電子バンド構造

固体物理学では、固体の電子バンド構造（または単にバンド構造）は、電子がその中で持つことができるエネルギーレベルの範囲と、電子が持つことができないエネルギーの範囲（バンドギャップまたは禁制帯と呼ばれる）を表します。

バンド理論は、原子または分子の大きな周期格子中の電子に許容される量子力学的波動関数を調べることで、これらのバンドとバンドギャップを導出します。バンド理論は、電気抵抗や光吸収など、固体の多くの物理的特性を説明するために効果的に用いられており、あらゆる固体デバイス（トランジスタ、太陽電池など）の理解の基礎となっています。

バンドとバンドギャップが発生する理由

金属と絶縁体におけるバンド形成と電子がバンドを満たす様子を示すアニメーション

電子バンドとバンドギャップの形成は、固体中の電子に関する2つの相補的なモデルで説明できる。^[1]^{: 161} 1つ目は、電子が物質内をほぼ自由に運動すると仮定する、ほぼ自由電子モデルである。このモデルでは、電子状態は自由電子平面波に似ており、結晶格子による摂動はわずかである。このモデルは電子分散関係の起源を説明するが、バンドギャップの説明は微妙である。^[2]^{: 121}

2つ目のモデルは、電子が個々の原子に強く束縛されている逆の極限から始まります。孤立した単一の原子の電子は、離散的なエネルギー準位を持つ原子軌道を占有します。2つの原子が十分に接近し、原子軌道が重なり合うと、電子は原子間をトンネルすることができます。このトンネル効果により、原子軌道は異なるエネルギーを持つ分子軌道に分裂（混成）します。 ^[2]^{: 117–122}

同様に、多数の $N$ 個の同一原子が集まって結晶格子などの固体を形成する場合、原子の原子軌道は近くの軌道と重なり合う。^[3]各離散エネルギー準位は $N$ 個の準位に分裂し、それぞれが異なるエネルギーを持つ。マクロな固体中の原子数は非常に大きい（ $N$ ≈ 10 ²²）ため、互いに混成する軌道の数も非常に多い。このため、隣接する準位はエネルギー的に非常に接近している（10 ⁻²² eV）、^[4]^[5]^[6]であり、連続体、エネルギーバンドを形成すると考えられる。

このバンド形成は、主に原子の最外殻電子（価電子）の特徴であり、化学結合と電気伝導に関与しています。内殻電子軌道は大きく重なり合わないため、そのバンドは非常に狭くなっています。

バンドギャップとは、エネルギーバンドの幅が有限であるために、どのバンドにもカバーされない残りのエネルギー領域です。バンドの幅はそれぞれ異なり、その幅はバンドの元となる原子軌道の重なり具合によって決まります。隣接する2つのバンドが、エネルギー領域を完全にカバーするには幅が足りない場合があります。例えば、コア軌道（1s電子など）に関連するバンドは、隣接する原子間の重なり合いが小さいため、非常に狭くなっています。その結果、コアバンド間には大きなバンドギャップが生じる傾向があります。高次のバンドは比較的大きな軌道と重なり合いが大きく、高エネルギーでは徐々に幅が広くなるため、高エネルギーではバンドギャップは存在しません。

基本概念

バンド構造理論の仮定と限界

バンド理論は固体の量子状態に対する近似に過ぎず、多数の同一原子または分子が結合した固体に適用される。バンド理論が妥当であるために必要な仮定は以下の通りである。

無限サイズ系：バンドが連続的であるためには、物質片は多数の原子から構成されていなければなりません。マクロな物質片には10の^{22乗程度の原子が含まれているため、これは大きな制約ではありません。バンド理論は}集積回路内の微小サイズのトランジスタにも適用されます。バンド構造の概念は、修正を加えることで、 2次元電子系など、特定の次元に沿ってのみ「大きい」系にも拡張できます。
均質系：バンド構造は材料の固有の特性であり、材料が均質であることを前提としています。実際には、これは材料の化学組成が製品全体にわたって均一でなければならないことを意味します。
非相互作用性：バンド構造は「単一電子状態」を記述します。これらの状態の存在は、電子が格子振動、他の電子、光子などと動的相互作用することなく、静的ポテンシャル内を移動することを前提としています。

