ラッセルのパラドックス

数理論理学において、ラッセルのパラドックス（ラッセルのアンチノミーとも呼ばれる）は、イギリスの哲学者で数学者のバートランド・ラッセルが1901年に発表した集合論的なパラドックスである。 [ 1 ] [ 2 ]ラッセルのパラドックスは、無制限の包括原理を含むすべての集合論が矛盾につながることを示している。[ 3 ]

無制限内包原理によれば、十分に明確に定義された任意の性質に対して、その性質を持つすべてのオブジェクトのみの集合が存在する。Rを、それ自身の要素ではないすべての集合の集合（「ラッセル集合」と呼ばれることもある）とする。Rがそれ自身の要素でない場合、その定義はそれ自身の要素であることを必然的に意味する。しかし、R がそれ自身の要素である場合、R はそれ自身の要素ではないすべての集合の集合であるため、それ自身の要素ではない。結果として生じる矛盾がラッセルのパラドックスである。記号で表すと：

しましょう。それから。R＝{×∣×∉×}{\displaystyle R=\{x\mid x\not \in x\}}R∈R⟺R∉R{\displaystyle R\in R\iff R\not \in R}

ラッセルはまた、ドイツの哲学者で数学者のゴットロブ・フレーゲが構築した公理系からこのパラドックスの一種を導出できることを示し、数学を論理学に還元しようとするフレーゲの試みを覆し、論理学のプログラムに疑問を投げかけた。このパラドックスを回避する2つの影響力のある方法が1908年に提案された。ラッセル自身の型理論とツェルメロ集合論である。特に、ツェルメロの公理は無制限内包原理を制限した。アブラハム・フレンケルのさらなる貢献により、ツェルメロ集合論は標準的なツェルメロ・フレンケル集合論（選択公理を含めた場合は一般にZFCとして知られる）に発展した。このパラドックスに対するラッセルとツェルメロの解決法の主な違いは、ツェルメロは標準の論理言語を維持しながら集合論の公理を修正したのに対し、ラッセルは論理言語そのものを修正した点である。 ZFCの言語は、トラルフ・スコーレムの助けにより、一階述語論理の言語であることが判明した。[ 4 ]

このパラドックスは、1899年にドイツの数学者エルンスト・ツェルメロによって既に独立して発見されていました。[ 5 ]しかし、ツェルメロはこの考えを公表せず、ゲッティンゲン大学のダヴィド・ヒルベルト、エドムント・フッサール、そして他の学者だけが知ることとなりました。1890年代末には、現代集合論の創始者とされるゲオルク・カントールが、自身の理論が矛盾を生じることを既に認識しており、ヒルベルトとリヒャルト・デデキントに手紙でその旨を伝えていました。[ 6 ]

非公式なプレゼンテーション

よく見られる集合のほとんどは、それ自体の要素ではありません。それ自体の要素ではない集合を「正常」、それ自体の要素である集合を「異常」と呼びます。明らかに、すべての集合は正常か異常かのいずれかです。例えば、平面上のすべての正方形の集合を考えてみましょう。この集合自体は平面上の正方形ではないため、それ自体の要素ではなく、したがって正常です。対照的に、平面上の正方形ではないものすべてを含む補集合は、それ自体も平面上の正方形ではないため、それ自体の要素の1つであり、したがって異常です。

正規集合全体の集合Rを考え、 Rが正規集合か異常集合かを判断してみましょう。もしR が正規集合であれば、正規集合全体の集合（それ自身）に含まれるため、異常集合となります。一方、R が異常集合であれば、正規集合全体の集合（それ自身）には含まれないため、正常集合となります。このことから、 R は正規集合でも異常集合でもないという結論が導き出されます。これがラッセルのパラドックスです。

正式なプレゼンテーション

「素朴集合論」という用語は様々な意味で用いられます。ある用法では、素朴集合論は、二項非論理述語を持つ一階述語言語で定式化され、外延性公理を含む形式理論です。 ∈{\displaystyle \in}

