偏光密度

古典電磁気学において、分極密度（または電気分極、あるいは単に分極）とは、誘電体中の永久または誘導電気双極子モーメントの体積密度を表すベクトル場である。誘電体が外部電場に置かれると、その分子は電気双極子モーメントを獲得し、誘電体は分極していると言われる。

与えられた誘電体サンプルの電気分極は、電気双極子モーメント（SI単位ではクーロン*メートル（C*m）で表されるベクトル量）を体積（メートルの3乗）で割った商として定義されます。^{[ 1 ] [ 2 ]}分極密度は数学的にはP で表され、^{[ 2 ]} SI単位ではクーロン毎平方メートル（C/m ²）で表されます。

分極密度は、物質が印加電場に対してどのように反応するか、また物質が電場をどのように変化させるかを説明するものであり、これらの相互作用から生じる力を計算するために使用できます。分極密度は、磁気学において物質の磁場に対する反応の尺度である磁化と比較することができます。

外部磁場が印加されない場合でもゼロではない永久磁化を持つ強磁性体と同様に、強誘電体材料は外部電場が存在しない場合にゼロではない分極を持ちます。

意味

誘電体に適用される外部電界により、結合した荷電元素の変位が引き起こされます。

束縛電荷とは、物質内の原子または分子に付随する電荷です。自由電荷のように物質内を自由に移動できないため、「束縛電荷」と呼ばれます。正電荷を持つ要素は電場の方向に変位し、負電荷を持つ要素は電場の方向と反対方向に変位します。分子は電荷が中性のままであっても、電気双極子モーメントを形成します。^{[ 3 ] [ 4 ]}

物質内の特定の体積要素が双極子モーメントを持っている場合、分極密度Pを定義します。 ${\displaystyle \デルタV}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$ $${\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\Delta \mathbf {p} }{\Delta V}}}$$

一般に、誘電体内の双極子モーメントは点ごとに変化します。したがって、微小体積 d V内の、微小双極子モーメントd pを持つ誘電体の分極密度Pは、次の式で表されます。 ${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$

$${\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} V}}}$$

1

分極の結果として現れる正味電荷は結合電荷と呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle Q_{b}}$

この分極密度の定義は「単位体積あたりの双極子モーメント」として広く採用されていますが、場合によっては曖昧さやパラドックスを招く可能性があります。^{[ 5 ]}

その他の表現

誘電体内部に孤立した体積d Vがあるとする。分極により、正電荷は負電荷に対して距離だけ変位し、双極子モーメントが生じる。この式を(1)に代入すると、 ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathrm {d} q_{b}\mathbf {d} }$ $${\displaystyle \mathbf {P} ={\mathrm {d} q_{b} \over \mathrm {d} V}\mathbf {d} }$$

体積d Vに束縛された電荷はPの式に等しいので、次の式は次のようになる。^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}}$ ${\displaystyle \rho _{b}\mathrm {d} V}$

$${\displaystyle \mathbf {P} =\rho _{b}\mathbf {d} }$$

2

ここで、は対象とする体積内の束縛電荷の密度です。上記の定義から明らかなように、双極子は全体として中性であり、したがって体積内の反対電荷の密度が等しいため、バランスが取れています。バランスが取れていない電荷は、後述する自由電荷の一部です。 ${\displaystyle \rho_{b}}$ ${\displaystyle \rho_{b}}$

P体に対するガウスの法則

面Sに囲まれた体積Vに対して、その内部の束縛電荷は負の符号をつけた PのSを通る流束に等しい。つまり、${\displaystyle Q_{b}}$

${\displaystyle -Q_{b}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

3

証拠

表面積Sが誘電体の一部を包むとします。分極により、負と正の束縛電荷は移動します。分極後の面積d Aの要素が形成する平面から、それぞれ束縛電荷と束縛電荷までの距離をd ₁とd ₂とします。また、面積d Aの上下に囲まれた体積をd V ₁とd V ₂とします。 ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$

上：基本体積 d V = d V ₁ + d V ₂ （面積 d Aの要素で囲まれる）は非常に小さいため、その内部に取り囲まれた双極子は、2つの基本電荷によって生成される双極子であると考えることができます。下：平面図（画像をクリックすると拡大します）。

その結果、負の束縛電荷は表面 d Aの外側部分から内側へ移動し、正の束縛電荷は表面の内側部分から外側へ移動したことになります。 ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}=\rho _{b}^{-}\ \mathrm {d} V_{1}=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A}$ ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}=\rho _{b}\ \mathrm {d} V_{2}=\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A}$

