放射線化機能

測度論において、可測空間間のラドン化関数（最終的にはヨハン・ラドンにちなんで名付けられた）とは、第一空間上の円筒集合測度（CSM）を第二空間上の真の測度に変換する関数である。この関数の名前は、第二空間上の押し出し測度が歴史的にラドン測度と考えられていたことに由来する。

意味

二つの可分バナッハ空間 と、上のCSM 、連続線型写像が与えられているとき、上の押し進めCSM（下記参照）が測度「である」、すなわち、上の測度が存在して、 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{\mu _{T}|T\in {\mathcal {A}}(E)\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \theta \in \mathrm {リン} (E;G)}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \left\{\left.\left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}\right|S\in {\mathcal {A}}(G)\right\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}=S_{*}(\nu )}$

各 に対して、 は線形写像 による測度の通常の押し進め方です。 ${\displaystyle S\in {\mathcal {A}}(G)}$ ${\displaystyle S_{*}(\nu )}$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle S:G\to F_{S}}$

CSMの前進

上のCSMの定義では、写像が射影的であることが求められるため、 CSMの押し進めの定義には注意が必要である。CSMは ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(G)}$

${\displaystyle \left\{\left.\left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}\right|S\in {\mathcal {A}}(G)\right\}}$

定義される

${\displaystyle \left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}=\mu _{S\circ \theta }}$

合成 が射影的である場合。射影的でない場合は、を の像とし、 をの包含写像とし、 と定義する。 ${\displaystyle S\circ \theta :E\to F_{S}}$ ${\displaystyle S\circ \theta }$ ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle S\circ \theta }$ ${\displaystyle i:{\tilde {F}}\to F_{S}}$

${\displaystyle \left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}=i_{*}\left(\mu _{\Sigma }\right)}$ 、

ここで(つまり) は となるようなものである。 ${\displaystyle \Sigma :E\to {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle \Sigma \in {\mathcal {A}}(E)}$ ${\displaystyle i\circ \Sigma =S\circ \theta }$

参照

• 抽象ウィーナー空間 – 無限次元空間に関する数学的構成
• 古典的ウィーナー空間 – 確率過程の空間
• サゾノフの定理

参考文献