た×たy（たz（z∈×⟺z∈y）⟹×＝y）{\displaystyle \forall x\,\forall y\,(\forall z\,(z\in x\iff z\in y)\implies x=y)}

そして無制限の理解の公理スキーマ：

∃yた×（×∈y⟺φ（×））{\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff \varphi (x))}

内部に自由変数xを持つ述語に対しては、を 代入するとφ{\displaystyle \varphi }φ{\displaystyle \varphi }×∉×{\displaystyle x\notin x}φ（×）{\displaystyle \varphi (x)}

∃yた×（×∈y⟺×∉×）{\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff x\notin x)}

そして、存在的インスタンス化（記号の再利用）と普遍的インスタンス化により、 y{\displaystyle y}

y∈y⟺y∉y、{\displaystyle y\in y\iff y\notin y,}

矛盾である。したがって、この素朴集合論は矛盾している。[ 7 ]

哲学的な意味合い

ラッセルのパラドックス（および同時期に発見されたブラーリ＝フォルティのパラドックスなどの他の同様のパラドックス）以前は、集合の概念に関する一般的な概念は、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンによって述べられた「集合の外延的概念」であった。[ 8 ]

集合とは、任意のオブジェクトの集合であり、その集合の要素となるオブジェクトの性質や数には一切制限がありません。要素は集合を構成し、それ自体として定義しますが、要素間にはいかなる順序や関係性もありません。

特に、集合とオブジェクトの集合としての真類の間には区別がありませんでした。さらに、集合の各要素の存在は、それらの要素からなる集合の存在にとって十分であると考えられていました。しかし、ラッセルやブラーリ＝フォルティのパラドックスのような事例は、すべてのオブジェクトが存在するにもかかわらず、集合を形成しないオブジェクトの集合の例によって、この集合概念の不可能性を示しました。

集合理論的応答

古典論理の爆発原理によれば、いかなる命題も矛盾から証明できる。したがって、公理的集合論にラッセルのパラドックスのような矛盾が存在することは破滅的である。なぜなら、いかなる式も真であると証明できれば、真偽の慣習的な意味が破壊されるからである。さらに、集合論は他のすべての数学分野の公理的発展の基礎と見なされていたため、ラッセルのパラドックスは数学全体の基盤を脅かすものであった。このことが、20世紀初頭にかけて、矛盾のない（矛盾のない）集合論を開発するための多くの研究の動機となった。

1908年、エルンスト・ツェルメロは集合論の公理化を提案した。これは、任意の集合の内包を分離公理（Aussonderung ）などのより弱い存在公理に置き換えることで素朴集合論のパラドックスを回避するものであった。（パラドックスを避けることはツェルメロの当初の意図ではなく、彼が整列定理を証明する際にどのような仮定を用いたかを文書化することが目的でした。）[ 9 ]この公理理論は1920年代にアブラハム・フランケル、トラルフ・スコーレム、そしてツェルメロ自身によって修正され、 ZFCと呼ばれる公理的集合論となった。ツェルメロの選択公理が論争の的ではなくなると、この理論は広く受け入れられるようになり、ZFCは現代に至るまで 標準的な公理的集合論であり続けている。

ZFCは、あらゆる性質に対して、その性質を満たすすべてのものの集合が存在するとは仮定しません。むしろ、任意の集合Xが与えられたとき、一階述語論理を用いて定義可能なXの任意の部分集合が存在すると主張します。上記のラッセルのパラドックスによって定義された対象Rは、任意の集合Xの部分集合として構成することができないため、ZFCでは集合ではありません。フォン・ノイマン・ベルネイス・ゲーデル集合論のようなZFCの拡張では、Rのような対象は真クラスと呼ばれます。