電荷保存の法則により、分極後に 体積内に残る総束縛電荷は次のようになります。${\displaystyle \mathrm {d} Q_{b}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} V}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=\mathrm {d} q_{\text{in}}-\mathrm {d} q_{\text{out}}\\&=\mathrm {d} q_{b}^{-}-\mathrm {d} q_{b}^{+}\\&=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A-\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A\end{aligned}}}$$

（右の画像を参照 ）$${\displaystyle \rho _{b}^{-}=-\rho _{b}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&=(da)\cos(\theta )\\d_{2}&=a\cos(\theta )\end{aligned}}}$$

上記の式は $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-\rho _{b}(da)\cos(\theta )\ \mathrm {d} A-\rho _{b}a\cos(\theta )\ \mathrm {d} A\\&=-\rho _{b}d\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\end{整列}}}$$

( 2 )より、 となり、次の式が得られます。 ${\displaystyle \rho _{b}d=P}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-P\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\\-\mathrm {d} Q_{b}&=\mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

そしてこの方程式を閉曲面S全体に渡って積分すると、次の式が得られる。

${\displaystyle -Q_{b}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

これで証明は完了です。

微分形式

発散定理により、場Pに関するガウスの法則は、次のように微分形式で表すことができます。 ここで、∇ · Pは、束縛電荷密度を含む特定の表面を通る場Pの発散です。 $${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} ,}$$ ${\displaystyle \rho_{b}}$

証拠

発散定理により、 束縛電荷を含む 体積Vに対して次式が成り立つ。そして、は束縛電荷密度をSで囲まれた体積V全体にわたって積分したものであるため、上式は 次式を得る。これは、 $${\displaystyle -Q_{b}=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {P} \ \mathrm {d} V,}$$ ${\displaystyle Q_{b}}$ ${\displaystyle Q_{b}}$ ${\displaystyle \rho_{b}}$ $${\displaystyle -\iiint _{V}\rho _{b}\ \mathrm {d} V=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {P} \ \mathrm {d} V,}$$ ${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} }$

PとEのフィールドの関係

均質等方性誘電体

周囲よりも大きな磁化率を持つ誘電体球を、あらかじめ均一な場の中に置いた場合の、D場の磁力線。 ^{[ 6 ]} E場の磁力線は図示されていない。これらは同じ方向を向いているが、多くの磁力線は球の表面、つまり束縛電荷が存在する場所で始まり、終わる。その結果、球内部の電界線密度は球外部よりも低く、これは球内部の電界が球外部よりも弱いことに対応している。

均質で線形、非分散性、等方性の誘電媒体では、分極は電界Eと一致し、比例する。^{[ 7 ]}$${\displaystyle \mathbf {P} =\chi \varepsilon _{0}\mathbf {E} ,}$$

ここで、ε ₀は電気定数、χは媒質の電気感受率です。この場合、 χ はスカラーに簡略化されますが、より一般的にはテンソルになります。これは誘電体の等方性による特殊なケースです。

PとEの関係を考慮すると、式（3）は次のようになる。^{[ 3 ]}

${\displaystyle -Q_{b}=\chi \varepsilon _{0}\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

積分の式は、場Eに対するガウスの法則であり、 Sに囲まれた体積V内の自由電荷と束縛電荷の両方を与える。^{[ 3 ]}したがって、 ${\displaystyle (Q_{f})}$ ${\displaystyle (Q_{b})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-Q_{b}&=\chi Q_{\text{total}}\\&=\chi \left(Q_{f}+Q_{b}\right)\\[3pt]\Rightarrow Q_{b}&=-{\frac {\chi }{1+\chi }}Q_{f},\end{aligned}}}$$

これは自由電荷密度と束縛電荷密度で表すことができます（電荷、その体積電荷密度、および与えられた体積の関係を考慮することにより）。 $${\displaystyle \rho _{b}=-{\frac {\chi }{1+\chi }}\rho _{f}}$$

均質な誘電体内には自由電荷は存在しないため、最後の式から、物質内にはバルク束縛電荷は存在しないと結論付けられます。また、自由電荷は誘電体の最表面まで到達できるため、分極は表面束縛電荷密度（体積束縛電荷密度との曖昧さを避けるためにこのように表記）のみを生じさせます。^{[ 3 ]}${\displaystyle (\rho _{f}=0)}$ ${\displaystyle (\rho _{b}=0)}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$ ${\displaystyle \rho _{b}}$

