ラジカルによる解決

根号解または代数解は、代数的な、つまり加算、減算、乗算、除算、整数乗、およびn乗根(平方根、立方根など) の抽出のみに依存する多項式方程式の解の表現です。

よく知られている例としては、二次方程式の公式がある。

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},}$

これは二次方程式の解を表す。

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

3次方程式^[1]と4次方程式^[2]には代数解が存在するが、これらは2次方程式よりも複雑である。アーベル・ルフィニの定理^[3] : ²¹¹、そしてより一般的にはガロア理論によれば、次のような 5次方程式は

${\displaystyle x^{5}-x+1=0,}$

には代数解がありません。より高次の次数についても同様です。ただし、どの次数でも代数解を持つ多項式方程式がいくつかあります。例えば、方程式はとして解くことができます。他の8つの解は非実複素数で、これも代数的に解け、 の形をとります。ここで、rは 1 の5乗根で、2つの入れ子になった平方根で表すことができます。5次関数の他の様々な例については、 「五次関数 § その他の解ける五次関数」も参照してください。 ${\displaystyle x^{10}=2}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt[{10}]{2}}.}}$ ${\displaystyle x=\pm r{\sqrt[{10}]{2}},}$

エヴァリスト・ガロアは、どの方程式が根号で解けるかを判定できる基準を導入した。彼の結果の正確な定式化については、 根号拡張を参照のこと。

参照

• 根号記号
• 解ける五次方程式
• 解ける六次方程式
• 溶解性浄化槽

参考文献

1. Nickalls, RWD、「3次方程式を解く新しいアプローチ：カルダノの解法の解明」、Mathematical Gazette 77、1993年11月、354-359ページ。
2. カーペンター、ウィリアム、「実数四次の解について」、数学雑誌39、1966年、28-30。
3. ジェイコブソン、ネイサン（2009）、Basic Algebra 1（第2版）、ドーバー、ISBN 978-0-486-47189-1