上記の仮定は多くの重要な実際的な状況で破れており、バンド構造を使用する場合にはバンド理論の限界を注意深く確認する必要があります。

不均一性と界面：表面、接合部、その他の不均一性近傍では、バルクのバンド構造が乱されます。局所的な小規模な乱れ（例えば、表面準位やバンドギャップ内のドーパント準位）だけでなく、局所的な電荷不均衡も生じます。これらの電荷不均衡は、半導体、絶縁体、そして真空の奥深くまで及ぶ静電効果をもたらします（ドーピング、バンドベンディングを参照）。
同様に、ほとんどの電子効果（静電容量、電気伝導、電界遮蔽）は、表面や界面近傍を通過する電子の物理的性質に関係しています。これらの効果をバンド構造図で完全に記述するには、少なくとも電子間相互作用の基本的なモデルが必要です（空間電荷、バンドベンディングを参照）。
小さな系：あらゆる次元にわたって小さな系（例えば、小さな分子や量子ドット）では、連続的なバンド構造は存在しません。小さな次元と大きな次元の境界は、メソスコピック物理学の領域です。
強相関物質（例えばモット絶縁体）は、単一電子状態の観点から単純に理解することはできません。これらの物質の電子バンド構造は十分に定義されておらず（少なくとも、一意に定義されていない）、その物理的状態に関する有用な情報を提供しない可能性があります。

結晶の対称性と波数ベクトル

図2. タイトバインディングモデルを用いて生成されたSi、Ge、GaAs、InAsのバンド構造プロット。SiとGeは間接バンドギャップ材料であるのに対し、GaAsとInAsは直接バンドギャップ材料であることに注意してください。

バンド構造の計算では、結晶格子の周期的性質を利用し、その対称性を活用します。格子周期ポテンシャル内の電子について単電子シュレーディンガー方程式を解くと、解としてブロッホ電子が得られます。ここで、 $k$ は波数ベクトルと呼ばれます。 $k$ の各値に対して、シュレーディンガー方程式には複数の解があり、バンドインデックス $n$ でラベル付けされます。n はエネルギーバンドに番号を付ける単純なものです。これらのエネルギー準位はそれぞれ $k$ の変化に伴って滑らかに変化し、滑らかな状態バンドを形成します。各バンドに対して、そのバンド内の電子の分散関係を表す関数 $E$ $n$ $($ $k$ $)$ を定義できます。 $\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),$

ブリルアンゾーン（結晶格子と相関する波動ベクトル空間（逆格子空間）内の多面体）内では、波動ベクトルは任意の値をとります。ブリルアンゾーン外の波動ベクトルは、ブリルアンゾーン内の状態と物理的に同一の状態に対応します。ブリルアンゾーン内の特別な高対称性点／線には、Γ、Δ、Λ、Σなどのラベルが付けられます（図1参照）。

バンドの形状を波数ベクトルの関数として視覚化するのは困難で、4次元空間で $E$ 対 $k x$ 、 $k y$ 、 $k z$ のプロットが必要になるからです。科学文献では、対称点 (多くの場合、それぞれ Δ、Λ、Σ、または[100]、[111]、[110] とラベル付けされている) を結ぶ直線に沿って $k$ の値に対する $E$ $n$ $($ $k$ $)$ の値を示すバンド構造のプロットがよく見られます。^[7]^[8]バンド構造を視覚化する別の方法は、波数ベクトル空間で一定エネルギー等値面をプロットし、特定の値に等しいエネルギーを持つすべての状態を表示することです。フェルミ準位に等しいエネルギーを持つ状態の等値面は、フェルミ面として知られています。

エネルギーバンドギャップは、バンドギャップを囲む状態の波数ベクトルを使用して分類できます。

直接バンドギャップ: バンドギャップより上の最低エネルギー状態は、バンドギャップより下の最高エネルギー状態と同じ $kを持ちます。$
間接バンドギャップ: バンドギャップの上と下の最も近い状態は同じ $k$ 値を持ちません。

