シリンダーセットメジャー

数学において、円筒集合測度（かくしゅうせつちょうど、かくしゅうせつ、かくしゅうせつ、かくしゅうせつ、かくしゅうせつ、かくしゅうせつ）とは、無限次元ベクトル空間における測度のプロトタイプの一種である。ヒルベルト空間におけるガウス円筒集合測度がその一例である。

円筒集合測度は一般に測度ではない（特に可算加法的である必要はなく、有限加法的であるだけでよい）が、ユークリッド空間の原点から始まる連続経路の集合上の古典的なウィーナー測度などの測度を定義するために使用できる。これは抽象ウィーナー空間の構築において行われ、そこでは可分ヒルベルト空間上に円筒集合ガウス測度を定義し、円筒測度が円筒代数上でσ加法的となるようにバナッハ空間を選択する。

文献における用語の用法は必ずしも一貫していません。円筒集合測度を単に円筒測度または円筒測度と呼ぶ著者もいます（例えば^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}を参照）。一方、この用語をσ加法測度にのみ用いる著者もいます。

意味

シリンダーセットメジャーを定義するには、同等の方法が 2 つあります。

一つの方法は、円筒代数上の集合関数として直接定義し、より小さなσ-代数に対する特定の制約がσ-加法測度となるようにすることです。これは有限次元線型作用素で表現することもできます。

を、双対関係にある2つの空間に対して定義された円筒代数、すなわち円筒集合全体の集合で 表す。${\displaystyle {\mathcal {Cyl}}(N,M)}$ ${\displaystyle \langle ,\rangle :=\langle ,\rangle _{N,M}}$

${\displaystyle C_{f_{1},\dots ,f_{m},B}=\{x\in N\colon (\langle x,f_{1}\rangle ,\dots ,\langle x,f_{m}\rangle )\in B\}}$

いくつかのおよびに対して。^{[ 4 ] [ 5 ]}これは、より小さなσ-代数の和集合としても表すことができる代数である。 ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}\in M}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})}$

円筒代数上の定義

を 上の位相ベクトル空間とし、その代数的双対を と表記し、を部分空間とする。このとき、集合関数は円筒集合測度（または円筒測度） であり、任意の 有限集合に対して、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle G\subseteq X^{*}}$ ${\displaystyle \mu :{\mathcal {Cyl}}(X,G)\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle F=\{f_{1},\dots ,f_{n}\}\subset G}$

${\displaystyle \mu :\sigma ({\mathcal {Cyl}}(X,F))\to \mathbb {R} _{+}}$

はσ加法測度である。σ代数であるのに対し、σ代数ではないことに注意されたい。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 6 ]}${\displaystyle \sigma ({\mathcal {Cyl}}(X,F))}$ ${\displaystyle {\mathcal {Cyl}}(X,G)}$

いつものようにこれを円筒形の確率測度と呼ぶとします。 ${\displaystyle \mu (X)=1}$

オペラの定義

を実位相ベクトル空間とする。その像が有限次元実ベクトル空間となるような、すべての射影連続線型写像の集合を とする。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(E)}$ ${\displaystyle T:E\to F_{T}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{T}}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}(E):=\left\{T\in \mathrm {Lin} (E;F_{T}):T{\mbox{射影的かつ}}\dim _{\mathbb {R} }F_{T}}+\infty \right\}。}$$

シリンダーセットメジャーは、メジャーの集合です。${\displaystyle E}$ $${\displaystyle \left\{\mu _{T}:T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}.}$$

ここで、 は 上の測度です。これらの測度は、次の一貫性条件を満たす必要があります。 が全射影 である場合、測度の 押し進め方は次のようになります。${\displaystyle \mu_{T}}$ ${\displaystyle F_{T}.}$ ${\displaystyle \pi _{ST}:F_{S}\to F_{T}}$ $${\displaystyle \mu_{T}=\left(\pi_{ST}\right)_{*}\left(\mu_{S}\right).}$$

ならばそれは円筒状確率測度です。円筒状測度を明示的に確率測度として定義する著者もいますが、必ずしもそうである必要はありません。 ${\displaystyle \mu (E)=1}$