ZFCは型については何も言及していないが、累積階層には型に似た層の概念がある。ツェルメロ自身は、スコーレムによる一階述語論理を用いたZFCの定式化を決して受け入れなかった。ホセ・フェレイロスが指摘するように、ツェルメロはむしろ「部分集合を分離するために使用される命題関数（条件または述語）と置換関数は、『完全に任意』 [ganz beliebig ]になり得る」と主張した。この主張に対する現代の解釈は、ツェルメロがスコーレムのパラドックスを回避するために高階量化を取り入れたかったというものである。1930年頃、ツェルメロは（明らかにフォン・ノイマンとは独立して）基礎公理も導入した。したがって、フェレイロスが指摘するように、「『循環的』かつ『非根拠的』な集合を禁じることで、ZFCはTT[型理論]の重要な動機の一つである、引数の型の原理を組み込んだ」のである。基礎公理を含む、Zermelo が好んだこの 2 階 ZFC により、豊富な累積階層が可能になりました。フェレイロスは次のように書いている。「ツェルメロの『層』は、ゲーデルとタルスキが提唱した同時代の単純TT（型理論）における型と本質的に同じである。ツェルメロがモデルを展開した累積階層は、超限型が許容される累積TTの宇宙として記述できる。（クラスが構築されるという考えを放棄し、非述語的立場を採用すれば、超限型を受け入れるのは自然である。）したがって、単純TTとZFCは、本質的に同じ意図された対象について「語る」システムと見なすことができる。主な違いは、TTが強力な高階論理に依存しているのに対し、ツェルメロは二階論理を採用し、ZFCは一階の定式化も可能である点である。累積階層の一階の『記述』は、可算モデルの存在（スコーレムのパラドックス）によって示されるように、はるかに弱いが、いくつかの重要な利点がある。」[ 10 ]

ZFCでは、集合Aが与えられたとき、 Aに含まれる集合のうち、自身を要素としない集合だけからなる集合Bを定義することができます。ラッセルのパラドックスと同様の理由により、 B はAに含まれません。このラッセルのパラドックスのバリエーションは、すべての要素を含む集合は存在しないことを示しています。

ツェルメロら、特にジョン・フォン・ノイマンらの研究を通して、ZFCによって記述される「自然な」対象とみなされるものの構造が最終的に明らかになった。それは、空集合からべき乗集合演算を無限に反復することで構築されたフォン・ノイマン宇宙 V の要素である。こうして、ラッセルのパラドックスに抵触することなく、非公理的な方法で集合について推論することが再び可能になった。つまり、Vの要素について推論するのである。このように集合を考えることが適切かどうかは、数学哲学における対立する見解の間で論争の的となっている。

ラッセルのパラドックスに対する他の解決策としては、型理論に近い戦略に基づくものとして、クワインの新基礎理論やスコット＝ポッター集合論などが挙げられる。さらに別のアプローチとしては、二重拡張集合論のように、適切に修正された理解体系を用いて多重帰属関係を定義する方法がある。

歴史

ラッセルはこのパラドックスを1901年5月[ 11 ]か6月に発見した[ 12 ]。 1919年の著書『数学哲学入門』の中で、彼は「カントールの証明に最大基数は存在しないという欠陥を発見しようとした」と述べている[ 13 ] 。 1902年の手紙[ 14 ]で、彼はゴットロープ・フレーゲにフレーゲの1879年の『定義書』におけるパラドックスの発見を伝え、論理学と集合論、特にフレーゲの関数の定義に基づいて問題を枠組み化した。[ a ] [ b ]

ただ一点、難点があります。あなたは（17ページ[上記23ページ]）関数も不定要素として作用し得ると述べています。以前はそう信じていましたが、今では以下の矛盾のため、この見解には疑問を感じます。wを述語とします。つまり、それ自身について述語化できない述語とします。wはそれ自身について述語化できますか？それぞれの答えから、その反対の答えが導き出されます。したがって、 wは述語ではないと結論づけなければなりません。同様に、それぞれを全体として捉えたときに、それ自身に属さないクラスのクラス（全体として）は存在しません。このことから、特定の状況下では、定義可能な集合（Menge）は全体を形成しないという結論になります。

ラッセルは1903年の著書『数学原理』の中でこの問題について詳しく述べており、その中でこのパラドックスとの最初の遭遇を次のように繰り返している。[ 15 ]

基本的な質問から離れる前に、すでに述べた、それ自体では述語可能ではない述語に関する特異な矛盾について、より詳細に検討する必要があります。...カントールの証明を調和させようとする努力の中で、私はそれに至ったと述べておこう...