非対称性：非結晶固体のバンド構造

電子バンド構造は通常、結晶性物質と関連付けられますが、準結晶や非晶質固体もバンドギャップを示すことがあります。これらは結晶のような単純な対称性を欠き、正確な分散関係を決定することが通常不可能であるため、理論的に研究するのはやや困難です。その結果、固体の電子バンド構造に関する既存の理論的研究は、ほぼすべて結晶性物質に焦点を当ててきました。

状態密度

状態密度関数 $g (E)$ は、 $E$ 付近の電子エネルギーにおける、単位体積あたり、単位エネルギーあたりの電子状態数として定義されます

状態密度関数は、バンド理論に基づく効果の計算において重要です。フェルミの黄金律（光吸収率の計算）においては、励起可能な電子の数と電子の終状態の数の両方を与えます。また、電気伝導率の計算では移動可能な状態の数を与え、電子散乱率の計算では散乱後の終状態の数を与えます。^[要出典]

バンドギャップ内のエネルギーの場合、 $g (E)=0です$ 。

バンドの充填

熱力学的平衡において、エネルギー $E$ の状態が電子で満たされている尤度は、パウリの排他原理を考慮した熱力学的分布であるフェルミ–ディラック分布によって与えられる。ここで、 $f(E)={\frac {1}{1+e^{{(E-\mu )}/{k_{\text{B}}T}}}}$

$k B T$ はボルツマン定数と温度の積であり、
$µ$ は電子の全化学ポテンシャル、あるいはフェルミ準位（半導体物理学では、この量は $E F$ と表記されることが多い）である。固体のフェルミ準位は、電圧計で測定されるその固体の電圧と直接関係している。バンド構造のプロットにおいて、フェルミ準位はエネルギーゼロとするのが慣例となっている（これは任意の選択である）。

物質中の電子密度は、フェルミ・ディラック分布と状態密度の積分で表されます。 $N/V=\int _{-\infty }^{\infty }g(E)f(E)\,dE$

バンドの数は無限であり、したがって状態の数も無限であるにもかかわらず、これらのバンドに配置できる電子の数は有限である。電子数の好ましい値は静電気力学の結果である。物質の表面は帯電していても、物質の内部は電荷が中性であることを好む。電荷中性の条件とは、 $N / Vが$ 物質内の陽子密度と一致しなければならないことを意味する。これを実現するために、物質は静電気力によってバンド構造をエネルギー的に上下にシフトさせ（それによって $g (E)$ をシフトさせ）、フェルミ準位に関して正しい平衡状態に達するまで調整する。

フェルミ準位付近のバンドの名称（伝導帯、価電子帯）

固体には、原子が無限のエネルギー準位を持つのと同様に、無限の数のバンドが許容されます。しかし、ほとんどのバンドはエネルギーが高すぎるため、通常は無視されます。^{[9]逆に、コア軌道に関連する非常に低いエネルギーバンド（}1s電子など）も存在します。これらの低エネルギーのコアバンドも、常に電子で満たされているため不活性であり、通常は無視されます。^[10] 同様に、物質はバンド構造全体に複数のバンドギャップを持ちます。

エレクトロニクスやオプトエレクトロニクスに関係する最も重要なバンドとバンドギャップは、フェルミ準位付近のエネルギーを持つものです。フェルミ準位付近のバンドとバンドギャップには、材料に応じて特別な名前が付けられています。

半導体またはバンド絶縁体では、フェルミ準位はバンドギャップに囲まれており、このバンドギャップはバンド構造内の他のバンドギャップと区別するためにバンドギャップと呼ばれます。バンドギャップより上の最も近いバンドは伝導帯と呼ばれ、バンドギャップより下の最も近いバンドは価電子帯と呼ばれます。「価電子帯」という名称は、半導体（および絶縁体）において価電子帯が価電子軌道から構成されることから、化学との類推から名付けられました。
金属または半金属において、フェルミ準位は1つ以上の許容バンドの内側にあります。半金属では、半導体に倣って、電荷輸送が電子的か正孔的かによって、バンドは通常「伝導帯」または「価電子帯」と呼ばれます。しかし、多くの金属では、バンドは電子的でも正孔的でもないため、単に「価電子帯」と呼ばれることがよくあります。^[11]金属のバンド構造におけるバンドギャップは、フェルミ準位から遠すぎるため、低エネルギー物理学では重要ではありません。

