ネットワーク科学

ネットワーク科学は、電気通信ネットワーク、コンピュータネットワーク、生物学的ネットワーク、認知・意味ネットワーク、ソーシャルネットワークといった複雑なネットワークを研究する学問分野です。ネットワーク科学では、ノード（頂点）で表される個別の要素またはアクターと、リンク（エッジ）で表される要素またはアクター間の接続を考察します。この分野は、数学のグラフ理論、物理学の統計力学、コンピュータサイエンスのデータマイニングと情報可視化、統計学の推論モデリング、社会学の社会構造といった理論と手法を活用しています。米国国立研究会議は、ネットワーク科学を「物理的、生物学的、および社会的現象のネットワーク表現を研究し、それらの現象の予測モデルを構築すること」と定義しています。[ 1 ]

背景と歴史

ネットワークの研究は、複雑な関係データを分析する手段として、様々な分野で発展してきました。この分野における最も古い論文は、レオンハルト・オイラーが1736年に著した有名な『ケーニヒスベルクの七つの橋』です。オイラーによる頂点と辺の数学的記述は、ネットワーク構造における対関係の性質を研究する数学の一分野であるグラフ理論の基礎となりました。グラフ理論の分野はその後も発展を続け、化学分野への応用が見出されました。[ 2 ]

ハンガリーの数学者で教授のデーネス・ケーニヒは、1936年にグラフ理論の最初の本『有限グラフと無限グラフの理論』を執筆した。[ 3 ]

モレノによる 1 年生のクラスの社会図。

1930年代、ゲシュタルト心理学のジェイコブ・モレノがアメリカ合衆国にやって来ました。彼はソシオグラムを開発し、1933年4月の医学者会議で発表しました。モレノは、「ソシオメトリーの出現以前は、集団の人間関係の構造が『正確に』どのようなものなのか誰も知らなかった」と主張しました。[ 4 ]ソシオグラムは、小学生の集団の社会構造を表現したものでした。男子生徒は男子生徒同士、女子生徒は女子生徒同士で、ただ一人の男子生徒だけが一人の女の子を好きだと言いました。その気持ちは相手に向けられていませんでした。この社会構造のネットワーク表現は非常に興味深いとされ、ニューヨーク・タイムズ紙に掲載されました。[ 5 ]ソシオグラムは多くの応用が見出され、社会ネットワーク分析の分野へと発展しました。[ 6 ]

ネットワーク科学における確率理論は、ポール・エルデシュとアルフレッド・レーニによるランダムグラフに関する8つの有名な論文によってグラフ理論から派生して発展しました。ソーシャルネットワークにおいて、指数ランダムグラフモデル（p*）は、ソーシャルネットワークで発生する同点の確率空間を表すために使用される表記法です。ネットワーク確率構造への代替的なアプローチとして、ネットワーク確率行列があります。これは、ネットワークサンプルにおけるエッジの過去の存在の有無に基づいて、ネットワークで発生するエッジの確率をモデル化します。

2000年頃、ネットワークへの関心は爆発的に高まりました。これは、様々なネットワークトポロジーを記述するための新しい数学的枠組みを提示する新たな発見が相次ぎ、「ネットワーク科学」という用語が生まれたことによるものです。 アルバート＝ラースロー・バラバシとレカ・アルバートは 、WWWから細胞に至るまで、多くの現実のネットワークにスケールフリーネットワークの性質があることを発見しました[ 7 ] 。スケールフリーの性質は、現実のネットワークハブが多数の小さな次数の頂点と共存するという事実を捉えており、著者らはこのスケールフリー状態の起源を説明する力学モデルを提示しました[ 7 ] 。ダンカン・ワッツとスティーブン・ストロガッツは、ネットワークに関する経験的データと数学的表現を調和させ、スモールワールドネットワークを記述しました[ 8 ]。

ネットワーク分類

決定論的ネットワーク

決定論的ネットワークの定義は、確率的ネットワークの定義と比較されます。重み付けされていない決定論的ネットワークでは、エッジは存在するか存在しないかのどちらかであり、通常、エッジが存在しないことを示すには0を、エッジが存在することを示すには1を使用します。重み付けされた決定論的ネットワークでは、エッジの値は各エッジの重み、例えば強度レベルを表します。

確率ネットワーク

確率ネットワークでは、各エッジの背後にある値は、各エッジの存在確率を表します。例えば、あるエッジの値が0.9の場合、そのエッジの存在確率は0.9であるとします。[ 9 ]

ネットワークプロパティ

多くの場合、ネットワークには特定の属性があり、それらを計算するとネットワークの特性や特徴を分析できます。これらのネットワーク特性の挙動は、多くの場合ネットワークモデルを定義し、特定のモデル間の相違点を分析するために使用できます。ネットワーク科学で使用されるその他の用語の定義の多くは、グラフ理論用語集に記載されています。

サイズ

ネットワークのサイズは、ノードの数、あるいはあまり一般的ではありませんが、エッジの数を指します。エッジの数の範囲は、（多重エッジのない連結グラフの場合）（ツリー）から（完全グラフ）までです。単純グラ​​フ（各頂点ペア間に最大1つの（無向）エッジが存在し、頂点同士が接続されていないネットワーク）の場合、; 有向グラフ（自己連結ノードを持たない）の場合、 ; 自己連結が許容される有向グラフの場合、となります。頂点ペア間に複数のエッジが存在する可能性があるグラフの場合、 となります。 北{\displaystyle N}E{\displaystyle E}北−1{\displaystyle N-1}E最大{\displaystyle E_{\max}}E最大＝（北2）＝北（北−1）/2{\displaystyle E_{\max }={\tbinom {N}{2}}=N(N-1)/2}E最大＝北（北−1）{\displaystyle E_{\max}=N(N-1)}E最大＝北2{\displaystyle E_{\max}=N^{2}}E最大＝∞{\displaystyle E_{\max }=\infty }