${\displaystyle \sigma _{b}}$ Pと次の式で関係付けられる： ^{[ 8 ]} ここで、 S面の法線ベクトルは外側を向いている。（厳密な証明については 電荷密度を参照）$${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}}$

異方性誘電体

分極密度と電界が同じ方向ではない誘電体のクラスは、異方性材料として知られています。

このような材料では、分極のi番目の成分は電場のj番目の成分と次の関係がある: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle P_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{0}\chi _{ij}E_{j},}$$

この関係は、例えば、物質にZ方向に電場を印加するとX方向に分極できることなどを示しています。異方性誘電体媒体の場合は、結晶光学の分野で説明されます。

ほとんどの電磁気学と同様に、この関係式は電場と双極子密度のマクロ的な平均を扱うため、原子スケールの挙動を無視した誘電体の連続体近似が得られる。媒質中の個々の粒子の分極率は、クラウジウス・モソッティの関係式によって平均磁化率および分極密度と関連付けられる。

一般に、磁化率は印加電界の周波数ωの関数である。電界が時間tの任意の関数である場合、分極はχ ( ω )のフーリエ変換とE ( t )の畳み込みとなる。これは、物質中の双極子が印加電界に瞬時に応答できないという事実を反映しており、因果関係を考慮するとクラマース・クローニッヒの関係が成立する。

分極Pが電場Eに比例しない場合、その媒質は非線形媒質と呼ばれ、非線形光学の分野で記述されます。良好な近似として（十分に弱い電場の場合、永久双極子モーメントが存在しないと仮定すると）、Pは通常、 Eのテイラー級数で与えられ、その係数は非線形感受率です。

$${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\varepsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots }$$

ここで、 は線形感受率、は 2 次感受率（ポッケルス効果、光整流、第 2 高調波発生などの現象を記述）、は 3 次感受率（カー効果や電場誘起光整流 などの 3 次効果を記述）です。${\displaystyle \chi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

強誘電体材料では、ヒステリシスのため、 PとEの間に 1 対 1 の対応はまったくありません。

マクスウェル方程式における分極密度

電場（E、D）、磁場（B、H）、電荷密度（ρ）、電流密度（J ）の挙動は、物質におけるマクスウェル方程式によって記述されます。

E、D、Pの関係

体積電荷密度の観点から、自由電荷密度は次のように表される。 ${\displaystyle \rho _{f}}$

$${\displaystyle \rho _{f}=\rho -\rho _{b}}$$

ここで、は全電荷密度である。上式の各項と、対応する電界（変位電界D、E、Pの順に）の発散との関係を考慮すると、これは次のように表される。^{[ 9 ]}${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} .}$$

これは電場の構成方程式として知られています。ここで、 ε ₀は空洞の誘電率です。この式において、 Pは「固定」電荷である双極子が基礎となる全電場Eに応じて移動する際に物質に誘起される電場（の負の値）であり、Dは残りの電荷、いわゆる「自由」電荷による電場です。^{[ 5 ] [ 10 ]}

一般に、Pは媒体に応じてEの関数として変化します（詳細は本稿の後半で説明します）。多くの問題では、 Eと全電荷よりもDと自由電荷を用いる方が扱いやすいです。 ^{[ 1 ]}

したがって、偏光媒体は、グリーンの定理により4 つの成分に分割できます。

• 束縛体積電荷密度:${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$
• 結合表面電荷密度:${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$
• 自由体積電荷密度:${\displaystyle \rho _{f}=\nabla \cdot \mathbf {D} }$
• 自由表面電荷密度:${\displaystyle \sigma _{f}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {D} }$

時間変動分極密度

分極密度が時間とともに変化すると、時間依存の束縛電荷密度は分極電流密度を生成する。

$${\displaystyle \mathbf {J} _{p}={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

したがって、マクスウェル方程式に入る全電流密度は次のように与えられる。

$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

ここで、J _fは自由電荷電流密度であり、2 番目の項は磁化電流密度 (束縛電流密度とも呼ばれる) であり、原子スケールの磁気双極子(存在する場合) からの寄与です。

二極化の曖昧さ

バルク結晶の分極密度が曖昧である例。(a) 固体結晶。(b) 正電荷と負電荷を特定の方法でペアにすると、結晶は上向きの分極を持つように見えます。(c) 電荷を異なる方法でペアにすると、結晶は下向きの分極を持つように見えます。