ラッセルがフレーゲにこのパラドックスについて手紙を書いたのは、ちょうどフレーゲが『算術基礎』第2巻を執筆中だった頃だった。[ 16 ]フレーゲはすぐにラッセルに返答し、1902年6月22日付の手紙は、ファン・ハイエノールトの解説とともにHeijenoort 1967:126–127に掲載された。フレーゲはその後、このパラドックスを認める付録を書き、[ 17 ]ラッセルが『数学の原理』で支持することになる解決策を提案したが、[ 18 ]後に一部の人々から不十分だとみなされた。[ 19 ] 一方、ラッセルは自分の作品が印刷中だったので、型の教義に関する付録を加えた。[ 20 ]

エルンスト・ツェルメロは、1908年に発表した『整列可能性の新たな証明』（「最初の公理的集合論」と同時期に出版）[ 21 ]において、カントールの素朴集合論におけるアンチノミーは既に発見されていたと主張した。彼は次のように述べている。「しかし、ラッセル9が集合論的アンチノミーに与えた初等的な形式でさえ、彼ら[J. ケーニッヒ、ジョルダン、F. バーンスタイン]は、これらの困難の解決は整列性の放棄ではなく、集合の概念の適切な制限にのみ求められると確信できたであろう」[ 22 ] 。脚注9は、彼の主張を次のように展開している。

9 1903、pp. 366–368。しかしながら、私はこの矛盾をラッセルとは独立して自ら発見し、1903年以前にヒルベルト教授をはじめとする人々に伝えていた。[ 23 ]

フレーゲはヒルベルトに『算術基礎』のコピーを送った。前述の通り、フレーゲの最終巻には、ラッセルがフレーゲに伝えたパラドックスが記されていた。フレーゲの最終巻を受け取ったヒルベルトは、1903年11月7日にフレーゲに手紙を書き、ラッセルのパラドックスについて「ツェルメロ博士が3、4年前に発見したと信じている」と述べた。ツェルメロの実際の議論に関する記述は、エドムント・フッサールの巻末資料で発見された。[ 24 ]

1923 年、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインはラッセルのパラドックスを次のように「処理」することを提案しました。

関数が自身の引数となることができない理由は、関数の符号が既にその引数のプロトタイプを含んでおり、関数自身を含むことができないからです。関数 F(fx) が自身の引数となり得ると仮定しましょう。その場合、命題F(F(fx))が存在し、その中で外側の関数Fと内側の関数F は異なる意味を持つことになります。なぜなら、内側の関数はO(fx)という形式を持ち、外側の関数はY(O(fx))という形式を持つからです。2つの関数に共通するのは文字「F」だけですが、文字自体は何の意味も持ちません。これは、F(Fu)の代わりに(do) : F(Ou) . Ou = Fu と書けばすぐに明らかになります。こうすればラッセルのパラドックスは解消されます。(論理哲学論考、3.333)

ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは、フレーゲが成し遂げられなかったことを成し遂げようと、全3巻からなる『プリンキピア・マテマティカ』を著した。彼らは、この目的のために考案した型理論を用いることで、素朴集合論のパラドックスを排除しようとした。彼らは算術をある程度基盤づけることに成功したが、それが純粋に論理的な手段によって達成されたとは到底言えない。『プリンキピア・マテマティカ』は既知のパラドックスを回避し、多くの数学の導出を可能にしたが、その体系は新たな問題を引き起こした。