結晶の理論

仮説は、回折の力学理論で一般的に扱われているブロッホの定理を用いた、周期結晶格子における電子波の特殊なケースです。すべての結晶はブラヴェ格子によって特徴付けられる周期構造であり、それぞれのブラヴェ格子に対して、3つの逆格子ベクトル $($ $b⁻⁻$ $、$ $b⁻⁻$ $、$ $b⁻⁻$ $)$ の集合に周期性を包含する逆格子を決定できます。ここで、直接格子と同じ周期性を持つ任意の周期ポテンシャル $V$ $($ $r$ $)$ $は$ $、$ 逆格子ベクトルに関連する成分のみがゼロでないフーリエ級数として展開できます。したがって $、展開$ $は$ $次のよう$ $に表すこと$ $が$ できます。ここで、 $任意$ $の$ $整数$ 集合 $($ $m⁻⁻$ $、$ $m⁻⁻$ $、$ $m⁻⁻$ $)に対して$ $、$ $K$ $=$ $m⁻⁻$ $b⁻$ $+$ $m⁻$ $b⁻$ $+$ $m⁻$ $b⁻$ $です$ $V(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {K} }{V_{\mathbf {K} }e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }}$

この理論から、特定の物質のバンド構造を予測する試みは可能ですが、電子構造計算のためのほとんどの ab initio 法では、観測されるバンドギャップを予測できません。

ほぼ自由電子近似

ほぼ自由電子近似では、電子間の相互作用は完全に無視されます。この近似により、周期ポテンシャル内の電子は、隣接する逆格子ベクトル間の一定の位相シフトを除けば、波動関数とエネルギーが波動ベクトルに関して周期的であるというブロッホの定理が適用できます。周期性の帰結は、ブロッホの定理によって数学的に記述されます。ブロッホの定理によれば、固有状態の波動関数は、結晶格子上でブロッホ関数が周期的であるような形、すなわち、 $\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n}(\mathbf {r} )$ $u_{n}(\mathbf {r} )$ $u_{n}(\mathbf {r} )=u_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ).$

ここで指数 $nは$ $n$ 番目のエネルギーバンドを指し、波数ベクトル $k$ は電子の運動方向に関連し、 $r$ は結晶内の位置、 $R$ は原子サイトの位置である。^[12]^：179

NFEモデルは、隣接する原子間の距離が狭い金属などの材料で特に有効です。このような材料では、原子軌道と隣接する原子上のポテンシャルの重なりが比較的大きくなります。この場合、電子の波動関数は（修正された）平面波で近似できます。アルミニウムのような金属のバンド構造は、空格子近似に非常に近くなります。

タイトバインディングモデル

ほぼ自由電子の近似の反対の極端な考え方では、結晶内の電子が構成原子の集合体のように振舞うと仮定する。この強結合モデルでは、時間に依存しない単一電子シュレーディンガー方程式の解が原子軌道の線形結合で十分に近似されると仮定する。^[12]^{: 245–248} ここで、係数は、この形式の最善の近似解を与えるように選択される。添え字 $n は$ 原子エネルギーレベルを指し、 $R は$ 原子サイトを指す。この考え方を使用するより正確なアプローチは、次のように定義されるワニエ関数を使用する。 ^[12]^{: 式 42 p. 267}^[13] では、はブロッホの定理の周期部分であり、積分はブリルアンゾーン上で行われる。ここで添え字 $nは結晶内の$ $n$ 番目のエネルギーバンドを指す。ワニエ関数は原子軌道のように原子サイトの近くに局在するが、ブロッホ関数で定義されているため、結晶ポテンシャルに基づく解と正確に関連している。異なる原子サイト $R上のワニエ関数は直交する。ワニエ関数は、$ $n$ 番目のエネルギーバンドのシュレーディンガー解を次のように表すために用いられる。 $\Psi$ $\psi _{n}(\mathbf {r} )$ $\Psi (\mathbf {r} )=\sum _{n,\mathbf {R} }b_{n,\mathbf {R} }\psi _{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ),$ $b_{n,\mathbf {R} }$ $a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )={\frac {V_{C}}{(2\pi )^{3}}}\int _{\text{BZ}}d\mathbf {k} e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}u_{n\mathbf {k} };$ $u_{n\mathbf {k} }$ $\Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ).$

