、464ページ
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7. ビーブ 2017、679ページ
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9. ニューマン＆レディ 1980、310ページ
10. ニューマン＆レディ 1980、310、316ページ
11. ハンセン 2009、p.87
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参考文献

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• アラン・ピンカス (2001)。「Z. §ゾロタレフ多項式」。 Hazewinkel、M. (編)。補足Ⅲ．数学百科事典。スプリンガー。 pp.  448–465。土井: 10.1007/978-0-306-48373-8_24。ISBN 978-0-306-48373-8。
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