いずれにせよ、クルト・ゲーデルは1930年から1931年にかけて、 『プリンキピア・マテマティカ』（後に第一階述語論理として知られる）の大部分の論理は完全である一方、ペアノ算術は無矛盾であれば必然的に不完全であることを証明した。これは、普遍的ではないものの、フレーゲの論理主義的プログラムの完全化が不可能であること を示したと広く考えられている。

2001年には、ラッセルのパラドックスの100年を祝う国際会議がミュンヘンで開催され、その議事録が出版された。[ 12 ]

適用バージョン

このパラドックスには、現実に近いバージョンもあり、論理学者以外の人にも理解しやすいかもしれません。例えば、理髪師のパラドックスは、髭を剃らない男性全員の髭を剃り、髭を剃らない男性だけを剃る男性理髪師を想定しています。理髪師が髭を剃るかどうかを考えると、同様のパラドックスが浮かび上がってきます。[ 25 ]

例外として、グレリング＝ネルソンのパラドックスが挙げられるかもしれない。このパラドックスでは、人物や散髪ではなく、言葉と意味がシナリオの要素となる。床屋のパラドックスを、そのような床屋は存在しない（そして存在し得ない）と反駁することは容易だが、意味的に定義された言葉について同様のことを言うことは不可能である。

このパラドックスを劇的に表現する方法の一つは、すべての公共図書館が所蔵するすべての蔵書の目録を作成しなければならないと仮定することです。目録自体が図書館の蔵書の一つであるため、図書館員の中には完全性を保つために目録に含める者もいれば、図書館の蔵書の一つであることは自明であるとして目録に含めない者もいます。次に、これらの目録がすべて国立図書館に送られたと想像してください。目録の中には、自らを目録に含めるものもあれば、含めないものもあります。国立図書館員は、自らを目録に含める目録と、含めない目録の2つのマスター目録を作成します。[ 26 ]

問題は、これらのマスターカタログは自らを記載すべきかどうかである。「自らを記載するすべてのカタログのカタログ」自体は問題にならない。司書がそれを自身のリストに含めなくても、それは自らを記載するカタログの真のカタログであり続ける。もし含めるなら、それは自らを記載するカタログの真のカタログであり続ける。しかし、司書が最初のマスターカタログで間違いを犯さないのと同じように、二番目のマスターカタログでは失敗する運命にある。「自らを記載しないすべてのカタログのカタログ」となると、司書はそれを自身のリストに含めることはできない。なぜなら、そうすると自らを記載することになり、結果として、もう一つのカタログ、すなわち自らを記載するカタログのカタログに属することになるからだ。しかし、司書がそれを省略すれば、そのカタログは不完全になる。いずれにせよ、それは自らを記載しないカタログの真のマスターカタログにはなり得ない。[ 26 ]

ラッセルのようなパラドックス

上の理髪師のパラドックスで示したように、ラッセルのパラドックスを拡張するのは難しくありません。例えば、

次の文を作ります。

⟨V⟩ は、⟨V⟩をしないすべての人々（そしてその人々だけ）が⟨V⟩であることを意味します。

時々、「すべて」は「すべての⟨V⟩ ers」に置き換えられます。

例としては「ペイント」が挙げられます。

絵を描く画家は、自分で絵を描かない人全員（そしてその人たちだけ）を描く。

または「選出する」

選挙人または（代表者）は、自ら選ばなかったすべての人々を選ぶ人です。

ビッグバン・セオリーのシーズン8のエピソード「スカイウォーカーの侵入」で、シェルドン・クーパーは「 Play That Funky Music 」という曲を分析し、歌詞がラッセルのパラドックスの音楽的な例を示していると結論付けている。[ 27 ]

このスキームに当てはまるパラドックスは次のとおりです。

参照

注記

  1. ^以下、17ページはオリジナルのBegriffsschriftのページを指し、23ページはvan Heijenoort 1967の同じページを指します。
  2. ^注目すべきことに、この手紙は van Heijenoort 1967 まで未公開であった。この手紙は van Heijenoort 1967:124–125 に van Heijenoort の解説とともに掲載されている。