TB モデルは、原子軌道と隣接原子上のポテンシャルの重なりが限られている材料でうまく機能します。たとえば、 Si、GaAs、 SiO ₂、ダイヤモンドなどの材料のバンド構造は、原子 sp ³軌道に基づいた TB ハミルトニアンでうまく説明できます。遷移金属では、幅広い NFE伝導帯と狭い埋め込み TB d バンドを説明するために、 TB-NFE 混合モデルが使用されます。ワニエ関数の原子軌道部分のラジアル関数は、擬ポテンシャル法を使用することで最も簡単に計算されます。NFE、TB、または組み合わせた NFE-TB バンド構造の計算は、^[14] 擬ポテンシャル法に基づく波動関数近似で拡張されることもあり、以降の計算の経済的な出発点としてよく使用されます。

KKRモデル

KKR法は、「多重散乱理論」またはグリーン関数法とも呼ばれ、ハミルトニアンではなく逆遷移行列Tの定常値を求める。変分法による実装はコリンガ、コーン、ロストカーによって提案され、コリンガ・コーン・ロストカー法と呼ばれることが多い。^[15]^[16] KKR法またはグリーン関数法の最も重要な特徴は、(1)問題の2つの側面、すなわち構造（原子の位置）と散乱（原子の化学的性質）を分離すること、(2)グリーン関数が合金やその他の無秩序系に適応可能な電子特性の局所的記述への自然なアプローチを提供することである。この近似の最も単純な形は、重なり合わない球（マフィン型と呼ばれる）を原子の位置を中心に配置する。これらの領域内では、電子が受けるポテンシャルは、与えられた原子核を中心に球対称となるように近似される。残りの格子間領域では、遮蔽されたポテンシャルは定数として近似されます。原子中心球と格子間領域間のポテンシャルの連続性が確保されます。

密度汎関数理論

近年の物理学文献では、電子構造とバンドプロットの大部分は密度汎関数理論（DFT）を用いて計算されています。これはモデルではなく理論、すなわち凝縮物質物理学の微視的な第一原理理論であり、電子密度の汎関数に交換相関項を導入することで電子-電子多体問題に対処しようとします。DFTで計算されたバンドは、多くの場合、角度分解光電子分光法（ARPES）などによって実験的に測定されたバンドと一致することが分かっています。特に、バンド形状は通常、DFTによってよく再現されます。しかし、実験結果と比較すると、DFTバンドには系統的な誤差もあります。特に、DFTは絶縁体と半導体のバンドギャップを約30～40%系統的に過小評価するようです。^[17]

DFT は系の基底状態の特性（全エネルギー、原子構造など）のみを予測する理論であり、励起状態の特性は DFT では決定できないと一般的に信じられています。これは誤解です。原理的には、基底状態密度をその特性にマッピングする関数が与えられれば、DFT は系のあらゆる特性（基底状態または励起状態）を決定できます。これがホーエンベルク・コーンの定理の本質です。^[18]ただし、実際には、基底状態密度を物質内の電子の励起エネルギーにマッピングする既知の関数は存在しません。したがって、文献で DFT バンドプロットとして引用されているものは、DFTコーン・シャムエネルギー、つまり物理的な解釈がまったくない架空の非相互作用系、コーン・シャム系のエネルギーの表現です。コーン＝シャムの電子構造を、システムの真の準粒子電子構造と混同してはならない。また、コーン＝シャムのエネルギーにはクープマンスの定理は成立しない。これは、準粒子エネルギーの近似として真に考えられるハートリー＝フォックのエネルギーには成立する。したがって、原理的には、コーン＝シャムに基づくDFTはバンド理論ではなく、すなわち、バンドやバンドプロットの計算に適した理論ではない。原理的には、時間依存DFTを用いて真のバンド構造を計算できるが、実際にはこれはしばしば困難である。一般的なアプローチは、ハートリー＝フォックの正確な交換反応の一部を組み込んだハイブリッド汎関数の使用である。これは半導体のバンドギャップ予測を大幅に改善するが、金属やワイドバンドギャップ材料に対しては信頼性が低い。^[19]