密度

ネットワークの密度は、ノードを持つネットワークにおけるエッジの数と可能なエッジの数の0と1の間の正規化された比率として定義されます。ネットワーク密度は、ネットワーク内に存在する「オプションの」エッジのパーセンテージの尺度であり、次のように計算できます。 ここで、とは、それぞれノードを持つ接続されたネットワークのエッジの最小数と最大数です。単純なグラフの場合、は二項係数と で与えられ、密度 となります 。別の可能な式は ですが、つながりは一方向性です (Wasserman & Faust 1994)。[ 10 ]これにより、一方向性の関係を測定できるため、ネットワーク密度をより適切に概観できます。 D{\displaystyle D}E{\displaystyle E}北{\displaystyle N}D＝E−Eメートル私nEメートル1つの×−Eメートル私n{\displaystyle D={\frac {E-E_{\mathrm {min} }}{E_{\mathrm {max} }-E_{\mathrm {min} }}}}Eメートル私n{\displaystyle E_{\mathrm {分} }}Eメートル1つの×{\displaystyle E_{\mathrm {max} }}北{\displaystyle N}Eメートル1つの×{\displaystyle E_{\mathrm {max} }}（北2）{\displaystyle {\tbinom {N}{2}}}Eメートル私n＝北−1{\displaystyle E_{\mathrm {min} }=N-1}D＝E−（北−1）Eメートル1つの×−（北−1）＝2（E−北+1）北（北−3）+2{\displaystyle D={\frac {E-(N-1)}{E_{\mathrm {max} }-(N-1)}}={\frac {2(E-N+1)}{N(N-3)+2}}}D＝T−2北+2北（北−3）+2、{\displaystyle D={\frac {T-2N+2}{N(N-3)+2}},}T{\displaystyle T}

平面ネットワーク密度

エッジ間の交差がないネットワークの密度は、交差するエッジのないグラフで与えられるノードを持つネットワークにおけるエッジの数と可能なエッジの数の比として定義され、D{\displaystyle D}E{\displaystyle E}北{\displaystyle N}（E最大＝3北−6）{\displaystyle (E_{\max}=3N-6)}D＝E−北+12北−5。{\displaystyle D={\frac {E-N+1}{2N-5}}.}

平均度

ノードの次数と は、そのノードに接続されている辺の数です。ネットワークの密度と密接に関連しているのは平均次数（有向グラフの場合は、無向グラフの各辺が2つの異なる頂点の次数に寄与することから生じる係数2）です。ERランダムグラフモデル（）では、 の期待値 （任意の頂点の の期待値に等しい）を計算できます。ランダムな頂点には、ネットワーク内に利用可能な他の頂点が 個あり、確率 で各頂点に接続します。したがって、 です。 け{\displaystyle k}⟨け⟩＝2E北{\displaystyle \langle k\rangle ={\tfrac {2E}{N}}}⟨け⟩＝E北{\displaystyle \langle k\rangle ={\tfrac {E}{N}}}G（北、p）{\displaystyle G(N,p)}⟨け⟩{\displaystyle \langle k\rangle }け{\displaystyle k}北−1{\displaystyle N-1}p{\displaystyle p}E[⟨け⟩]＝E[け]＝p（北−1）{\displaystyle \mathbb {E} [\langle k\rangle ]=\mathbb {E} [k]=p(N-1)}

学位分布

次数分布は、インターネットやソーシャルネットワークなどの現実のネットワークと理論モデルの両方において基本的な特性です。ネットワークの次数分布P ( k )は、ネットワーク内の次数kのノードの割合として定義されます。例えば、n個のノードがそれぞれ独立して確率p（または1− p ）で接続（または非接続）される（エルデシュ・レーニイモデル）ランダムグラフなどの最も単純なネットワークモデルは、次数kの二項分布（またはnが大きい場合のポアソン分布）を示します。しかし、 WWWからタンパク質相互作用ネットワークに至るまで、ほとんどの現実のネットワークは、次数分布が非常に右に偏っています。つまり、大多数のノードは次数が低い一方で、「ハブ」と呼ばれる少数のノードは次数が高いということです。このようなスケールフリーネットワークでは、次数分布は近似的にべき乗則に従います。ここで、γは次数指数、は定数です。このようなスケールフリーネットワークは、次数分布の発散する二次モーメントに起因する、予期せぬ構造的および動的特性を持っています。[ 6 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]P（け）{\displaystyle P(k)}P（け）〜け−γ{\displaystyle P(k)\sim k^{-\gamma }}

平均最短経路長（または特性経路長）

平均最短経路長は、すべてのノードペア間の最短経路を見つけ、その経路の長さ（経路に含まれる中間エッジの数、つまりグラフ内の2つの頂点間の距離）のすべての経路の平均をとることで計算されます。これは、ネットワークの1つのメンバーから別のメンバーに到達するのにかかる平均ステップ数を示します。ランダムネットワークモデルの頂点数の関数としての期待平均最短経路長（つまり、平均最短経路長のアンサンブル平均）の挙動により、そのモデルがスモールワールド効果を示すかどうかが決まります。つまり、 のようにスケールする場合、モデルはスモールワールドネットを生成します。対数よりも速い成長の場合、モデルはスモールワールドを生成しません。 の特殊なケースは、超スモールワールド効果として知られています。 dあなた、v{\displaystyle d_{u,v}}あなた、v{\displaystyle u,v}北{\displaystyle N}お（ln⁡北）{\displaystyle O(\ln N)}お（ln⁡ln⁡北）{\displaystyle O(\ln \ln N)}

ネットワークの直径

ネットワークグラフを測定する別の方法として、ネットワークの直径を、ネットワーク内で計算された最短経路のうち最長の経路として定義することができます。これは、ネットワーク内で最も離れた2つのノード間の最短距離です。言い換えれば、各ノードから他のすべてのノードまでの最短経路長を計算した後、計算された経路長の中で最長の経路が直径となります。直径はネットワークの線形サイズを表します。ノードABCDが接続されている場合、AからDに向かうと、直径は3（3ホップ、3リンク）になります。

クラスタリング係数

クラスタリング係数は、「友達全員がお互いを知っている」という性質の尺度です。これは、「友達の友達は友達」と表現されることもあります。より正確には、ノードのクラスタリング係数は、ノードの隣接ノード同士を結ぶ既存のリンクの数と、そのようなリンクの最大可能数との比率です。ネットワーク全体のクラスタリング係数は、すべてのノードのクラスタリング係数の平均です。ネットワークのクラスタリング係数が高いことは、スモールワールドのもう一つの指標です。[ 6 ]

'番目のノード のクラスタリング係数は私{\displaystyle i}

C私＝2e私け私（け私−1）、{\displaystyle C_{i}={2e_{i} \over k_{i}{(k_{i}-1)}}\,,}

ここで、 は ' 番目のノードの隣接ノードの数であり、はこれらの隣接ノード間の接続数である。したがって、隣接ノード間の接続の最大可能数は、 け私{\displaystyle k_{i}}私{\displaystyle i}e私{\displaystyle e_{i}}