参考文献

  1. ^ラッセル、バートランド、「フレーゲとの書簡」。ゴットロープ・フレーゲ著『哲学・数学書簡』ハンス・カール訳、シカゴ大学出版局、シカゴ、1980年。
  2. ^ラッセル、バートランド著『数学原理』第2版、再版、ニューヨーク：W・W・ノートン・アンド・カンパニー、1996年。（初版1903年）
  3. ^ Irvine, AD, H. Deutsch (2021). 「ラッセルのパラドックス」スタンフォード哲学百科事典（2021年春版）、EN Zalta（編） [1]
  4. ^ AA Fraenkel; Y. Bar-Hillel; A. Levy (1973).集合論の基礎エルゼビア. pp.  156– 157. ISBN 978-0-08-088705-0。
  5. ^ Bernhard Rang、Wolfgang Thomas：「ツェルメロによる「ラッセルのパラドックス」の発見」、Historia Mathematica 8。
  6. ^ Walter Purkert、Hans J. Ilgauds: Vita Mathematica - Georg Cantor、Birkhäuser、1986、 ISBN 3-764-31770-1
  7. ^アーヴァイン、アンドリュー・デイヴィッド；ドイチュ、ハリー (2014). 「ラッセルのパラドックス」ザルタ、エドワード・N. (編).スタンフォード哲学百科事典.
  8. ^ R. Bunn, Infinite Sets and Numbers (1967), pp.176–178. ブリティッシュコロンビア大学博士論文
  9. ^ P. マディ、「公理を信じる I」（1988年）。記号論理学協会。
  10. ^ホセ・フェレイロス (2008)。思考の迷宮: 集合論の歴史と現代数学におけるその役割(第 2 版)。スプリンガー。 § ツェルメロの累積階層、374-378 ページ。ISBN 978-3-7643-8350-3。
  11. ^『バートランド・ラッセル自伝』、ジョージ・アレン・アンド・アンウィン社、1971年、147ページ：「[1901年の]四旬節の終わりに、私はファーンハーストに戻り、後に『プリンキピア・マテマティカ』となる数学の論理的演繹の執筆に取り掛かりました。作業はほぼ完了したと思っていましたが、 5月[強調追加]に知的挫折を経験しました[…]。カントールは最大数は存在しないという証明を持っており、世界のすべてのものの数は可能な限り最大であるべきだと私には思えました。そこで、私は彼の証明を詳細に検証し、それを存在するすべてのもののクラスに適用しようと試みました。このことから、私は、それ自体の要素ではないクラスについて考察し、そのようなクラスのクラスがそれ自体の要素であるのか、そうでないのかを問うようになりました。どちらの答えも、矛盾を示唆していることが分かりました。」
  12. ^ a b Godehard Link (2004)、「ラッセルのパラドックスの100年」、Walter de Gruyter、p. 350、ISBN 978-3-11-017438-0、 2016年2月22日閲覧
  13. ^ラッセル 1920:136
  14. ^ Gottlob Frege、Michael Beaney (1997)、The Frege Reader、Wiley、p. 253、ISBN 978-0-631-19445-3、 2016年2月22日閲覧。また、ファン・ヘイエノールト 1967:124–125
  15. ^ラッセル 1903:101
  16. ^ cf van Heijenoort 1964:126 のフレーゲのラッセルへの手紙の前の van Heijenoort の解説
  17. ^ファン・ヘイエノールトの解説、van Heijenoort 1967:126を参照。フレーゲは、この非常に率直なコメントで分析を始めている。「科学的な著述家にとって、著作の完成後にその基盤の一つが揺らぐことほど不幸なことはない。まさに本書の印刷がほぼ完了しようとしていた頃、バートランド・ラッセル氏からの手紙によって、私はまさにそのような状況に置かれたのだ。」（『フレーゲ読本』所収『算術基礎』第2巻付録、279ページ、マイケル・ビーニー訳）
