リングの積
| 代数構造→ 環論環論 |
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数学において、環の積（かんのうのつう、英: nautica ）あるいは環の直積（かんのつうのつう、英: direct product of rings ）とは、複数の環（無限環を含む場合もある）の基礎集合の直積によって形成される環であり、成分ごとの演算を備えている。これは環のカテゴリにおける直積である。
直積は同型まで定義されるので、ある環がこれらの環の直積に同型であるとき、その環はいくつかの環の直積であると口語的に言われる。例えば、中国剰余定理は次のように述べられる。mとnが互いに素な整数であるとき、商環はとの積である。
例
重要な例として、nを法とする整数環Z / n Zが挙げられる。nを素数冪の積として表すと（算術の基本定理を参照）、
ここでp i が異なる素数である場合、Z / n Zは自然に積と同型である。
これは中国剰余定理から導かれる。
プロパティ
R = Π i ∈ I R i が環の積であるとき、 Iの任意のiに対して、その積をi番目の座標に射影する射影環準同型p i : R → R iが存在する。積Rと射影p iは、次の普遍性を持つ。
- S が任意の環であり、f i : S → R iがIのすべてのiに対する環準同型である場合、 Iのすべてのiに対してp i ∘ f = f iとなるような環準同型f : S → Rが1 つだけ存在する。
これは、環の積が圏論の意味での積の例であることを示しています。
Iが有限のとき、 Π i ∈ I R iの基礎となる加法群は、R iの加法群の直和と一致する。この場合、一部の著者はR を「環R iの直和」と呼び、 ⊕ i ∈ I R iと書くが、これは圏論の観点からは正しくない。なぜなら、これは通常、環の圏（単位元を持つ）における余積ではないからである。例えば、R iのうち2つ以上が自明でない場合、包含写像R i → Rは1対1の写像にならず、したがって環準同型ではない。
(可換環上の可換代数のカテゴリにおける有限余積は、代数のテンソル積である。代数のカテゴリにおける余積は、代数の自由積である。)
直積は自然同型性まで可換かつ結合的であるため、どのような順序で直積を形成するかは重要ではありません。
Iの各iについてA iがR iのイデアルである場合、A = Π i ∈ I A iはRのイデアルです。I が有限である場合、その逆が真です。つまり、Rのすべてのイデアルはこの形式になります。ただし、I が無限であり、環R iが自明でない場合、その逆は偽です。つまり、有限個以外のすべての非ゼロ座標を持つ要素の集合は、 R iのイデアルの直積ではないイデアルを形成します。イデアルAがRの素イデアルとなるのは、 A iのうち 1 つを除いてすべてがR iに等しく、残りのA iがR iの素イデアルである場合です。ただし、 Iが無限の場合、その逆は真ではありません。たとえば、R iの直和は、そのようなAに含まれないイデアルを形成しますが、選択公理によれば、それはa fortiori素であるある最大イデアルに含まれます。
Rの元xが単位元となるのは、そのすべての構成要素が単位元である場合、すなわち、Iの任意のiに対してp i ( x ) がR iの単位元となる場合である。Rの単位元群は、R iの単位元群の積である。
2 つ以上の非自明な環の積には、常に非ゼロのゼロ因子が存在します。つまり、 xがp i ( x )以外の座標がすべてゼロである積の要素であり、 yがp j ( y )以外の座標がすべてゼロである積の要素( i ≠ j )である場合、 積環で はxy = 0 となります。
参考文献
- ハースタイン、IN（2005）[1968]、非可換環（第5版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-88385-039-8
- ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、p.91、ISBN 978-0-387-95385-4、MR 1878556、Zbl 0984.00001