（け2）＝け（け−1）2。{\displaystyle {\binom {k}{2}}={{k(k-1)} \over 2}\,.}

確率的な観点から見ると、期待されるローカル クラスタリング係数は、同じノードの任意の 2 つの隣接ノード間にリンクが存在する可能性です。

つながり

ネットワークの接続方法は、ネットワークの分析と解釈に大きな役割を果たします。ネットワークは以下の4つのカテゴリに分類されます。

  • クリーク/完全グラフ：すべてのノードが他のすべてのノードに接続されている、完全に接続されたネットワーク。これらのネットワークは、すべてのノードが他のすべてのノードからインリンクとアウトリンクを持つという点で対称的です。
  • 巨大コンポーネント: ネットワーク内のほとんどのノードを含む単一の接続されたコンポーネント。
  • 弱連結成分: エッジの方向性を無視して、任意のノードから他の任意のノードへのパスが存在するノードの集合。
  • 強く接続されたコンポーネント:任意のノードから他の任意のノードへの有向パスが存在するノードのコレクション。

ノード中心性

中心性指標は、ネットワークモデルにおいて最も重要なノードを特定するためのランキングを生成します。異なる中心性指標は、「重要度」という言葉が持つ文脈をそれぞれ異なります。例えば、媒介中心性は、あるノードが他の多くのノードの間に橋渡しをしている場合、そのノードを非常に重要とみなします。一方、固有値中心性は、他の多くの非常に重要なノードがそのノードにリンクしている場合、そのノードを非常に重要とみなします。このような指標は、文献において数百種類提案されています。

中心性指標は、最も重要なノードを特定する場合にのみ正確です。ネットワークの残りのノードについては、その指標が意味を持つことはほとんどありません。[ 15 ] [ 16 ]また、その指標は、重要性に関する想定された文脈内でのみ正確であり、他の文脈では「誤った判断」をする傾向があります。[ 17 ]例えば、それぞれのコミュニティの最下位メンバー間のエッジのみが唯一のリンクである2つの別々のコミュニティを想像してみてください。一方のコミュニティから他方のコミュニティへの移動はすべてこのリンクを経由する必要があるため、2人の下位メンバーは高い媒介中心性を持ちます。しかし、彼らは下位であるため（おそらく）、コミュニティ内の「重要な」ノードとのつながりがほとんどなく、固有値中心性は非常に低くなります。

ノードの影響

中心性指標の限界により、より一般的な指標の開発が進んだ。その例としては、ランダムウォークの多様性を用いて、ある開始ノードからネットワークの残りの部分へのアクセス可能性を測定するアクセシビリティ[ 18 ] と、ノードによって生成される感染力の期待値から導かれる期待力[ 15 ]が挙げられる。 これらの指標はどちらも、ネットワークの構造のみから意味のある形で計算することができる。

コミュニティ構造

図 1:コミュニティ構造を示す小規模ネットワークのスケッチ。内部接続が密で、グループ間の接続が疎な 3 つのノード グループがあります。

ネットワーク内のノードは、コミュニティを表すグループに分割される場合があります。状況に応じて、コミュニティは明確に区別される場合もあれば、重複する場合もあります。通常、このようなコミュニティ内のノードは、同じコミュニティ内の他のノードとは強く結びついていますが、コミュニティ外のノードとは弱く結びついています。特定のネットワークのコミュニティ構造を記述するグラウンドトゥルースがない場合、教師ありクラスタリング手法または教師なしクラスタリング手法を用いて、可能性のあるコミュニティ構造を推測するアルゴリズムがいくつか開発されています。

ネットワークモデル

ネットワークモデルは、経験的な複雑ネットワーク内の相互作用を理解するための基礎となります。様々なランダムグラフ生成モデルは、現実世界の複雑ネットワークと比較可能なネットワーク構造を生成します。

エルデシュ・レーニランダムグラフモデル

このエルデシュ・レーニイモデルは、 N = 4ノードで生成されます。Nノードすべてで構成される完全グラフの各エッジに対して、乱数が生成され、与えられた確率と比較されます。乱数がp未満の場合、モデル上にエッジが形成されます。

エルデシュ・レーニモデルは、ポール・エルデシュとアルフレッド・レーニにちなんで名付けられ、ノード間に等確率でエッジが設定されるランダムグラフを生成するために使用されます。確率的手法において、様々な性質を満たすグラフの存在を証明したり、ある性質がほぼすべてのグラフに当てはまることの意味を厳密に定義したりするために使用できます。

Erdős–Rényi モデルを生成するには、ノードの総数nと、ランダムなノードのペアにエッジがある 確率pの 2 つのパラメータを指定する必要があります。G（n、p）{\displaystyle G(n,p)}

モデルは特定のノードに偏ることなく生成されるため、次数分布は二項分布となる。ランダムに選択された頂点に対して、 v{\displaystyle v}

P（度⁡（v）＝け）＝（n−1け）pけ（1−p）n−1−け。{\displaystyle P(\deg(v)=k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k}.}

このモデルではクラスタリング係数は0 a.sです。の挙動は 3つの領域に分けられます。 G（n、p）{\displaystyle G(n,p)}

亜臨界 : すべてのコンポーネントは単純かつ非常に小さく、最大のコンポーネントのサイズは; np<1{\displaystyle np<1}|C1|=O(log⁡n){\displaystyle |C_{1}|=O(\log n)}

致命的 ：; np=1{\displaystyle np=1}|C1|=O(n23){\displaystyle |C_{1}|=O(n^{\frac {2}{3}})}

超臨界 :は方程式の正の解です。 np>1{\displaystyle np>1}|C1|≈yn{\displaystyle |C_{1}|\approx yn}y=y(np){\displaystyle y=y(np)}e−pny=1−y{\displaystyle e^{-pny}=1-y}

