サゾノフの定理
数学では、ヴャチェスラフ・ヴァシリエヴィチ・サゾノフ( Вячесла́в Васи́льевич Сазо́нов )にちなんで名付けられたサゾノフの定理は、関数解析の定理です。
二つのヒルベルト空間間の有界線型作用素がヒルベルト・シュミット作用素であるとき、それはγ-ラドン化作用素である、ということを述べている。この結果は確率過程の研究やマリアヴァン解析においても重要である。なぜなら、無限次元空間上の確率測度に関する結果はこれらの分野において中心的な重要性を持つからである。サゾノフの定理には逆も成り立つ。すなわち、写像がヒルベルト・シュミット写像でなければ、それはγ-ラドン化作用素ではない、ということである。
定理の記述
GとHを2つのヒルベルト空間とし、T : G → HをGからHへの有界作用素とする。G上の標準ガウス円筒集合測度の押し進めがH上の真の測度となるとき、Tはγ -ラドン化作用素と呼ばれる。また、 Gの直交基底{ e i : i ∈ I }が存在し、
次に、サゾノフの定理は、Tがヒルベルト・シュミット演算子である場合、 Tはγ -ラドン化するというものです。
証明にはプロホロフの定理を使用します。
備考
無限次元ヒルベルト空間上の標準的なガウス円筒集合測度は、決して真の測度にはなり得ません。同様に、そのような空間上の恒等関数はγ -ラドン化できません。
参照
- キャメロン・マーティン定理 – ヒルベルト空間上のガウス測度の変換を記述する定理
- ギルサノフの定理 – 確率過程の変化に関する定理
- 放射線化機能
- ミンロス・サゾノフの定理
参考文献