  18. ^ van Heijenoortの注釈を参照。van Heijenoort 1967:126を参照。追加された文章は以下の通り。「注：付録では注目されないほど遅く出版されたGg.第2巻には、この矛盾に関する興味深い議論（253～265ページ）が含まれており、同値なクラスを決定する2つの命題関数が必ずしも同値である必要はないと否定することで解決が見出されることを示唆している。これが真の解決策である可能性が高いため、読者はこの点に関するフレーゲの議論を検討することを強く推奨する」（Russell 1903:522）。略語Gg.は、フレーゲの『算術の基礎』（Grundgezetze der Arithmetik）の略称である。Begriffsschriftlich abgeleitet. 第1巻、イエナ、1893年。第2巻、1903年。
  19. ^リヴィオは、「フレーゲは公理体系を修正しようと必死の試みをしたが、失敗に終わった。結論は悲惨なものに見えた…」と述べている（Livio 2009:188）。しかし、ファン・ハイエノールトは、フレーゲの（1902年の）ラッセルへの手紙に先立つ注釈の中で、フレーゲが提案した「抜け道」について詳細に述べている。それは「『等式の一般化を価値の道程の等式に変換する』こと」に関するものである。フレーゲにとって関数とは不完全で『飽和していない』ものである」。これは当時の「拡張における関数」という概念と矛盾しているように思われる。128ページのフレーゲの表現を参照のこと。「ところで、『述語はそれ自身について述語化される』という表現は正確ではないように思われる。…したがって、私は『概念はそれ自身の拡張について述語化される』[など]と言うことを好む。」しかし、彼は、概念としての関数は、その関数を述語として記述できるという提案の最後で曖昧な表現をしている。ヴァン・ヘイエノールトはクワインを引用している。「フレーゲの『抜け道』に関する後期の徹底的な研究については、クワイン1956を参照のこと。『フレーゲの抜け道について』、 Mind 64、145-159ページ。これはクワイン1955bの付録に再録されている。数量化理論の完全性。レーヴェンハイムの定理は、クワイン1950の第3刷（1955年）の一部にパンフレットとして同梱され、改訂版（1959年）に組み入れられた。253-260ページ」（ヴァン・ヘイエノールト1967:649の参考文献参照）
  20. ^ラッセルはフレーゲにこの事実について言及している、ファン・ハイエノールト 1967:126 のフレーゲの(1902)ラッセルへの手紙の前のファン・ハイエノールトの解説を参照
  21. ^ファン・ヘイエノールトのツェルメロ（1908a）への注釈『集合論の基礎に関する研究I』ファン・ヘイエノールト1967:199
  22. ^ van Heijenoort 1967:190–191。この前の節で、彼はポアンカレによって定義された非予測性の概念（そしてまもなくラッセルも1908年の著書『数理論理学』の中で、型理論に基づくものとして採用することになる。van Heijenoort 1967:150–182参照）に強く反対している。
  23. ^エルンスト・ツェルメロ (1908)整列可能性の新たな証明、 van Heijenoort 1967:183–198。Livio 2009:191 は、ツェルメロが「1900年という早い時期にラッセルのパラドックスを独自に発見した」と報告している。Livio は、Ewald 1996 と van Heijenoort 1967 を引用している（Livio 2009:268 参照）。
  24. ^ B. RangとW. Thomas、「ツェルメロによる『ラッセルのパラドックス』の発見」、数学史、第8巻第1号、1981年、15～22頁。doi : 10.1016 /0315-0860(81)90002-1
  25. ^ 「バーバー・パラドックス」オックスフォード・リファレンス。2024年2月4日閲覧。
  26. ^ a bムーアクロフト、フランシス（1998年春）「パラドックス」『哲学者マガジン』（2）：63. doi : 10.5840/tpm1998293 – Philosophy Documentation Center（pdoc）経由。
  27. ^ 「Play That Funky Music Was No. 1 40 Years Ago」ミネソタ・パブリック・ラジオ2016年9月27日. 2022年1月30日閲覧。

出典

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