最大の連結成分は複雑度が高い。他のすべての成分は単純で小さい。 |C2|=O(log⁡n){\displaystyle |C_{2}|=O(\log n)}

構成モデル

配置モデルは、次数列[ 19 ] [ 20 ]または次数分布[ 21 ] [ 22 ] (これはその後次数列を生成するために使用される) を入力として受け取り、次数列以外のすべての点でランダムに接続されたグラフを生成します。つまり、次数列の特定の選択に対して、グラフはこの次数列に準拠するすべてのグラフの集合から一様にランダムに選択されます。ランダムに選択された頂点の次数は、整数値を持つ 独立した同一分布のランダム変数です。 のとき、配置グラフには、無限サイズを持つ巨大な接続コンポーネントが含まれます。 [ 20 ]残りのコンポーネントは有限サイズであり、サイズ分布の概念を使用して定量化できます。ランダムにサンプリングされたノードがサイズのコンポーネントに接続される確率は、次数分布の畳み込み累乗で与えられます。[ 23 ]ここで、は次数分布、 を表します。巨大なコンポーネントは、すべてのエッジの臨界部分をランダムに削除することで破壊できます。このプロセスはランダムネットワークにおけるパーコレーションと呼ばれる。次数分布の2次モーメントが有限のとき、この臨界辺率は[ 24 ]で与えられ、巨大成分における平均頂点間距離はネットワーク全体の大きさに対数的に比例する[ 22 ]。k{\displaystyle k}E[k2]−2E[k]>0{\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0}w(n){\displaystyle w(n)}n{\displaystyle n}w(n)={E[k]n−1u1∗n(n−2),n>1,u(0)n=1,{\displaystyle w(n)={\begin{cases}{\frac {\mathbb {E} [k]}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1,\\u(0)&n=1,\end{cases}}}u(k){\displaystyle u(k)}u1(k)=(k+1)u(k+1)E[k]{\displaystyle u_{1}(k)={\frac {(k+1)u(k+1)}{\mathbb {E} [k]}}}pc{\displaystyle p_{c}}E[k2]<∞{\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]<\infty }pc=1−E[k]E[k2]−E[k]{\displaystyle p_{c}=1-{\frac {\mathbb {E} [k]}{\mathbb {E} [k^{2}]-\mathbb {E} [k]}}}l{\displaystyle l}l=O(log⁡N){\displaystyle l=O(\log N)}

有向配置モデルでは、ノードの次数は入次数と出次数の2つの数で与えられ、したがって次数分布は2変数である。入辺と出辺の期待数は一致するため、となる。有向配置モデルに巨大成分が含まれるのは、次の場合である[ 25 ] 。後者の不等式では、とが等しく、したがって互換性があることに注意する。ランダムに選ばれた頂点がサイズの成分に属する確率は、入成分については [ 26 ]で与えられ、kin{\displaystyle k_{\text{in}}}kout{\displaystyle k_{\text{out}}}E[kin]=E[kout]{\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]=\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}2E[kin]E[kinkout]−E[kin]E[kout2]−E[kin]E[kin2]+E[kin2]E[kout2]−E[kinkout]2>0.{\displaystyle 2\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]+\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]^{2}>0.}E[kin]{\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]}E[kout]{\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{out}}]}n{\displaystyle n}hin(n)=E[kin]n−1u~in∗n(n−2),n>1,u~in=kin+1E[kin]∑kout≥0u(kin+1,kout),{\displaystyle h_{\text{in}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{in}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{in}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{in}}={\frac {k_{\text{in}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{in}}]}}\sum \limits _{k_{\text{out}}\geq 0}u(k_{\text{in}}+1,k_{\text{out}}),}

hout(n)=E[kout]n−1u~out∗n(n−2),n>1,u~out=kout+1E[kout]∑kin≥0u(kin,kout+1),{\displaystyle h_{\text{out}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{out}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{out}}={\frac {k_{\text{out}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}}\sum \limits _{k_{\text{in}}\geq 0}u(k_{\text{in}},k_{\text{out}}+1),}

アウトコンポーネント用。

ワッツ・ストロガッツのスモールワールドモデル

ワッツとストロガッツのモデルは、その構造を実現するために再配線の概念を用いています。モデル生成器は、元の格子構造の各辺を反復処理します。この例では、辺は与えられた再配線確率に従って、接続された頂点を変更する可能性があります。⟨k⟩=4{\displaystyle \langle k\rangle =4}

Wattsと Strogatz モデルは、スモールワールド特性を持つグラフを生成するランダム グラフ生成モデルです。

初期格子構造を用いてワッツ・ストロガッツモデルを生成する。ネットワーク内の各ノードは、初期状態では最も近いノードにリンクされている。別のパラメータとして、再配線確率が指定される。各エッジには、ランダムエッジとしてグラフに再配線される確率がある。モデル内で再配線されるリンクの期待値は である。 ⟨k⟩{\displaystyle \langle k\rangle }p{\displaystyle p}pE=pN⟨k⟩/2{\displaystyle pE=pN\langle k\rangle /2}

ワッツ・ストロガッツモデルは非ランダムな格子構造から始まるため、非常に高いクラスタリング係数と長い平均パス長を持ちます。各再配線は、高度に接続されたクラスター間のショートカットを作成する可能性が高くなります。再配線の確率が増加するにつれて、クラスタリング係数は平均パス長よりも緩やかに減少します。つまり、クラスタリング係数のわずかな減少で、ネットワークの平均パス長を大幅に短縮できるのです。pの値が高いほど、再配線されるエッジの数が多くなり、結果としてワッツ・ストロガッツモデルはランダムネットワークになります。

バラバシ・アルバート（BA）優先アタッチメントモデル

バラバシ・アルバートモデルは、優先的接続、つまり「金持ちはますます金持ちになる」効果を実証するために使用されるランダムネットワークモデルです。このモデルでは、エッジは次数の高いノードに接続される可能性が最も高くなります。ネットワークは、m 0個のノードからなる初期ネットワークから始まります。m 0 ≥ 2 であり 、初期ネットワークの各ノードの次数は少なくとも1である必要があります。そうでない場合、そのノードは常にネットワークの他の部分から切断されたままになります。

BAモデルでは、新しいノードはネットワークに1つずつ追加されます。各新しいノードは、既存のノードが既に持っているリンクの数に比例した確率で既存のノードに接続されます。正式には、新しいノードがノードiに接続される確率p iは[ 27 ]です。m{\displaystyle m}

pi=ki∑jkj,{\displaystyle p_{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}},}

ここで、k iはノードiの次数です。リンク数の多いノード（「ハブ」）は、より多くのリンクを急速に蓄積する傾向がありますが、リンク数が少ないノードは、新しいリンクの宛先として選ばれる可能性は低くなります。新しいノードは、既にリンク数の多いノードに接続する「優先性」を持っています。

BAモデルの次数分布はべき乗則に従う。対数対数スケールでは、べき乗則関数は直線となる。[ 28 ]