抽象的なウィーナー空間との関連

をレオナルド・グロスによる古典的な定義における抽象ウィーナー空間とする。これは可分ヒルベルト空間であり、可分バナッハ空間であり、可測ノルムまたはグロス可測ノルムと稠密な範囲を持つ連続線型埋め込みによる完備化である。グロスは次にこの構成により円筒ガウス測度をバナッハ空間上のσ加法測度として継続できることを示した。より正確には をの位相双対空間とすると、彼は円筒代数上で定義された上の円筒ガウス測度がバナッハ空間の円筒代数上でσ加法になることを示した。したがって測度は円筒σ代数上でもσ加法である。これはカラテオドリーの拡大定理から導かれ、したがって古典的な意味での測度でもある。^{[ 7 ]}${\displaystyle (H,B,i)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ ${\displaystyle i:H\to B}$ ${\displaystyle H'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {Cyl}}(H,H')}$ ${\displaystyle {\mathcal {Cyl}}(B,B')}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(B,B'):=\sigma ({\mathcal {Cyl}}(B,B')).}$

備考

整合性条件は 、真の測度が前進する様子をモデル化しています（「シリンダーセット測度と真の測度」のセクションを参照）。ただし、シリンダーセット測度の場合、これは定義の一部である要件であり、結果ではないことを理解することが重要です。 $${\displaystyle \mu_{T}=\left(\pi_{ST}\right)_{*}(\mu_{S})}$$

円筒集合測度は、位相ベクトル空間の円筒集合上の有限加法関数を定義するものとして直感的に理解できる。円筒集合は、における測定可能な集合のにおける前像である。が、が定義されている上の-代数を表す場合、 ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{T}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F_{T}}$ ${\displaystyle \mu_{T}}$ $${\displaystyle \mathrm {Cyl} (E):=\left\{T^{-1}(B):B\in {\mathcal {B}}_{T},T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}.}$$

実際には、を 上のボレル-代数とすることがよくあります。この場合、が可分なバナッハ空間のとき、円筒集合によって生成される σ-代数はのボレル -代数とまったく同じであることが示されます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{T}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F_{T}.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle \mathrm {Borel} (E)=\sigma \left(\mathrm {Cyl} (E)\right).}$$

シリンダーセットの測定値と真の測定値

上の円筒集合測度は実際には上の真の測度ではありません。それは のすべての有限次元像上で定義された測度の集合です。に確率測度がすでに定義されている場合、プッシュフォワードを使用して上の円筒集合測度が生成されます。${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu_{T}=T_{*}(\mu)}$ ${\displaystyle F_{T}.}$

このように、ある尺度がある場合、表記法を少し乱用して、円筒集合の尺度が「その尺度」であると言うのが通例である。${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu_{T}=T_{*}(\mu)}$ ${\displaystyle \left\{\mu _{T}:T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}}$ ${\displaystyle \mu .}$

ヒルベルト空間上の円筒集合測度

バナッハ空間がヒルベルト空間でもあるとき、${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H,}$ 上の内積構造から生じる標準的なガウス円筒集合測度。具体的には、が 上の内積を表すが商内積を表すます上の測度上のガウス測度と定義されます。 ここではユークリッド内積を上の内積に取るヒルベルト空間の等長変換、上の標準的なガウス測度${\displaystyle \gamma^{H}}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{T}}$ ${\displaystyle F_{T}.}$ ${\displaystyle \gamma _{T}^{H}}$ ${\displaystyle F_{T}}$ ${\displaystyle F_{T}}$ $${\displaystyle \gamma _{T}^{H}:=i_{*}\left(\gamma ^{\dim F_{T}}\right),}$$ ${\displaystyle i:\mathbb {R} ^{\dim(F_{T})}\to F_{T}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\dim(F_{T})}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{T}}$ ${\displaystyle F_{T},}$ ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