グリーン関数法と第一原理重力近似

電子間相互作用の多体効果を含むバンドを計算するには、いわゆるグリーン関数法に頼ることができます。実際、システムのグリーン関数がわかれば、システムの基底状態（全エネルギー）と励起状態の観測量の両方が得られます。グリーン関数の極は準粒子エネルギー、つまり固体のバンドです。システムの自己エネルギーがわかれば、ダイソン方程式を解いてグリーン関数を計算できます。固体などの実際のシステムでは、自己エネルギーは非常に複雑な量であり、問題を解くには近似値が必要となるのが通常です。そのような近似値の 1 つがGW 近似です。これは、自己エネルギーがグリーン関数Gと動的遮蔽相互作用Wの積 Σ = GWとして数式化されることからこう呼ばれています。このアプローチは、バンドプロット（およびスペクトル関数などのそれ以外の量）の計算に適しており、完全に第一原理的な方法で定式化することも可能です。重力近似は、絶縁体および半導体のバンドギャップを実験と一致するように与え、それによって系統的なDFTの過小評価を修正するようです。

動的平均場理論

ほぼ自由電子の近似は電子バンド構造の多くの特性を記述できるが、この理論の1つの結果として、各単位セルの電子数は同じであると予測される。電子数が奇数であれば、各単位セルに不対電子が存在し、価電子帯が完全に占有されていないことが予想され、物質は導体になる。しかし、単位セルあたりの電子数が奇数であるCoOなどの物質は絶縁体であり、この結果と直接矛盾する。この種の物質はモット絶縁体として知られており、この矛盾を説明するには詳細な電子間相互作用（バンド理論では結晶ポテンシャルに対する平均効果としてのみ扱われる）を含める必要がある。ハバード模型はこれらの相互作用を含めることができる近似理論である。これは、ほぼ自由電子近似と原子極限とのギャップを埋めようとする、いわゆる動的平均場理論の中で非摂動論的に扱うことができる。しかし、正式には、この場合の状態は相互作用しないわけではなく、バンド構造の概念はこれらのケースを説明するのに適切ではありません。

その他

バンド構造の計算は、理論固体物理学における重要なテーマです。上記のモデルに加えて、以下のようなモデルもあります。

空格子近似: 格子に分割された自由空間領域の「バンド構造」。
k·p摂動論は、バンド構造をわずかなパラメータで近似的に記述できる手法です。この手法は半導体においてよく用いられ、モデル内のパラメータは実験によって決定されることが多いです。
クロニッヒ・ペニーモデルは、バンド形成を説明するのに役立つ1次元の長方形井戸モデルです。シンプルでありながら多くの重要な現象を予測しますが、定量的ではありません。
ハバードモデル

バンド構造は複素数の波数ベクトルに一般化されており、その結果、表面や界面において興味深い 複素バンド構造と呼ばれるものが生じます

各モデルは、固体の種類によっては極めてよく記述できる一方、そうでないものもあります。ほぼ自由電子モデルは金属には有効ですが、非金属には有効ではありません。強結合モデルは、金属ハロゲン化物塩（例：NaCl）などのイオン性絶縁体に対して非常に正確な記述が可能です。

バンド図

実空間におけるフェルミ準位に対するバンド構造の変化を理解するために、バンド構造のプロットは、多くの場合、まずバンド図の形で簡略化されます。バンド図では、縦軸はエネルギー、横軸は実空間を表します。水平線はエネルギー準位を表し、ブロックはエネルギーバンドを表します。これらの図の水平線が斜めになっている場合、準位またはバンドのエネルギーは距離とともに変化します。図的に言えば、これは結晶系内に電場が存在することを示しています。バンド図は、異なる物質を接触させた場合の一般的なバンド構造特性を相互に関連付けるのに役立ちます

参照

バンドギャップエンジニアリング- 材料のバンド構造を変更するプロセス
フェリックス・ブロッホ– バンド構造理論の先駆者
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