BA モデルから得られる次数分布はスケールフリーであり、特に次数が大きい場合は次の形式のべき乗法則になります。

P(k)∼k−3{\displaystyle P(k)\sim k^{-3}\,}

ハブは高い媒介中心性を示し、ノード間のパスが短くなる傾向があります。その結果、BAモデルの平均パス長は非常に短くなる傾向があります。このモデルのクラスタリング係数も0に近づく傾向があります。

バラバシ・アルバートモデル[ 28 ]は、スケールフリー性の普遍性を説明することを目的として無向ネットワーク向けに開発され、様々なネットワークやアプリケーションに適用されました。このモデルの有向版はプライスモデル[ 29 ] [ 30 ]であり、引用ネットワークのみを対象に開発されました。

非線形優先接続

非線形優先接続（NLPA）では、ネットワーク内の既存のノードは、ノード次数の定数倍に比例して新しいエッジを獲得する。[ 31 ]正式には、ノードが新しいエッジを獲得する 確率は次のように与えられる。α{\displaystyle \alpha }i{\displaystyle i}

pi=kiα∑jkjα.{\displaystyle p_{i}={\frac {k_{i}^{\alpha }}{\sum _{j}k_{j}^{\alpha }}}.}

の場合、NLPAはBAモデルに帰着し、「線形」と呼ばれます。 の場合、NLPAは「亜線形」と呼ばれ、ネットワークの次数分布は伸張指数分布に近づきます。 の場合、NLPAは「超線形」と呼ばれ、少数のノードがネットワーク内のほぼすべてのノードに接続します。 と の両方において、ネットワークのスケールフリー特性は、システムサイズが無限大の極限で破れます。しかし、 がよりわずかに大きい場合、NLPAは一時的にスケールフリーであるように見える次数分布をもたらす可能性があります。 [ 32 ]α=1{\displaystyle \alpha =1}0<α<1{\displaystyle 0<\alpha <1}α>1{\displaystyle \alpha >1}α<1{\displaystyle \alpha <1}α>1{\displaystyle \alpha >1}α{\displaystyle \alpha }1{\displaystyle 1}

フィットネスモデル

カルダレッリらは、頂点の性質が重要な要素となる別のモデルを導入した。[ 33 ]このモデルでは、2つの頂点の間にリンクが生成され、その確率は、関係する頂点の適応度のリンク関数によって与えられる。頂点iの次数は[ 34 ]で与えられる。i,j{\displaystyle i,j}f(ηi,ηj){\displaystyle f(\eta _{i},\eta _{j})}

k(ηi)=N∫0∞f(ηi,ηj)ρ(ηj)dηj{\displaystyle k(\eta _{i})=N\int _{0}^{\infty }f(\eta _{i},\eta _{j})\rho (\eta _{j})\,d\eta _{j}}

が の可逆かつ増加関数である場合、確率分布は次のように与えられる。 k(ηi){\displaystyle k(\eta _{i})}ηi{\displaystyle \eta _{i}}P(k){\displaystyle P(k)}

P(k)=ρ(η(k))⋅η′(k){\displaystyle P(k)=\rho (\eta (k))\cdot \eta '(k)}

結果として、適応度がべき乗法則として分布する場合、ノード次数も同様にべき乗法則として分布します。 η{\displaystyle \eta }

あまり直感的ではないが、次のようなリンク関数と組み合わせた、 急速に減衰する確率分布では、 ρ(η)=e−η{\displaystyle \rho (\eta )=e^{-\eta }}

f(ηi,ηj)=Θ(ηi+ηj−Z){\displaystyle f(\eta _{i},\eta _{j})=\Theta (\eta _{i}+\eta _{j}-Z)}

定数とHeavyside関数 を使用すると、スケールフリーネットワークも得られます。Z{\displaystyle Z}Θ{\displaystyle \Theta }

このようなモデルは、GDPを様々なノードの適合度として使い、次のようなリンク関数を 用いることで、国家間の貿易を記述するのにうまく適用されてきた[ 35 ] [ 36 ]i,j{\displaystyle i,j}

δηiηj1+δηiηj.{\displaystyle {\frac {\delta \eta _{i}\eta _{j}}{1+\delta \eta _{i}\eta _{j}}}.}

指数ランダムグラフモデル

指数ランダムグラフモデル（ERGM）は、ソーシャルネットワークなどのネットワークデータを分析するための統計モデルの一種です。 [ 6 ] [ 37 ]指数モデルは、ネットワークだけでなく、様々な種類のデータに対応する幅広いモデル群です。ERGMはこのモデル群に属する、ネットワークを記述するモデルです。

我々は、ノードのセットと、ノードのペアによってインデックス付けされたタイ変数のコレクションを介してランダム グラフ を表す表記法を採用します。ここで、ノードがエッジによって接続されている場合、 、そうでない場合です。 Y∈Y{\displaystyle Y\in {\mathcal {Y}}}n{\displaystyle n}{Yij:i=1,…,n;j=1,…,n}{\displaystyle \{Y_{ij}:i=1,\dots ,n;j=1,\dots ,n\}}ij{\displaystyle ij}Yij=1{\displaystyle Y_{ij}=1}(i,j){\displaystyle (i,j)}Yij=0{\displaystyle Y_{ij}=0}

ERGMの基本的な仮定は、観測されたグラフの構造は、観測されたネットワーク、そして場合によってはノードの属性の関数である十分な統計量のベクトルによって説明できるというものです。ERGMにおけるグラフの確率は次のように定義されます。 y{\displaystyle y}s(y){\displaystyle s(y)}y∈Y{\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}

P(Y=y|θ)=exp⁡(θTs(y))c(θ){\displaystyle P(Y=y|\theta )={\frac {\exp(\theta ^{T}s(y))}{c(\theta )}}}

ここで、は に関連付けられたモデルパラメータのベクトルであり、は正規化定数です。 θ{\displaystyle \theta }s(y){\displaystyle s(y)}c(θ)=∑y′∈Yexp⁡(θTs(y′)){\displaystyle c(\theta )=\sum _{y'\in {\mathcal {Y}}}\exp(\theta ^{T}s(y'))}

ネットワーク分析

ソーシャルネットワーク分析

ソーシャルネットワーク分析は、社会的実体間の関係の構造を調査します。 [ 6 ] [ 38 ]これらの実体は多くの場合個人ですが、グループ、組織、国家、ウェブサイト、学術出版物の場合もあります。