無限次元可分ヒルベルト空間上の標準的なガウス円筒集合測度は、上の真の測度とは対応しない。証明は極めて単純である。半径（中心は0）の球体の測度は、 次元ヒルベルト空間における半径の球体の測度と最大で等しく、 が無限大に向かうにつれて、この測度も 0 に向かう。したがって、半径の球体の測度は 0 である。ヒルベルト空間はそのような球体の可算和集合であるため、 の測度も 0 となり、これは矛盾である。（無限次元ルベーグ測度 を参照。） ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$

ガウス円筒集合測度が測度ではないことの別の証明は、キャメロン＝マーティン定理と測度 の準不変性に関する結果を用いる。 が本当に測度であるならば、の恒等関数はその測度をラドン化し、抽象的なウィーナー空間を形成する。キャメロン＝マーティン定理によれば、 はの任意の元による並進に対して準不変となる。これは、が有限次元であるか、 が零測度であることを意味する。どちらの場合も、矛盾が生じる。 ${\displaystyle \gamma ^{H}=\gamma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {id} :H\to H}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \gamma }$

サゾノフの定理は、標準的なガウス円筒集合測度の前進を真の測度に変換できる 条件を与えます。

核空間とシリンダーセットの測定

核フレシェ空間の双対上の円筒集合測度は、そのフーリエ変換が連続であれば、自動的に測度に拡張されます。

例：有限次元ベクトル空間上のシュワルツ関数の空間を とすると、 は核関数である。これは関数のヒルベルト空間 に含まれ、ヒルベルト空間 はさらに核フレシェ空間の双対である緩和超関数の空間 に含まれる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle S^{\prime },}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S\subseteq H\subseteq S^{\prime }.}$$

ガウス円筒集合測度は緩和分布の空間上の円筒集合測度を与え、これは緩和分布の空間上の測度に拡張される。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S^{\prime }.}$

ヒルベルト空間は、上で測度0を持ち、上の標準ガウス円筒集合の測度が上の測度に拡張されないことを示すために上で使用した最初の議論によって、${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S^{\prime },}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$

参照

• 抽象ウィーナー空間 – 無限次元空間に関する数学的構成
• 円筒形σ代数
• 放射線化機能
• ガウス測度の構造定理 – 数学定理
• 位相ベクトル空間における測度論 – 数学の科目

参考文献

1. Bogachev, Vladimir (1998). Gaussian Measures . ロードアイランド州:アメリカ数学会.
2. N. Vakhania, V. Tarieladze, S. Chobanyan (1987).バナッハ空間上の確率分布. 数学とその応用. Springer Netherlands. p. 390. ISBN 9789027724960。LCCN  87004931。
3. Xia, Dao-Xing; Brody, Elmer J. (1972). 『無限次元空間における測度と積分理論：抽象調和解析』 ウクライナ: Academic Press.
4. N. Vakhania, V. Tarieladze, S. Chobanyan (1987).バナッハ空間上の確率分布. 数学とその応用. Springer Netherlands. p. 4. ISBN 9789027724960。LCCN  87004931。
5. Bogachev, Vladimir Igorevich; Smolyanov, Oleg Georgievich (2017).位相ベクトル空間とその応用. Springer Monographs in Mathematics. Springer Cham. p. 327-333. doi : 10.1007/978-3-319-57117-1 . ISBN 978-3-319-57116-4。
6. Smolyanov, Oleg Georgievich; Fomin, Sergei Vasilyevich (1976). 「線形位相空間上の測度」.ロシア数学概論. 31 (4): 12. Bibcode : 1976RuMaS..31....1S . doi : 10.1070/RM1976v031n04ABEH001553 .
7. グロス、レナード (1967). 「抽象ウィーナー空間」.第5回バークレー数理統計・確率シンポジウム議事録. バンド2：確率論への貢献、第1部. カリフォルニア大学出版局: 35.

• IM Gel'fand, N.Ya. Vilenkin, 一般化関数. 調和解析の応用, 第4巻, Acad. Press (1968)
• RA Minlos (2001) [1994]、「円筒測度」、数学百科事典、EMS Press
• RA Minlos (2001) [1994]、「シリンダーセット」、数学百科事典、EMSプレス
• L. シュワルツ、「ラドンの測定」。
• エルワーシー、デイビッド（2008）、MA482 確率解析（PDF）、講義ノート、ウォーリック大学