結晶材料

単純なアプローチでは、固体内部の分極は一般に一意に定義されません。バルク固体は周期的であるため、分極を計算する単位格子を選択しなければなりません（図を参照）。^{[ 11 ] [ 12 ]}言い換えれば、同じ固体を見てアリスとボブの 2 人が異なるPの値を計算する場合でも、どちらも間違いにはなりません。たとえば、アリスが上部に正イオンがある単位格子を選択し、ボブが上部に負イオンがある単位格子を選択した場合、計算されたPベクトルは反対方向になります。アリスとボブは固体内の微視的電場Eについては同意しますが、変位場 の値については意見が一致しません。 ${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$

Pの値はバルク固体では一意に定義されないが、Pの変化は一意に定義される。^{[ 11 ]}結晶が徐々にある構造から別の構造へと変化すると、原子核と電子の運動により、各単位格子内に電流が生じる。この電流は結晶の片側から他側への巨視的な電荷移動をもたらすため、結晶の反対側に電線を接続すれば、電流計で（他の電流と同様に）測定できる。電流の時間積分はPの変化に比例する。電流はコンピュータシミュレーション（密度汎関数理論など）で計算でき、積分電流の式はベリーの位相の一種となる。^{[ 11 ]}

Pが唯一でないことは問題ではない。なぜなら、Pの測定可能な結果はすべて、実際にはPの連続的な変化の結果だからである。^{[ 11 ]}例えば、物質がゼロから有限値まで徐々に増加する電場Eに置かれると、物質の電子およびイオンの位置はわずかに移動する。これによってPが変化し、結果として電気感受性（ひいては誘電率）が生じる。別の例として、いくつかの結晶が加熱されると、その電子およびイオンの位置がわずかに移動してPが変化する。その結果、焦電性が生じる。いずれの場合も、関心のある特性はPの変化と関連している。

現在「現代分極理論」と呼ばれる理論では、分極は差異として定義されています。反転対称性を持つ構造は分極がゼロであり、反転中心の周りには正電荷と負電荷が同一に分布しています。物質が変形すると、電荷分布内の電荷によって分極が発生する可能性があります。^{[ 12 ]}

非晶質材料

Pの定義におけるもう一つの問題は、「単位体積」の恣意的な選択、より正確にはシステムのスケールに関係している。^{[ 5 ]}例えば、ミクロスケールではプラズマは自由電荷の気体と見なすことができるため、Pはゼロとなる。一方、マクロスケールでは、同じプラズマは連続媒体として記述でき、誘電率を示し、したがって正味の分極はP ≠ 0となる。 ${\displaystyle \varepsilon (\omega )\neq 1}$

参照

• 結晶構造
• 強誘電性
• エレクトレット
• 二極化（曖昧さ回避）

参考文献と注釈

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2. パーカー、シビル・P.編（1994年）『マグロウヒル物理学百科事典（第2版）』ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 978-0-07-051400-3。
3. イロドフ, IE (1986).電磁気学の基本法則. ミール出版社, CBS出版社・販売元. ISBN 81-239-0306-5。
4. Matveev, AN (1986).電気と磁気. ミール出版社.
5. C.A. Gonano; RE Zich; M. Mussetta (2015). 「マクスウェル方程式と完全に一致する分極Pと磁化Mの定義」(PDF) . 『Progress in Electromagnetics Research B』64 : 83–101 . doi : 10.2528/PIERB15100606 .
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8. Grant, I.S.; Phillips, WR (2008).電磁気学（第2版）. Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9。
9. Saleh, BEA; Teich+, MC (2007). 『フォトニクスの基礎』ホーボーケン, ニュージャージー: Wiley . p. 154. ISBN 978-0-471-35832-9。
10. A. Herczynski (2013). 「束縛電荷と電流」(PDF) . American Journal of Physics . 81 (3): 202– 205. Bibcode : 2013AmJPh..81..202H . doi : 10.1119/1.4773441 .
11. Resta, Raffaele (1994). 「結晶誘電体における巨視的分極：幾何学的位相アプローチ」(PDF) . Rev. Mod. Phys . 66 (3): 899– 915. Bibcode : 1994RvMP...66..899R . doi : 10.1103/RevModPhys.66.899 .参照: D Vanderbilt、「電子構造理論におけるベリー位相と曲率」 (入門レベルのパワーポイント)。
12. スパルディン、ニコラ A. (2012). 「現代分極理論への初心者向けガイド」 . Journal of Solid State Chemistry . 195 : 2–10 . arXiv : 1202.1831 . Bibcode : 2012JSSCh.195....2S . doi : 10.1016/j.jssc.2012.05.010 . S2CID 55374298 . 

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの電気分極に関するメディア