1970 年代以降、ネットワークの実証的研究は社会科学において中心的な役割を果たしており、ネットワークの研究に用いられる数学的・統計的ツールの多くは、社会学で初めて開発されたものである。[ 6 ] [ 39 ]他の多くの応用の中でも、ソーシャルネットワーク分析は、イノベーション、ニュース、噂 の拡散を理解するために使用されてきた。同様に、病気と健康関連行動の拡散の調査にも使用されてきた。また、市場の研究にも応用されており、交換関係における信頼の役割や価格設定における社会的メカニズムの役割の調査に使用されている。同様に、政治運動や社会組織への加入を研究するためにも使用されてきた。また、科学的意見の相違や学術的名声を概念化するためにも使用されてきた。最近では、ネットワーク分析 (およびそれに近いトラフィック分析) は、階層型とリーダーレス型の両方の性質を持つ反乱ネットワークを発見するために、軍事情報の分野で重要な用途を得ている。[ 40 ] [ 41 ]犯罪学では、犯罪組織、犯罪者の動き、共犯における影響力のある主体を特定し、犯罪活動を予測し、政策を立案するために使用されています。[ 42 ]近年、**ソーシャルネットワーク分析（SNA）**に関する文献は、理論的アプローチと複雑な社会経済的文脈への高度な応用を組み合わせた貢献を含むように拡張されています。一例として、Antonio Zinilli（2025）による「Elements of Network Science. Theory, Methods and Applications in Stata, R and Python」が挙げられます。この本では、ネットワーク科学の視点と社会​​経済科学の視点が統合されています。この本は、静的ネットワークと動的ネットワークの両方に対する統計手法を取り上げていること、イノベーション、社会資本、科学的ネットワーク、複雑な経済システムに関する実際のケースに適用していることが際立っています。[ 6 ]

動的ネットワーク分析

動的ネットワーク分析は、複雑な社会技術システムの影響における異なるクラスのエンティティ間の関係構造の変化を解析し、社会の安定性や、新たなグループ、トピック、リーダーの出現といった変化を反映します。[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]動的ネットワーク分析は、複数の種類のノード（エンティティ）と複数の種類のリンク から構成されるメタネットワークに焦点を当てています。これらのエンティティは非常に多様です。例としては、人、組織、トピック、リソース、タスク、イベント、場所、信念などが挙げられます。

動的ネットワーク技術は、時間の経過に伴うネットワークの傾向や変化を評価したり、新興リーダーを特定したり、人々とアイデアの共進化を調べたりするのに特に役立ちます。

生物学的ネットワーク分析

近年、公開されている高スループットの生物学的データの爆発的な増加に伴い、分子ネットワークの解析が大きな関心を集めています。この分野の解析はソーシャルネットワーク解析と密接に関連していますが、多くの場合、ネットワーク内の局所的なパターンに焦点を当てています。例えば、ネットワークモチーフは、ネットワーク内で過剰に表現されている小さなサブグラフです。活動モチーフは、ネットワーク構造を考慮すると過剰に表現される、ネットワーク内のノードとエッジの属性における同様の過剰表現パターンです。生物学的ネットワークの解析は、インタラクトームにおける疾患の影響を調べるネットワーク医学の発展につながっています。[ 46 ]

意味ネットワーク分析

セマンティックネットワーク分析は、ネットワーク分析のサブフィールドの一つであり、ネットワーク内の単語と概念の関係性に焦点を当てています。単語はノードとして表され、テキスト内での単語の近接性や共起はエッジとして表されます。したがって、セマンティックネットワークは知識のグラフィカルな表現であり、神経言語学や自然言語処理アプリケーションで広く用いられています。セマンティックネットワーク分析は、大規模なテキストを分析し、主要なテーマやトピック（ソーシャルメディアの投稿など）を特定したり、バイアス（ニュース報道など）を明らかにしたり、さらには研究分野全体をマッピングしたりする手法としても用いられています。[ 47 ]

リンク分析はネットワーク分析のサブセットであり、オブジェクト間の関連性を調査します。例としては、警察の捜査の一環として、容疑者や被害者の住所、ダイヤルした電話番号、一定期間に関与した金融取引、これらの対象者間の家族関係などを調べることが挙げられます。ここでのリンク分析は、個別の情報からは明らかではない、異なるタイプのオブジェクト間の重要な関係性と関連性を提供します。コンピューター支援または完全に自動のコンピューターベースのリンク分析は、銀行や保険会社による詐欺検出、通信事業者による通信ネットワーク分析、医療分野による疫学および薬理学、法執行捜査、検索エンジンによる関連性評価（逆にスパマーによるスパムデクシング、企業オーナーによる検索エンジン最適化）、その他多くのオブジェクト間の関係を分析する必要があるあらゆる場面でますます採用されています。

パンデミック分析

SIRモデルは、感染集団内での世界的パンデミックの蔓延を予測する最もよく知られたアルゴリズムの 1 つです。

感染しやすい

S=β(1N){\displaystyle S=\beta \left({\frac {1}{N}}\right)}

上記の式は、感染集団内の各感受性単位の感染の「力」を表しており、β は当該疾患の伝染率に相当します。

感染集団における感受性者の変化を追跡するには:

ΔS=β×S1NΔt{\displaystyle \Delta S=\beta \times S{1 \over N}\,\Delta t}

感染から回復まで

ΔI=μIΔt{\displaystyle \Delta I=\mu I\,\Delta t}

時間の経過とともに、感染者数は、平均感染期間にわたって で表され 1 に差し引かれる指定回復率、感染者数、、および時間の変化によって変動します。 μ{\displaystyle \mu }1τ{\displaystyle {1 \over \tau }}I{\displaystyle I}Δt{\displaystyle \Delta t}

感染期間

SIR モデルに関して、人口がパンデミックに襲われるかどうかは、「感染者 1 人によって感染する平均人数」の値によって決まります。 R0{\displaystyle R_{0}}

R0=βτ=βμ{\displaystyle R_{0}=\beta \tau ={\beta \over \mu }}

ウェブ検索ランキングアルゴリズムの中には、リンクベースの中心性指標を用いるものが多くあります。例えば、 MarchioriのHyper Search、GoogleのPageRank、KleinbergのHITSアルゴリズム、CheiRank、TrustRankアルゴリズムなどが挙げられます（登場順に）。リンク分析は、情報科学やコミュニケーション科学においても、ウェブページ群の構造を理解し、そこから情報を抽出する目的で行われています。例えば、政治家のウェブサイトやブログ間の相互リンクを分析することが挙げられます。

ページランク

PageRankは、ランダムに「ノード」またはウェブサイトを選択し、一定の確率で他のノードに「ランダムにジャンプ」することで機能します。これらの他のノードにランダムにジャンプすることで、PageRankがネットワーク全体を網羅しやすくなります。なぜなら、一部のウェブページはネットワークの周辺に存在し、容易に評価されないからです。

各ノード のPageRank は、にリンクしているページの合計数にのアウトリンクまたは「アウト次数」を掛けたものと、 の「重要度」または PageRank を掛けたもので定義されます。 xi{\displaystyle x_{i}}j{\displaystyle j}i{\displaystyle i}j{\displaystyle j}j{\displaystyle j}

xi=∑j→i1Njxj(k){\displaystyle x_{i}=\sum _{j\rightarrow i}{1 \over N_{j}}x_{j}^{(k)}}
ランダムジャンプ

上で説明したように、PageRankはインターネット上のすべてのウェブサイトにPageRankを割り当てようとする際に、ランダムなジャンプを利用します。このランダムジャンプによって、幅優先探索や深さ優先探索といった通常の検索手法では見つからない可能性のあるウェブサイトが発見されるのです。

前述のPageRank算出式を改良したものとして、これらのランダムジャンプ要素を追加する方法があります。ランダムジャンプがなければ、一部のページのPageRankが0になってしまう可能性があり、これは好ましくありません。

一つ目は、ランダムジャンプが発生する確率です。対照的なのが「減衰係数」、つまり です。 α{\displaystyle \alpha }1−α{\displaystyle 1-\alpha }

R(p)=αN+(1−α)∑j→i1Njxj(k){\displaystyle R{(p)}={\alpha \over N}+(1-\alpha )\sum _{j\rightarrow i}{1 \over N_{j}}x_{j}^{(k)}}

別の見方をすると：

R(A)=∑RBB(outlinks)+⋯+Rnn(outlinks){\displaystyle R(A)=\sum {R_{B} \over B_{\text{(outlinks)}}}+\cdots +{R_{n} \over n_{\text{(outlinks)}}}}

中心性指標

グラフ内のノードとエッジの相対的な重要性に関する情報は、社会学などの分野で広く用いられている中心性指標を通じて得ることができる。中心性指標は、ネットワーク分析において「メッセージや情報がネットワーク内のすべてのノード、あるいはほとんどのノードに確実に伝わるようにするには、ネットワーク内のどのノードをターゲットにすべきか？」、あるいは逆に「病気の蔓延を抑えるには、どのノードをターゲットにすべきか？」といった質問に答える際に不可欠である。正式に確立された中心性指標には、次数中心性、近接中心性、媒介中心性、固有ベクトル中心性、カッツ中心性などがある。ネットワーク分析の目的によって、一般的には、使用する中心性指標の種類が決定される。[ 38 ]

  • ネットワーク内のノードの次数中心性は、そのノードに接続するリンク (頂点) の数です。
  • 近接中心性は、ネットワーク内の特定のノードと他のすべてのノード間の最短距離 (測地線パス) の合計を測定することで、そのノードがネットワーク内の他のノードにどれだけ「近い」かを決定します。
  • 媒介中心性は、ネットワーク内の他のノードに流れるトラフィックの量を測定することで、ノードの相対的な重要性を決定します。これは、すべてのノードペアを接続し、対象ノードを含むパスの割合を測定することで行われます。グループ媒介中心性は、ノードのグループを流れるトラフィックの量を測定します。
  • 固有ベクトル中心性は次数中心性のより洗練されたバージョンであり、ノードの中心性は、そのノードに繋がるリンクの数だけでなく、それらのリンクの質にも依存します。この質係数は、ネットワークの隣接行列の固有ベクトルによって決定されます。
  • ノードのカッツ中心性は、そのノードとネットワーク内のすべての（到達可能な）ノードとの間の測地線経路を合計することで測定されます。これらの経路には重みが付けられ、ノードと直近の隣接ノードを結ぶ経路は、直近の隣接ノードからより遠いノードを結ぶ経路よりも高い重みを持ちます。

ネットワークにおけるコンテンツの拡散

複雑ネットワーク内のコンテンツは、保存的拡散と非保存的拡散という2つの主要な方法で拡散します。[ 48 ] 保存的拡散では、複雑ネットワークに入るコンテンツの総量は、通過する間一定のままです。保存的拡散のモデルは、一定量の水が入ったピッチャーが、チューブでつながれた一連の漏斗に注がれる様子を最もよく表すことができます。ピッチャーは水源、水は拡散するコンテンツを表します。漏斗と接続チューブは、それぞれノードとノード間の接続を表します。水が1つの漏斗から別の漏斗に流れ込むと、それまで水にさらされていた漏斗から水は瞬時に消えます。非保存的拡散では、コンテンツは複雑ネットワークに入り、通過するにつれて変化します。非保存的拡散のモデルは、チューブでつながれた一連の漏斗を流れる、水が流れ続ける蛇口を最もよく表すことができます。この場合、水源からの水の量は無限です。また、水にさらされた漏斗は、水が次の漏斗に流れ込む間も、引き続き水にさらされます。非保存モデルは、ほとんどの感染症の伝染を説明するのに最適です。

SIRモデル

1927年、W.O.カーマックとAG.マッケンドリックは、感受性集団、感染者、回復者という3つのコンパートメントのみを持つ固定集団モデルを作成しました。このモデルで使用されるコンパートメントは、以下の3つのクラスで構成されています。 S(t){\displaystyle S(t)}I(t){\displaystyle I(t)}R(t){\displaystyle R(t)}

  • S(t){\displaystyle S(t)}t時点でまだ病気に感染していない人の数、または病気にかかりやすい人の数を表すために使用される。
  • I(t){\displaystyle I(t)}病気に感染し、感受性カテゴリーの人々に病気を広める可能性のある人の数を示します。
  • R(t){\displaystyle R(t)}感染後に回復した人が収容される区画です。このカテゴリーに属する人は、再感染したり、他の人に感染させたりすることはありません。

このモデルの流れは次のように考えられます。

S→I→R{\displaystyle {\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}

固定された人口、を使用して、Kermack と McKendrick は次の式を導き出しました。 N=S(t)+I(t)+R(t){\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}

dSdt=−βSIdIdt=βSI−γIdRdt=γI{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-\beta SI\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta SI-\gamma I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I\end{aligned}}}

これらの方程式を定式化する際に、いくつかの仮定がなされました。まず、集団内の個人は、他のすべての個人と同様に、 の割合で病気にかかる確率が等しいと見なす必要があります。これは、病気の接触率または感染率と考えられます。したがって、感染者は単位時間当たりに他の人と接触して病気を伝染させることができ、感染者と感受性者の接触率は です。この場合、単位時間当たりの感染者 1 人あたりの新規感染者数は となり、新規感染率（または感受性カテゴリーを離れる者）は(Brauer & Castillo-Chavez, 2001) となります。2 番目と 3 番目の方程式では、感受性クラスを離れる集団の数と感染者クラスに入る数が等しいと見なします。ただし、感染者は単位時間当たりにこのクラスを離れ、単位時間あたり の割合で回復/除去クラスに入ります (ここで は平均回復率、または 平均感染期間を表します)。同時に発生するこれらのプロセスは「集団行動の法則」と呼ばれ、集団内の2つの集団間の接触率はそれぞれの集団の規模に比例するという広く受け入れられた考え方です（Daley & Gani, 2005）。最後に、感染と回復の速度は出生と死亡の時間スケールよりもはるかに速いと仮定しているため、このモデルではこれらの要因は無視されます。 β{\displaystyle \beta }βN{\displaystyle \beta N}S/N{\displaystyle S/N}βN(S/N){\displaystyle \beta N(S/N)}βN(S/N)I=βSI{\displaystyle \beta N(S/N)I=\beta SI}γ{\displaystyle \gamma }γ{\displaystyle \gamma }1/γ{\displaystyle 1/\gamma }

このモデルの詳細については、 Epidemic モデルのページで読むことができます。

マスター方程式アプローチ

マスター方程式は、無向成長ネットワークの挙動を表現できます。このネットワークでは、各時間ステップで新しいノードがネットワークに追加され、古いノード（ランダムに選択され、優先順位はありません）にリンクされます。初期ネットワークは、時刻 において2つのノードとそれらの間の2つのリンクで構成されます。この構成は、以降の計算を簡略化するためにのみ必要なため、時刻 においてネットワークにはノードとリンクが存在します。 t=2{\displaystyle t=2}t=n{\displaystyle t=n}n{\displaystyle n}n{\displaystyle n}

このネットワークのマスター方程式は次のとおりです。

p(k,s,t+1)=1tp(k−1,s,t)+(1−1t)p(k,s,t),{\displaystyle p(k,s,t+1)={\frac {1}{t}}p(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}}\right)p(k,s,t),}

ここで、 は時刻 における次数 のノードが存在する確率、 はこのノードがネットワークに追加された時刻ステップです。時刻 において、古いノードがリンクを持つ方法は2通りしかないことに注意してください。 p(k,s,t){\displaystyle p(k,s,t)}s{\displaystyle s}k{\displaystyle k}t+1{\displaystyle t+1}s{\displaystyle s}s{\displaystyle s}k{\displaystyle k}t+1{\displaystyle t+1}

  • ノードは時間で次数を持ち、確率で新しいノードにリンクされますs{\displaystyle s}k−1{\displaystyle k-1}t{\displaystyle t}1/t{\displaystyle 1/t}
  • 時点ですでに次数があり、新しいノードによってリンクされません。k{\displaystyle k}t{\displaystyle t}

このモデルを単純化すると、次数分布は[ 49 ]P(k)=2−k.{\displaystyle P(k)=2^{-k}.}

この成長するネットワークに基づいて、単純なルールに従った疫病モデルが構築されます。新しいノードが追加されるたびに、リンクする古いノードを選択した後、新しいノードが感染するかどうかを決定します。この疫病モデルのマスター方程式は次のとおりです。

pr(k,s,t)=rt1tpr(k−1,s,t)+(1−1t)pr(k,s,t),{\displaystyle p_{r}(k,s,t)=r_{t}{\frac {1}{t}}p_{r}(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}}\right)p_{r}(k,s,t),}

ここで、感染させるかさせないかの決定を表す。このマスター方程式を解くと、以下の解が得られる。[ 50 ]rt{\displaystyle r_{t}}rt=1{\displaystyle r_{t}=1}rt=0{\displaystyle r_{t}=0}P~r(k)=(r2)k.{\displaystyle {\tilde {P}}_{r}(k)=\left({\frac {r}{2}}\right)^{k}.}

多層ネットワーク

多層ネットワークとは、複数の種類の関係を持つネットワークです。[ 51 ]現実世界のシステムを多次元ネットワークとしてモデル化する試みは、ソーシャルネットワーク分析、[ 52 ]経済学、歴史学、都市交通と国際交通、生態学、心理学、医学、生物学、商業、気候学、物理学、計算神経科学、運用管理、金融など、さまざまな分野で利用されてきました。

ネットワーク最適化

最適な方法を見つけるネットワーク問題は、組合せ最適化という名称で研究されています。例としては、ネットワークフロー、最短経路問題、輸送問題、積み替え問題、配置問題、マッチング問題、割り当て問題、梱包問題、ルーティング問題、クリティカルパス分析、PERT（プログラム評価・レビュー手法）などが挙げられます。

相互依存的なネットワーク

相互依存ネットワークとは、あるネットワーク内のノードの機能が別のネットワーク内のノードの機能に依存するネットワークです。自然界では、ネットワークが単独で存在することは稀で、むしろ通常、ネットワークはより大規模なシステムの構成要素であり、その複雑なシステム内の構成要素と相互作用します。このような複雑な依存関係は、互いに重大な影響を及ぼす可能性があります。よく研究されている例として、インフラネットワークの相互依存性が挙げられます。[ 53 ]電力網のノードとなる発電所は、道路やパイプ網を介して燃料を供給され、通信ネットワークのノードを介して制御されます。交通ネットワークは電力ネットワークに依存していませんが、通信ネットワークは依存しています。このようなインフラネットワークでは、電力ネットワークまたは通信ネットワークのいずれかの重要な数のノードの機能不全が、システム全体に連鎖的な障害を引き起こし、システム全体の機能に壊滅的な結果をもたらす可能性があります。[ 54 ] 2つのネットワークを個別に扱うと、この重要なフィードバック効果は見られず、ネットワークの堅牢性の予測は大幅に過大評価されることになります。

参照

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